椭圆的光学性质在重力场中的印证

付正光

(合肥市庐阳高级中学，安徽 合肥 230041)

圆锥曲线的综合问题是高中解析几何的重点内容.椭圆是圆锥曲线中一种重要的形式,利用椭圆的几何特点能产生有趣的物理现象,其中椭圆的光学特性为中学物理所熟知．除光学性质外,笔者发现椭圆还有特殊的“力学”特点．

1 “挂画”问题引发的思考

例1.如图1所示,一幅画通过一根轻绳悬挂在圆滑的铁钉P上,挂上后发现画是倾斜的,已知∠APB=90°,∠PAB=30°,画的重力为G,不计绳与钉之间的摩擦,则绳PB中的张力大小为

图1

参考答案：(A).

评析1： 看到图1,笔者本能地想到了图2,第一感觉画框应该如图2 水平,怎么会倾斜呢?但仔细观察图1,若画框的重心在悬挂点P的正下方的确可以平衡．出于好奇,笔者找来一块质地均匀的薄矩形木板、小滑轮及柔软的细线等,将细线对称地系在木板的两边,再轻轻地将细线的中点悬挂在小滑轮上．此时,发现木板可以像图2一样水平静止不动,但稍作扰动便变成图1或图3倾斜的状态;再轻轻地还原成图2,稍作扰动又变成图1或图3,且不能自发地回到图2．笔者越发好奇,难道图2是由于滑轮摩擦的原因而水平?还是与细线的长度有关?于是,逐渐增加细线的长度,发现由图2变成图1(因图3与图1对称,后文不再提图3)倾斜得越来越不明显,细线达到一定的长度后,无论怎么扰动,细线的悬挂点始终不变,木板始终处于水平静止状态不再倾斜．

图2

图3

例2.(2009年江苏高考题)用一根长1 m的轻质细绳将一幅质量为1 kg的画框对称悬挂在墙壁上．已知绳能承受的最大张力为10 N．为使绳不断裂,图4中画框上两个挂钉的间距最大为(g取10 m/s2)

图4

参考答案： (A).

评析2： 题2中图4画框为什么是水平的呢?是不是在细线较短时,图1中画的重心始终低于图2;在细线较长时,反而图2中画的重心低于图1呢?

在重力场以及其它势场中,物体的平衡种类有:稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡．处于势场中的物体和场一起具有势能,而物体始终具有向势能较低位置运动的趋势．稳定平衡是物体处于势能相对最低位置时的平衡;不稳定平衡是指物体处于势能相对较高位置时的平衡,任何微小的扰动,总能引起它的势能减小,且不能回到原来那个势能较高的位置．

可以抽象出这样的数学模型:在细线长度一定时悬挂点P和两挂钉构成椭圆,两个挂钉是椭圆的焦点,P点就是椭圆上的一个动点．画的重心M到点P的距离则可以等效为定点到椭圆的距离．

2 建立数学模型,进行理论分析

2.1 点到椭圆距离的最大值

图5

点P(acosθ,bsinθ)(0<θ<180°)是椭圆在第一、二象限的任一点,设点M到点P的距离为d,由坐标关系可得

d2=(acosθ)2+(bsinθ+m)2=

-(a2-b2)sin2θ+2bmsinθ+a2+m2=

-c2sin2θ+2bmsinθ+a2+m2.

因0<θ<180°,结合二次函数y=-c2sin2θ+2bmsinθ+a2+m2的图像可知

图6 图与椭圆相切于最高点

结合上述理论分析不难理解,由于画框的重心和两挂钉相对画框是固定的,细线较短时,图1(图7)倾斜画框的重心比图2(图8)水平画框的重心低,画框的重力势能小,图1(图7)属于稳定平衡,图2(图8)属于不稳定平衡;在细线达到一定长度时,图2(图6)中画的重心反而比图1低,图2(图6)属于稳定平衡,图1反而不能平衡．

图7 圆与椭圆有2个切点

图8 圆与椭圆有1个或2个切点

当画框平衡时以上规律既对题1“挂画”问题的有了理论解释,又帮助学生对抽象的圆锥曲线相切问题找到了真身．让学生真正体会到数形结合是物理规律的诠释,物理现象又是数形结合的升华．现再仔细琢磨题2,题给条件中没有画框的重心位置,便不能确定画框最终处于何种平衡状态．试想,若没有“对称”两字,可能就是一个备受争议的高考题了!可见物理命题真的不能随意,或者臆想一个物理情境,否则可能会发生意想不到的结果．

这一现象又引发笔者对对称性的思考:既然“挂画”问题具有定点到椭圆之间距离的这种关系,那么“晾衣杆”模型是否也具有类似的规律呢?笔者又自觉地想到了下面的题3,但这属于直线到椭圆距离的问题,且看以下数形结合分析．

2.2 直线到椭圆距离的最小值(相切)

例3.(2017年天津高考题)如图9所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态．如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是

图9

(A) 绳的右端上移到b′,绳子拉力不变.

(B) 将杆N向右移一些,绳子拉力变大.

(C) 绳的两端高度差越小,绳子拉力越小.

(D) 若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移.

参考答案： (A)、(B).

图10

平衡时,衣架悬挂点一定在椭圆的几何最低点P″,P″T″与椭圆相切且水平．为方便表述,现将此椭圆绕坐标原点O顺时针旋转φ角,如图10所示,F1″变为F1′、F2″变为F2′,P″变为P、Q″变为Q,椭圆的两焦点坐标为方程为为绳长,相当于两杆的距离变为原水平线P″T″的斜率则变为k=-tanφ．由于衣架悬挂点P在第三象限,因此将k=-tanφ

3 结语

圆锥曲线中椭圆的光学性质有很多规律和结论,有时纯解析几何角度的推演很繁杂甚至难理解,但由椭圆的“力学”性质及物理规律去分析,很多问题便迎刃而解．本文分析了椭圆的两类问题:定点到定焦点、不同长轴的椭圆的距离关系;非共焦但同长轴的椭圆的切线关系．受力平衡的两类问题将椭圆的两类问题化抽象为具象,在重力场中得到印证,数理结合的魅力可见一斑．