发现对称之美

任 杰 尤文龙

(1. 常熟理工学院电子信息学院,江苏 苏州 215500； 2. 南京航空航天大学理学院，江苏 南京 210016)

前苏联物理学家朗道参考天文学上的“星等”概念,对所有物理学家的贡献进行排名．这个排名分为0到5级,以对数坐标表示出来,处于上一级的人要比下一级的人贡献大10倍． 排在最前面的0等大神是艾萨克·牛顿,0.5等献给了爱因斯坦,1等则分别是量子力学的奠基者尼尔斯·玻尔、维尔纳·海森堡、保罗·狄拉克、埃尔温·薛定谔以及与他同时代的天才尤金·维格纳(图1)等人．

图1 尤金·维格纳

在这个星光熠熠的排名中,1等科学家维格纳这个名字,物理学界以外知道的人就相对少得多．维格纳最为外人所知的是有位“有名的妹夫”,伟大的物理学家狄拉克．实际上,维格纳是20世纪最重要的物理学家之一,他把群论应用到量子力学中,对原子核模型的建立起到了至关重要的作用．他和狄拉克、约当等人一起成为量子场论的奠基人．维格纳的众多成就从许多以他命名的术语可以看得出来,比如维格纳定理(Wigner’s theorem),巴格曼-维格纳方程(Bargmann-Wigner equations),维格纳-埃卡特定理(Wigner-Eckart theorem),约当—维格纳变换(Jordan-Wigner transformation),维格纳晶体(Wigner crystal),维格纳-赛兹半径(Wigner-Seitz radius),维格纳分类(Wigner classification),布莱特-维格纳分布(Breit—Wigner distribution),维格纳D-矩阵(Wigner D-matrix),牛顿-维格纳局域化(Newton-Wigner localization),维格纳-魏尔变换(Wigner-Weyl transform)．光是从这些五花八门的术语不难看出维格纳研究的广度与深度．虽然他早就有资格问鼎诺贝尔奖,却要一直等到1963年,由于“在原子核和基本粒子物理理论上的贡献,尤其是基本对称原理的发现与应用”,他才和玛丽亚·格佩特-梅耶(Maria Goeppert Mayer)、约翰内斯·延森(Johannes Hans Daniel Jensen)一同获得诺贝尔物理学奖．[1]

对称性是自然界留给人类的一笔巨额财富．小到一片雪花,大到物理学中的三大基本相互作用(除引力),它们都存在一种自然的数学对称关系．维格纳的出现使微观物理世界的对称之美得到了绽放．他将群论严格地应用于量子力学问题,为后世的物理工作者开辟出一条崭新的道路．虽然常常感慨自己错过了量子理论发现的黄金时代,但他依然依靠群论在物理学中的应用为量子力学这幢宏伟的大厦添砖加瓦．[2]群论应用于量子力学研究是一件美妙而又有趣的事情,犹如完成一件精雕细琢的艺术品,充满奇遇;又好比是书写一段奇幻的故事,字里行间足见“起承转合”． 元代范德玑的《诗格》有云:“作诗有四法:起要平直,承要舂容,转要变化,合要渊水．”这四句恰如其分地描述了维格纳的工作历程．

1 埋下科学的种子

20世纪之交前后,欧洲小国匈牙利中犹太人取得显著的经济、社会地位,养育出一拨出才华横溢的科学大师和艺术大师,像冯·卡门(钱学森的导师)、查尔斯·德海韦西(同位素示踪法发明者)、利奥·西拉德、尤金·维格纳、冯·诺伊曼、爱德华·泰勒(杨振宁的导师)．后来这批人纷纷离开了匈牙利,飘洋过海到了美国．后来为了抵抗纳粹,西拉德联合泰勒以及维格纳一起协商,并竭力说服爱因斯坦,给富兰克林·罗斯福总统写信,建议美国要赶在纳粹德国之前研制出原子弹，直接促成了美国曼哈顿计划的启动．蓝色多瑙河在短短几十年间为世界贡献了一代天才,开创了一个教育史上的奇迹．

