高中数学教学中学生抽象能力的提升途径

◎卢秋丹 (福建省闽清县第一中学，福建 福州 350800)

前 言

数学学习过程中培养学生数学抽象能力，有助于发展学生的抽象思维，提高学生数学能力.数学教学过程中教师不重视学生抽象能力的培养，会影响到学生数学学习能力的提升.因此，有必要调查数学教学中学生抽象能力培养的现状，给出针对性的完善措施.

一、高中数学教学中学生抽象能力培养现状

通过收集相关文献资源，我们发现学生数学抽象能力培养存在的问题，具体如下：

大部分学生数学抽象能力水平不高，其中男生与女生的数学抽象素养水平存在较大差异，抽象素养对平时成绩影响不明显；部分学生虽然熟练掌握数学概念、公式及定理，但实际运用能力较差；学生解答实际问题的情况不理想，一些学生是因为无法理解题干中给出的新概念，另一些则是问题贴近生活，学生无法将数学知识运用到问题解决过程中；整体而言，学生基础知识掌握程度较好，但在情境与问题、交流与反思方面掌握不好.

二、高中数学教学中学生抽象能力的提升途径

(一)设计问题情境，激发学生学习兴趣

数学学科本身具有探索性，很多数学概念、定理及公式就是通过坚持不懈的探索与研究发现的.在课堂教学过程中，执教者可以准备一些实例与图片，创设适当的问题情境，与学生一起探索相关知识的形成过程，让他们感受数学学习的乐趣，继而通过猜想、实践及对比等过程，实现提高学生抽象能力的目的.

如，学习函数的零点存在定理.授课前教师给出一张图片：某地一天之内气温变化(最低温度-2℃，最高温度8℃)，让学生感受函数的零点附近函数图像的变化，引起学生对函数图像“穿过”x轴的现象进行思考，激发学生对本节课的学习兴趣.教师设计好相应的问题，并在教学过程中提出.

问题1：观察温度曲线，温度达到0℃的时刻有哪些？

问题2：请同学们尝试用数学语言描述问题1.

问题3：温度达到0℃需要满足什么条件？如果0点时温度为1℃，23点时温度为2℃，一天中温度一定都在0℃之上吗？这两个问题可以发现什么规律，请利用数学语言描述这种规律.

问题4：有且仅有一个时刻温度为0℃需满足什么样的条件？

问题5：通过实践操作，研究f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x图像，指出函数零点所在的大致区间.

通过设计上述几个问题，让学生认真观察图像，主动思考.教师引导学生在实际情境中抽象出函数零点存在的问题，不断地总结、概况、提升，实现用数学语言表达的目的.通过教师引导学生积极思考，实现提高学生的抽象能力的目的.

(二)体会概念形成过程，渗透抽象能力培养

开展数学概念教学时，要选择学生思维最近发展区域的案例，将出现的数学概念具体化，让学生积累从具体到抽象的基本活动经验.高中数学学习过程中，数学概念的抽象度更高，学生学习时很难理解一些抽象的数学符号.教学过程中教师要侧重讲解数学概念，解决相关问题时借助一些模型，或是联系学习过的相关知识，加深学生对数学问题的理解.如，在教授任意角三角函数概念形成的过程中，教师就可以借助学生已有的学习经验促进他们抽象素养的提升.主要经过以下几个环节：

环节1：首先，教师可以让学生回顾初中学习的三角函数概念.初中是在直角三角形中定义三角函数，得到的是锐角三角函数.利用边长的“比值”来刻画三角函数.

环节2：教师继续引导学生用动态变化的观点来看待三角函数问题，即让直角三角形的一个锐角从0°到90°开始变化.同学们发现随着角度变化，对应的边的“比值”也在变化，即三角函数值在变化.

环节3：教师追问：同学们可以用什么数学模型来刻画这种动态变化？

环节4：大部分学生能想到用函数的观点来刻画“比值”随着角度变化而变化的趋势.

环节5：教师引导学生把直角三角形抽象到直角坐标系中，引入单位圆.对于每一个任意角，其终边与单位圆交点的坐标都唯一确定.于是可以利用角的终边与单位圆的交点坐标定义任意角的三角函数.

经历上述抽象出任意角三角函数概念的过程，学生积累了从具体到抽象的基本活动经验，以后可以用类似方法解决问题，促使学生养成良好的思维习惯.同时把握三角函数变化的本质，也为今后学习三角函数的图像与性质打好基础.

