一类分数阶时滞神经网络的有限时间同步行为分析

王 爽，张玮玮，张红梅，张 海

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆246133）

分数微积分在物理、连续介质力学、信号处理、生物工程和电磁学等领域具有潜在应用，引起了越来越多研究人员的关注。分数阶导数的重要特点是非局部性，并具有弱奇异核，与整数阶导数相比，它最主要的优点是为描述各种材料和过程的记忆与遗传特性提供了极好的工具。研究表明，分数阶导数描述的动力学系统在交叉学科领域的推广与应用比整数阶导数更加精确。近几年，为了更好地描述神经动力学行为，一些学者将分数阶导数引入神经网络形成分数阶神经网络。分数阶神经网络具有无限记忆性和更多的自由度，在图像处理、信号处理、组合优化、联想记忆、模式识别等方面应用广泛，这些应用在很大程度上依赖于神经网络的动力学行为。文献[1]利用Lyapunov方法建立了基于忆阻器分数阶神经网络的全局Mittag-Leffler稳定性和同步条件，并采用右不连续分数阶微分方程理论的结果进行分析；文献[2]报道了一种新的分数阶微分不等式，通过开环控制与自适应控制相结合的方法，导出了分数阶神经网络投影同步的一些准则。

同步是混沌神经网络系统的一个重要动力学特征，它在安全通信、信息科学、图像处理等多个领域有着成功的应用。迄今为止，混沌神经网络的同步主要有完全同步、全局Mittag-Leffler同步、投影同步等类型。这些类型的同步表明，响应系统的轨迹可以达到无穷远处导出系统的轨迹。同步应该在有限时间内实现，许多学者对混沌神经网络的有限时间同步问题进行了研究，例如文献[3]利用拉普拉斯变换、广义格罗瓦尔不等式、Mittag-Leffler函数以及线性反馈控制技巧导出带时滞的分数阶基于忆阻器神经网络的有限时间同步的充分条件。

关于分数阶时滞神经网络有着丰富的研究结果[2-4]，对其有限时间同步的结果也有大量报道[5-7]。但是，这些文献讨论的阶数都是0<α<1情形，在1<α<2情形下，关于分数阶时滞神经网络的成果很少，例如文献[4]研究的是分数阶时滞神经网络的有限稳定性问题，而对1<α<2情形，分数阶时滞神经网络的有限同步问题还没开展讨论，这就是本文研究的动机。本文首先在上升函数的基础上发展一个不等式，然后利用Hölder不等式、Jensen不等式、广义Gronwall不等式以及线性反馈控制技巧，推导出一个保证1<α<2的分数阶时滞神经网络有限时间同步的充分条件。

1 预备知识

1.1 分数微积分定义和引理

定义1[8]函数f(t)∈C([0,+∞),ℝ)的α阶Caputo分数导数定义为

其中，Dα表示α（1<α<2）阶Caputo分数导数，n是神经网络中神经元的数量，x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t),…,xn(t))T，xi(t)代表驱动系统第i个神经元状态变量，C=(c1,c2,c3,…,cn)T，ci>0表示第i个神经元的自调节参数，A=(aij)n×n和B=(bij)n×n分别表示无时滞和有时滞的链接权重矩阵，f(x(t))=(f1(x1(t)),f2(x2(t)),…,fn(xn(t)))T和f(x(t-τ))=(f1(x1(t-τ)),f2(x2(t-τ)),…,fn(xn(t-τ)))T分别表示无时滞和有时滞的神经元激活函数，I=(I1,I2,I3,…,In)T表示第i个神经元的外部输入,τ表示时滞且>0。

其中，y(t)=(y1(t),y2(t),y3(t),…,yn(t))T，U(t)=(u1(t),u2(t),u3(t),…,un(t))T，yi(t)代表响应系统中第i个神经元状态变量，ui(t)是合适的控制器。其初始条件形式：yi(t)=ϑi(t),t∈[-τ,0]，i=1,2,3,…,n。我们选择线性反馈控制器：

其中，γi是控制增益。

假设1神经元激活函数fj在ℝ上满足Lipschitz条件，即对∀x,y∈ℝ，存在Lipschitz常数kj>0，使得|fj(y)-fj(x)|≤kj|y-x|，j=1,2,3,…,n。

假设2max{ ‖φ‖,‖ D e(0) ‖}≤δ。

备注设x∈ℝn×n，定义矩阵范数：

定义ei(t)=yi(t)-xi(t)为驱动系统与响应系统之间的误差系统，则

2 主要结果

定理在假设1和假设2的基础上，若

则对于t0=0、δ、ε，J=[0,T]，驱动系统（1）和响应系统（3）在线性控制器（5）下是有限时间同步的。

证明从定义3、方程（8）可以得到

根据超几何函数，有

因此，根据定义可知，驱动系统（1）与响应系统（3）实现了有限时间同步。

3 数值算例

考虑一类分数阶时滞神经网络作为驱动系统

取初始条件x1(0)=0.4，y1(0)=0.3，x2(0)=0.2，y2(0)=0.1。图1和图2分别是驱动系统（19）和响应系统（20）之间的同步轨迹，图3和图4分别表示驱动系统（19）和响应系统（20）之间的误差状态轨迹。

图1 x1和y1的同步轨迹

图2 x2和y2的同步轨迹

图3 误差e1的状态轨迹

图4 误差e2的状态轨迹

4 结论

本文研究了在1<α<2的情况下，分数阶时滞神经网络有限时间同步问题，利用不等式技巧和线性反馈控制器，推导出保证这类分数阶系统有限时间同步的一个充分条件。通过仿真证明了所得结论的有效性和可行性。本文的主要贡献可以概括为：（1）讨论的阶数是1<α<2，根据状态反馈控制技术，设计一个状态反馈控制器来保证此类分数阶时滞神经网络的有限时间同步；（2）基于Hölder不等式、Jensen不等式、广义Gronwall不等式等，得到驱动响应系统的分数阶时滞神经网络系统的有限时间同步准则；（3）与早期文献中的结果相比，所得结果更一般、更不保守。值得注意的是，近年来许多微积分系统都得到了广泛的研究，也可以利用本文中的一些技巧来处理其他复杂的模型，这些都是今后要继续研究的课题。