利用几何图形建立直观通过代数运算刻画规律——解析几何内容分析与教学思考(之一)

章建跃

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

众所周知，近代数学的第一个里程碑是解析几何的诞生，这也是因应了时代发展的需要.文艺复兴使得科技文明获得新生，近代科学技术的发展使运动变化规律成为自然科学的中心问题，由此而迫切需要一种新的数学工具.这样，数学就再一次“扮演了先行者、奠基者的角色”，“而其中影响无比深远者首推坐标解析几何和微积分，它们奠定了对于各种各样自然现象作深刻的数理分析的基本工具.”([1],p.164)

解析几何的重要性决定了它在高中数学课程中的地位.除20世纪50年代外，我国高中数学课程中历来有解析几何的内容，其课程目标和要求，都围绕着使学生理解和掌握坐标法，并用坐标法研究直线、圆锥曲线以及其他重要曲线的方程、性质和作图等来考虑.例如，1986年的《全日制中学数学教学大纲》中提出，解析几何教学要使学生：(1)了解解析几何研究的对象、方法和意义.(2)掌握直角坐标系中曲线和方程的相互关系；能根据所给条件选择适当的坐标系求曲线方程；通过对方程的讨论掌握曲线的性质，画出曲线；能运用坐标法解决有关问题.(3)掌握直线和圆锥曲线的方程、性质及其画法；能利用坐标轴的平移化简圆锥曲线方程；了解一些重要曲线的极坐标方程和参数方程.(4)使学生能够用运动、变化和对立统一的辩证观点去分析问题.([2],p.547)一如既往地，《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称“课程标准”)强调解析几何的学习是要让学生通过建立坐标系，借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征，导出相应方程；用代数方法研究它们的几何性质，体现形与数的结合.下面我们根据课程标准的上述要求，讨论基于数学学科核心素养的解析几何教材与教学问题.

1 课程定位

课程标准提出：本单元的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想.本单元内容包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展.

分析课程标准的上述表述，可以得出如下认识：

首先，解析几何的研究对象是几何图形，以平面直角坐标系为研究工具，通过代数运算研究几何问题.这是解析几何的特征.实践中，有的教师热衷于用平面几何的方法讨论解析几何中的问题，有的老师把坐标法简单化为“算”，这都背离了解析几何的思想.坐标法的要点确实是通过代数运算和推理研究几何图形，但这里的运算是具有几何特征的运算.

其次，课程标准强调“在平面直角坐标系中认识平面图形的几何特征”，这句话的含义需要认真领会.在直角坐标系中研究几何图形必须发挥直角坐标系的力量，这就要以理解直角坐标系的特征为基础.类比数轴，可以发现平面直角坐标系也有“三要素”，即原点、单位长度和方向.这里，原点起“基准点”作用，平面直角坐标系下的方向有两个维度(平面是二维的).与我们的日常经验相吻合，水平的横轴对应于正东、正西方向，铅锤的纵轴对应于正北、正南方向，而第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限分别对应于东北、西北、西南、东南等方向.平面直角坐标系是一个参照系，由此建立了一个讨论平面图形性质的统一标准，其中的“基准点”、“方向”在几何问题代数化中起着关键作用.

第三，用坐标法研究几何问题的步骤是：在直角坐标系中认识图形的几何特征——建立标准方程——运用代数方法研究曲线的性质——通过代数运算研究曲线的位置关系——应用.

结合课程标准提出的本单元学业要求：“能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题 (图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.”可以发现，课程标准特别强调完整地理解坐标法，在用代数语言转化几何问题、用代数运算推导结论之前，一定要注意用几何的眼光分析面临的问题，要在直角坐标系中把握几何问题和图形特点的基础上，再进入到形数转化、代数运算.

2 “直线与圆的方程”的内容与要求

2.1 直线与方程

(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

(3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

(4)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).

(5)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

(6)探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

2.2 圆与方程

(1)回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

2.3 对上述内容与要求的认识

初中平面几何中，通过直观感知、操作确认的方式，学生了解了两点确定一条直线，两点之间线段最短，点到直线的距离的意义及其度量，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行等基本事实；重点研究了相交线与平行线，知道了用两条直线交成的角的关系可以刻画相交线的性质，掌握了平行线的判定定理和性质定理等；知道了平行关系的可传递性.

