利用并项法求数列的前n项和

【摘 要】《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在谈到高中数学课程的性质与基本理念时提出，提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。高考命题相应地也从传统的重知识技能，向重观察归纳能力、思维能力和数学表达能力转变，而数列中的并项求和法对以上三个方面的能力都有涉及，无疑会成为今后高考命题的一个重要方向。本文通过三道例题由浅入深地探索此类问题的解题原则、解题策略，并提供规范准确的解题步骤。

【关键词】并项求和法;周期型数列;分组求和

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）16-0100-02

用并项法求数列前n项和是数列分组求和中较为特殊的一类，2012年高考全国卷理科数学第16题，条件简洁，入手不难，但得分率却极低。其根本原因是学生对并项求和的本质缺乏理解，对其解法缺乏总结[1]。笔者尝试寻找此类题的相关解答，发现大部分解答步骤都不是很规范。本文通过具体范例探讨此类问题的共性特征和对应的逻辑思维方式，并给出通用规范的解题步骤。

1   观察并归纳以下数列通项公式结构上的共同特征

（1）an=（?1）n（3n?2）

（2）an=n2（cos2?sin2）

（3）an=（?1）n（2n?1）cos+1

通项公式的共性结构特征：

（1）式 an=（?1）n（3n?2）中（?1）n具备周期性，周期T=2。

（2）式 an=n2（cos2?sin2）使用余弦的倍角公式化简后得：an=n2cos2，其中cos具备周期性，周期T==3。

（3）式 an=（?1）n（2n?1）cos+1中（?1）ncos具备周期性，周期 T=4。

可以发现这些数列通项公式中都含有周期性循环的部分。

2   思考探究，形成解题思路

周期的意思是循环出现，也就是说在每个周期内会循环出现相同的部分。求这类数列的前n项和，可以考虑根据数列表现出的周期性特征，将整个数列按照周期进行分组，在各个组的内部分别求和，然后将各个组的结果进行累加，最终得到结果[2]。

3   数学表达，规范解题步骤

例一：若数列{an}的通项公式是an=（?1）n（3n?2），则S60=                 。

分析：在这个通项公式中（?1）n具备周期性质，周期为2，据此考虑将原数列每两项分为一组，进行并项求和。

解：当 n=2k?1时，a2k?1=（?1）2k?1[3（2k?1）?2]=?6k+5

当 n=2k 时，a2k=（?1）2k（3×2k?2）=6k?2

将这两项并为一组，构成新数列：

设bk=a2k?1+a2k=?6k+5+6k?2=3

这里并项后需要检查一下：当k=1，b1=a1+a2;当k=2，b2=a3+a4……

结论：数列{an}中的项既没有重复的也没有遗漏的。（这个步骤非常重要）

所以：S60=a1+a2+…+a60=b1+b2+…+b30=3×30=90

例二：已知数列{an}的通项公式an=n2（cos2?sin2），n∈N+ ，求数列的前3n项和S3n。

解：化简通项公式：

an=n2（cos2?sin2）=n2cos2

通项公式中三角函数的部分具备周期性，周期：T==3。

因为周期为3，所以考虑每三项分为一组

当 n=3k?2，a3k?2=（3k?2）2cos

=?（9k2?12k+4）

当 n=2k?1，a3k?1=（3k?1）2cos

=?（9k2?6k+1）

当 n=3k，a3k=（3k）2cos=9k2

设 bk=a3k?2+a3k?1+a3k=9k?

这里仍然需要检查一下{an}中的项有无重复或遗漏。

∴ S3n=a1+a2+…+a3n=b1+b2+…+bn=n2+4n

例三：（2012年高考全国卷理科数学，16题）数列{an}满足：an+1+（?1）nan=2n?1，则{an}的前60项和

为                 。

分析：这不是通项公式，而是一个递推公式，这个公式中也有具备周期性特征的部分（?1）n，其周期为2，据此可尝试使用分组处理法。

解法一：当 n=2k?1时，a2k?a2k?1=4k?3    ①

当 n=2k时，a2k+1+a2k=4k?1             ②

②?①得：a2k?1+a2k+1=2                ③

说明数列相邻奇数项的和为2。

那么偶数项是什么情况呢？显然根据目前的两个递推公式是无法单独解出偶数项的，所以尝试利用递推公式继续往下面写一项：

当 n=2k+1时，a2k+2?a2k+1=4k+1          ④

②+④得：a2k+a2k+2=8k                ⑤

连续偶数项的和为8k（结构上是等差数列，可以

求和）

构造新数列：设bk=a2k?1+a2k+a2k+1+a2k+2=8k+2

这个新数列很熟悉，第一感觉{bn}是等差数列。

这时先别高兴得太早，我们检查一下：

b1=a1+a2+a3+a4，

b2=a3+a4+a5+a6，b3=a5+a6+a7+a8…

数列数列{bn}中出现了重复项，怎么解决这个问题呢？如果只取数列{bn}中的奇数项，则数列{an}中的项既不重复也不遗漏。

S60=a1+a2+…+a60=b1+b3+…+b15

=15×10+×16=1830

题后反思：使用新数列{bn}的奇数项求和很不协调。

那么为什么会出现这种现象呢？该如何避免这种现象出现呢？

解答：事实上，之所以出现这种现象，是因为分组的问题，这个求和问题应该是每四项分成一组（两个奇数项和两个偶数项）。解题按照每两项（n=2k?1，n=2k）分一组去讨论，自然会造成重复现象的出现。解决这个问题的方法就是按照每四项分一组进行并项求和（n=4k?3，n=4k?2，n=4k?1，n=4k）。

解法二：当n=4k?3时，a4k?2?a4k?3=8k?7   ①

当n=4k?2时，a4k?1+a4k?2=8k?5          ②

当n=4k?1时，a4k?a4k?1=8k?3            ③

②?①得：a4k?3+a4k?1=2                ④

②+③得：a4k?2+a4k=16k?8            ⑤

④+⑤得：a4k?3+a4k?2+a4k?1+a4k=16k?6

说明每四项分一组求和后可以得到一个等差数列，因此设：bk=a4k?3+a4k?2+a4k?1+a4k

验证：b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8…

数列{an}中的项既没有重复的项，也没有遗漏的项。

所以：S60==15×10+×16=1830

综观以上三个例题，它们有一个共同特征：通项公式中都有周期性循环的部分。依据固有周期将原数列进行分组，分别求出各组的和，用各组的和构造新数列后，将原数列前n项和转化为新数列前n项和。本质：分组的原则来源于通项公式的周期属性。特别注意：构造新数列后需要与原数列对比，检查有无重复项或遗漏项。

【参考文献】

[1]中華人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2]高涛.浅析解题类文章的具体解法[J].考试与评价，2015（7）.

【作者简介】

孙甲（1979～），男，四川成都人，本科，中学一级教师。研究方向：高中数学教学研究。