(三)搭建数学知识模型，培养学生抽象思维

在开展高中数学教学活动时，想要进一步培养和提高学生自身数学建模的思想和能力，首先需要对建模相关的内容进行科学整合，有机处理.在整个学习过程中，需要结合学生当前心理发展、性格特点、个人能力、知识储备等因素进行综合统筹，同时针对当前教学内容和计划等，进行科学提取，个性化设计，保证建模教学的思想、方法等符合学生学习需求，能帮助学生快速提升学习兴趣和注意力.通过自身不断努力，提升建模思想和能力，并且将其应用于日常生活和学习中，综合使用.在教学过程中，教师应该坚持以下几点：首先，在设置模型背景时，需要根据学生的兴趣、知识组成以及当前教学内容选择学生熟悉且感兴趣的话题和知识点作为背景引入，吸引学生注意力，从而帮助学生积极主动参与其中，感受建模的乐趣以及对学习的帮助.其次，在建模内容选择上，需要对知识点的难易程度进行合理把控，保证所有内容和教学需求与学生当前能力相符合，以此为基础，引导学生利用建模思想解决数学问题.最后，在明确教学目标的同时，提升教学效率.

比如在学习“函数模型和应用”这一知识点时，可以根据教学目标、课程特点以及学生对函数知识的掌握情况，引用现实生活中的现象进行引入，再联系教材内容引导学生建立数学模型进行探究，结合实际问题，帮助学生对函数模型和函数知识的理解更全面、深刻.

例1调查研究显示，2010年、2015年、2020年某种能源的产量分别为8.6、10.4、12.9亿吨.有专家预测该能源生产总量超过20亿吨需要十年时间，也就是2030突破20亿吨.请构建模型判断专家预测是否正确.

分析随着时间变化能源生产总量发生变化，搭建函数模型解决.

解：已知三组数据(2010,8.6)、(2015,10.4)、(2020,12.9)变换为(0,8.6)(5,10.4)、(10,12.9)，通过观察坐标中点的位置判断不能用一次函数拟合数据，选择二次函数.设自变量x为变换后的年份取值，因变量y为能源生产总量，依据二次函数解析式y=ax2+bx+c，模型求解：

构建二次函数模型：y=0.014x2+0.29x+8.6，专家预测是否合理，直接将2030转为自变量x=20得到该能源生产总量y=20亿吨，表明专家预测结果正确.

(四)及时归纳总结，回顾错因，提高数学抽象能力

数学知识具有逐级抽象的特点，较高一级抽象建立在较低一级抽象的基础上.数学学习及教学过程中需要注意逐级抽象性的特点，也就是重视各知识点之间的联系.如果学生没有掌握好前面的知识点，也就无法掌握建立在这些知识点上的概念.新概念学习时，教师要带领学生复习之前的概念，奠定抽象新概念的基础.从而有效培养学生的数学抽象能力.

数学抽象能力的提升不仅仅通过课堂上的教学来实现，还需要学生课后的巩固提升.学生通过回顾学过的数学概念、推导方法等，梳理各板块知识之间的联系.具体可以通过以下方式总结：1.利用思维导图画出每一章节知识点的联系，锻炼学生的逻辑思维能力.2.梳理每个单元的知识点，加深理解并熟练掌握.3.整理错题，学生将自己错误的解题思路和方法也摘抄下来，同时留出空白区域，用于书写正确解法，学生在每次查看错题时都能回想起当初错误的原因以及如何才能正确解答，可谓记忆深刻.

例2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则实数a的值是( ).

A.4或-3 B.-4或3 C.-3 D.4

笔者发现相当一部分学生选择A，错误的原因在于学生对函数极值的概念理解存在误区.一些同学认为求某点处极值就是令该点处的导数等于0，求解即可.忽视了导数为0的点不一定是极值点，在某点处导数为0是在该点处取得极值的必要不充分条件，还需要考虑该点处附近的单调性.引导学生认清自己真正的错因，重新构建函数极值的概念体系，促进抽象素养的提升.

总之，高中数学课堂培养学生数学抽象能力，需要教师选择合适的教学方法，创设适当的问题情境，搭建合适的数学模型，关注新概念抽象过程；学生则需要掌握正确的学习方法，参与概念的探索过程，及时整理学过的知识.两者之间相互配合，将数学知识抽象化理解变得具象化，增加数学课堂的趣味性，顺利实现培养与提高学生数学抽象能力的目的.