小环运动的v-t图像可以这样画吗?———对一道高考物理模拟题的深度分析

汪小平

(安徽省铜陵市第一中学,安徽 铜陵 244000)

1 问题提出

例题.如图1(甲),均匀带正电荷的绝缘圆盘,圆盘平面在竖直面内,一光滑绝缘细杆过圆盘中心O点且垂直于盘面,细杆上套有一个质量为m=10 g、电荷量q=-5×10-2C的带电的小环.让小环以v0=6 m/s的初速度从A点向右运动,到B点时,速度图像的切线斜率最大(图中标出了该切线),到C点时速度第1次减为0,小环运动的v-t图像如图1(乙)．则下列说法正确的是

(甲)

(A) 由A到C的过程中,小环的电势能一直增大.

(B) 由A到C圆盘产生的电势逐渐升高.

(C) 圆盘产生的电场中,A、C两点间的电势差为3.6 V.

(D) 圆盘产生的电场中,电场强度最大点B点处场强大小为0.2 V/m.

该题是东北师大附中、重庆一中等6所重点中学所组织的2020届高三1月联考中的一道试题.该题考察了电场、电势、牛顿运动定律、动能定理以及运动的v-t图像等考点,是一道具有一定综合性的高考模拟题.

通过以上分析发现该题的解答似乎没有问题,但是该题的题干部分给出了小环在过O点垂直于圆盘的绝缘细杆上运动的v-t图像.从该图像可知小环向右运动的速度逐渐减小,加速度先增大后减小.均匀带电圆盘过圆心轴线上的电场的分布是具有确定的规律,那么在该题的物理情景下,能否产生如图1(乙)所示小环运动的v-t图像呢?它的加速度能否先增大后减小呢?在B点v-t图像的切线斜率能否最大呢?

2 问题分析

针对该问题需要分析均匀带电圆盘过圆心轴线上的场强分布情况,由于均匀带电圆盘可以看成无数个均匀带电圆环的叠加,因此先分析一个半径为R、电荷总量为Q的均匀带电圆环轴线上离环中心O点为x处P点的电场强度E.

图2 均匀带电圆环

(1)

图3 均匀带电圆环沿Ox方向电场强度变化

图4 均匀带电圆盘

(2)

对圆盘从0到R进行积分得到圆盘沿x方向的场强

(3)

通过(3)式可以发现均匀带电圆盘沿x轴正方向场强是逐渐减小的,它的E-x图像如图5所示(图5利用Maple软件绘制,并取kQ=1,R=1).

图5 均匀带电圆盘沿Ox方向电场强度变化

通过比较图3和图5可以发现,表面上看圆盘是很多圆环的叠加,但是它们过圆心沿x轴产生的场强的分布规律是完全不同的,比如圆环在x=0处场强为0,在x→∞处场强为0,场强沿x轴正方向是一个先增大后减小的过程;但是对均匀带电圆盘来说,在x趋向于0时它的场强趋向于一个不为0的确定值,并且它沿x轴正方向的场强从该值逐渐减小.因此本题中小圆环沿x轴正方向从A运动到C的过程中,它所受到的电场力是逐渐减小的,它的加速度也是逐渐减小的,它的v-t图像的斜率不可能出现题中的先增大后减小的情形,故本题题干中所给的v-t图像是值得商榷的.

3 问题拓展

带电小物体在不同电场中仅受电场力作用下的运动规律必须符合这些电场的特征,因此为了避免此类命题错误,非常有必要总结出一些除均匀带电圆环(圆盘)以外其他的常见带电体模型在某个方向上的电场分布规律,表1中总结了6种带电体模型沿Ox方向场强分布规律,并绘制图像,图像利用Maple软件绘制,并取kQ=1，d=1，R=1,具体图像如表1所示.

通过表1可以发现不同带电体模型沿Ox方向它的电场强度变化规律各不相同,因此在该方向上某个运动的带电小物体如果仅受电场力作用,它运动的加速度变化规律必然和这些电场强度变化规律相一致,其运动的v-t图像也必然受到这些电场强度变化规律的制约.

表1 不同带电体模型沿Ox方向场强规律