维格纳于1902年出生于布达佩斯的一个中产犹太家庭．家道殷实,父母和善．维格纳的父亲是当时匈牙利的第二大制革厂的一名经理．他的外祖父则是一名内科医生．他常沉迷于外祖父所讲的各种新奇的科学发现中．他的父亲也坚定地认为一份顶尖的学历将会是他安身立命的利器．良好的家庭给予了维格纳很好的启蒙教育,也在他的内心种下了一颗科学的种子．尤其是从家庭教师那里,维格纳发现了自己对数学的兴趣．1915年,顺利完成了高中教育的维格纳来到了美国,进入了一所小的预科学校．在这里他的兴趣得以满足,他可以尽情释放对数学的热爱．同样是在这所预科学校,他结识了日后给予他莫大帮助的冯·诺伊曼．冯·诺伊曼是一个十足的数学天才,对于维格纳来说他可谓亦师亦友,维格纳在冯·诺伊曼那里得到了大量关于数学的帮助,这为他日后理解群论铺平了道路．

在预科学校的学习中,维格纳逐渐发现自己的热爱——物理学,明确了他将为此奉献终身．这一信念化作强大的动力,促使维格纳通过各种途径如饥似渴地学习物理,甚至跑去听相对论的报告．1920年,维格纳从路德宗预科学校毕业,之后他又在布达佩斯的一所叫穆格耶屯的工科大学注册了一年学籍．他选读了物理课程,但像大多数匈牙利大学一样,这所大学似乎对现代物理学并不感兴趣．毫无疑问,成为一名物理学家才是他真正的理想．作为皮革厂经理的父亲不能认可他的想法．父亲经营的制革厂正迫切地需要一些真正懂行的人,在父亲看来他成为一名化学工程师并接手自己的工作才是一个明智的选择．而维格纳也愿意做一个听父母话的好儿子．之后,维格纳去了父亲帮他选择的柏林工业大学学习化学工程．然而,在他内心中,物理学才是他的真爱．离工业大学很近的柏林大学在每个星期三下午都会举行德国物理学会的报告,报告会向来是座无虚席．这些报告对维格纳来说正是梦寐以求的．在报告会上,维格纳第一次见到了爱因斯坦、普朗克、冯·劳厄这些量子力学的先驱,这也是他第一次真正接近近代物理．在那里,他终于找到了一直以来缺乏的归属感．报告会为维格纳打开了一个新的世界．他曾经学到的物理学没有在报告会中被提到,他所熟悉的牛顿,他所理解的电子与原子图像并不能让他对报告的内容有所帮助．于是他开始阅读大量的资料．很快地,他就能跟得上报告会了,甚至还帮助构思了研究思路．某一天,他被选中准备一个评述报告,要向爱因斯坦和冯·劳厄那样的物理学大家作报告,这使得他倍感兴奋．报告会第一排的椅子上坐着爱因斯坦．但这并没有使维格纳感到害怕,相反,他觉得很轻松,因为爱因斯坦所表现出的谦虚使他明白,人类的智慧是有限的,没有人能够独自发现一切,我们大家都有所贡献．也许这就是他没有在报告会上感到紧张的原因．[3,4]

2 邂逅真正的“朋友”

杨振宁先生曾在2002年联合国教科文组织举行的理论物理大会的报告中指出,对称性是20世纪理论物理的主旋律之一．杨先生提到,[5]在他写学士毕业论文期间,父亲给了他一本狄克逊(Dickson)所写的一本书,叫做Modern Algebraic Theories． 这本书写得非常简妙, 令他从中领悟到群论的美妙,激发了对对称原理的兴趣, 对他后来的诸多工作产生了决定性的影响．自然界的对称原理不仅展现了自然的美妙,更是人类理解并深入探索世界客观规律的一个有力工具．但如何简洁有效地描述量子体系的对称性,并对对称结构进行数学分析以期得到体系的各项物理性质,在量子力学建立之初并不是那么的显然．

20世纪之前,理论物理中几乎看不到对称性原理的影子．能量、动量和角动量守恒律被认为就是自然界的重要规律,甚至1865年建立的麦克斯韦方程中蕴含的洛伦兹不变和规范不变在相当长的一段时间中没有被物理学家觉察到．第一个认识到对称性原理是自然界的主要规律的物理学家是爱因斯坦．1905年, 爱因斯坦意识到,电磁场的变换特性是相对论不变性的结果,而不是像洛伦兹那样是从麦克斯韦方程中推导出来的结果,并且实际上正是相对论不变性很大程度地决定了麦克斯韦方程的形式．10年后,这种观点在爱因斯坦构建广义相对论中取得了惊人的成功．等效原理 (自然法则在时空坐标局部变化下保持不变)被认为是引力的最基本的物理性质．然而,即使在这个伟大的成功之后,爱因斯坦的观点也只对广义相对论方面的研究有所助益,对理论物理学几乎没有产生任何影响．这在一定程度上是由于在利用对称性原理时总要涉及到不熟悉的、全新的数学知识,即群论．[6]实则,19世纪末20世纪初,数学家们已经创造出群论．它的诞生并不是源于对称性,但在随后的发展中逐渐延伸出两个方向——代数方向和几何方向．尤其是几何方向与近代物理学有着密切的联系,但这一条线索并不足够清晰,在随后的一个世纪里物理学家也曾尝试使用群论去解决一些物理问题,碍于群论的复杂,研究者们也仅仅将其当成是一个过渡的工具,直到维格纳的出现．

3 是挑战,更是机遇

1925年,维格纳在柏林工业大学取得学位之后回到了布达佩斯．顺从父亲的意愿,他在皮革厂谋到一个职位．但他并没有放弃物理研究,他同制革厂里的一些优秀物理化学家谈论物理学,并把一些有趣的结果写成文章并投到德国最高级的物理学期刊《物理学杂志》, 这成为他在制革厂里找到了一丝慰藉．就在一切仿佛要陷入死寂的时候,1926年他的人生出现了转机．维格纳收到了在威廉皇帝研究院的一位叫做魏森贝格(Karl Weissenberg)的晶体学家的邀请．魏森贝格博士希望他能帮助自己做X射线光谱学,以及X射线和晶体学方面的研究．[3]经过多次的交流与讨论,他知道魏森贝格希望他能找到晶体中的原子得以保持在一些对称轴和对称平面的位置上的原因．他拿到参考资料——韦伯的《代数学》,花了3个星期研究,并找到了一个粗略的解法．当他向魏森贝格讲解他的解法时,他发现魏森贝格并没有完全领会他的方法．魏森贝格希望他做出更简单并且通俗易懂的回答．也正是这种适度精致的追求,使得他越来越深入地钻研到群论中．[3,4]1927年,维格纳收到了阿诺·索末菲的邀请前往哥廷根担任数学家大卫·希尔伯特的助手．哥廷根大学是当时世界上最大的数学中心之一,它在理论物理学方面非常强大．此时,冯·诺伊曼也在哥廷根大张旗鼓地研究数学．有意思的是,冯·诺伊曼也因为父亲觉得学数学不来钱,出于妥协,在进修数学博士的同时,攻读化学学士学位并获得了学位．在冯·诺伊曼帮助下,他开始研究弗洛比尼斯(Frobenius)和舒尔(Schur)关于群论的研究成果,成功解决了魏森贝格交给他的一个又一个有关群论的问题,并且他开始尝试把群论应用于量子力学．在这里,他建立了量子力学中对称性的理论基础——魏格纳D-矩阵．1930年,求贤若渴的普林斯顿大学为了能与哥廷根大学相提并论,同时招聘了冯·诺伊曼和维格纳,以振兴他们的数学和理论物理实力．当时,德国的反犹太主义浪潮越来越大,这两位后起之秀因而得以逃避欧洲的纳粹和战争．

好比一部引人入胜的小说,在其高潮部分必然是充满了矛盾与荒诞,但在矛盾的背后又流淌着事物发展的必然规律．维格纳将群论严格地运用到物理学中．在量子力学的群论方法里,电子的轨道不再是表示成一些轨道而是表示成一些球面,这遭到了许多老物理学家的反对．泡利戏称它为“群祸”．一时间“群祸”流行开来．冯·劳厄,作为维格纳的支持者对群论依然无法完全接受,而维格纳一直崇拜的爱因斯坦也认为群论所处理的仅仅是量子力学当中的一些细枝末节的问题．即使维格纳曾经做过贝克尔的助手,贝克尔也经常会在不经意间流露出对群论的反感．面对外界不屑,1931年,维格纳著作——《群论及其在原子光谱的量子力学中的应用》诞生．这本书一经出版就引起了物理学界的极大关注．但他在序言中即提到,“物理学家们非常不愿意接受群论的论点．”[7]薛定谔更是将群论看成是量子力学中的异端．即使到了1934年,针对群论,薛定谔表示:“这或许是推导出光谱根源的唯一方法,但在5年后,肯定没有谁仍然用这个方法来做研究”．维格纳将所有这些怀疑的论调都转述给冯·诺依曼．冯·诺依曼坚定地相信,5年后每一个物理专业的大学生都要学习群论．果然,不久之后所有物理学家都在学习群论,甚至泡利也在学习．波恩在认真阅读过此书后还赠送给维格纳一份有关这本书的错误列表,详细地列出了书中一些勘误．

4 维格纳的遗产

至此,群论迅速地进入物理学家的视野．维格纳的研究也越来越受到科学界的重视．1958年,他获得恩里科·费米奖,1969年获美国国家科学奖章．然而, 维格纳依然被认为是世界上目前为止最谦卑的物理学家．他毫不掩饰对冯·诺依曼的崇敬,甚至到了“卑微”的地步．维格纳在1963年发表诺贝尔物理学奖获奖演说时,有人问:匈牙利如何在同时代培育出那么多天才?他的回答是: 只有冯·诺依曼是天才．太早结识真正的天才,这让维格纳早早认识到自己虽然是出色的,但并不是杰出的．即使他在数学上也很有天赋,但是在冯·诺依曼面前,他只能自嘲为“二流数学家”,并且告诉别人这就是他转行搞物理的原因．1963年,物理学界为了向维格纳将对称性引入量子力学表示崇高敬意,授予他诺贝尔物理学奖．他个人声称从未预料到会获奖:“我从没料想到我会在没做坏事的情况下登上报纸”．

维格纳将自己毕生的精力和心血都奉献给了物理学,他为人称道的故事有很多,像“维格纳的朋友”,又或者晚年投入曼哈顿计划对原子弹的贡献．1939年8月2日,维格纳把利奥·西拉德介绍给爱因斯坦,促成了历史上知名的爱因斯坦——西拉德信．20世纪的物理学界群星璀璨．维格纳年龄上只比狄拉克小3个月、比约当小1个月,与泡利和海森堡相比也只小了一两年．当他投入物理学研究的时候,已经错过了那个黄金年月．虽不比爱因斯坦家喻户晓,他依然是独自闪耀的一颗．在他还是一个踌躇满志的年轻物理学家时,就断言“物理学的任务应该是,提供一幅生动逼真的图像来描绘我们的世界,揭示自然事件之间的联系,将物理世界的完全和谐性、美妙性以及自然的伟大之处展示给人们”．回顾维格纳的一生,正是他使得量子力学有了超越经典“哥本哈根诠释”的“普林斯顿诠释”．