平面几何教学中的一个明显感受是：很难给出直线的确切定义，因此关于直线及其相互关系的结论也都给人以“直观描述”、“很难说清楚”的印象.

解析几何中，借助平面直角坐标系，我们可以确切地给出确定直线位置的几何要素，进而通过代数语言——二元一次方程，确切地表达直线这一几何学的基本概念.在此基础上，就可以通过方程判断两条直线的位置关系，通过解方程组得到两条直线的交点，通过代数运算得到点到直线的距离公式等等.这样得出的结论就达到了“入微”状态，课程标准提出的内容与要求就是按这个思想给出的.同样地，对于直线与圆的位置关系，平面几何中只是给出了定性刻画，现在我们可以通过直线的方程、圆的方程、点到直线的距离、圆心距等对直线与圆、圆与圆的位置关系作出精确定量的判断.

课程标准要求在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.这里关键是要让学生懂得如何利用直角坐标系刻画直线的“方向”这个要素，这是与平面几何有质的不同的地方，也是学生不习惯的.倾斜角从几何角度刻画了直线的方向，斜率从代数角度刻画了直线的方向.

2.4 “直线和圆的方程”的教学重点

直线与方程、圆与方程的教学，关键是要使学生形成对坐标法的基本认识，掌握用坐标法解决问题的步骤，形成对坐标法与综合法的联系与差异的深刻体验.这就要注重引导学生经历用坐标法研究几何图形的完整过程：结合情境描述直线的几何特征与问题，即两点确定一条直线，或一个点和一个方向确定一条直线；在直角坐标系中用倾斜角(几何)和斜率(代数)刻画直线的方向；建立直线的方程，用代数语言描述这些特征与问题；借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，利用直线方程、通过直观想象和代数运算求解有关问题，例如：直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离、平行线间的距离等.圆的方程的教学重点与此类似.在此基础上，利用方程讨论直线与圆的位置关系.

3 “直线和圆的方程”的内容理解与教学思考

3.1 如何利用平面直角坐标系认识确定直线位置的几何要素

前已指出，平面直角坐标系是一个“参照系”，在平面直角坐标系中认识确定几何图形的要素，就是要利用好坐标系的基准作用，其中有两个关键要素：位置、方向.

在给定的直角坐标系中，点P的位置与其坐标(x，y)一一对应，两个点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的位置差异用距离公式

来度量.那么直线的方向该如何刻画呢？

我们还是回到最原始的地方.在平面直角坐标系中，坐标轴具有确定的方向，有基准作用.因为刻画“方向差异”的几何量是角度，选择与人的直觉一致的水平线(横轴)为基准，将x轴正向与直线向上的方向之间所成的角——倾斜角，作为刻画直线方向的几何量，其取值范围是[0，π).这样，平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，以横轴为基准，用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.如果再加上一个定点，那么就能唯一确定一条直线.所以，用“倾斜角”来刻画直线的几何特征是非常完美的，这也是解析几何中为什么将“点斜式方程”作为直线方程的“基本式”的原因.

在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素有浓厚的解析几何味道，并且可以和不需要参照系的“两点确定一条直线”的平面几何方法进行对照，从而使学生领悟如何发挥坐标系的作用.所以，教学中要注重利用倾斜角概念的发生发展过程，引导学生体验坐标法的内涵.

3.2 如何引导学生研究斜率公式

传统上，人们用“坡度”作为斜率的现实原型，这是合理的.但在倾斜角到斜率中间插入“坡度”，在数学内容的连续性上稍有逊色.从数学知识的发生发展过程看，这里有两个想法是比较自然的：

第一，根据解析几何的“基本套路”，从几何角度引入倾斜角概念后，接着的任务是“代数化”，斜率是倾斜角的代数化；

第二，平面几何的“基本事实”是“两点确定一条直线”，这里是“一个点和一个方向”确定一条直线，因此它们有内在联系，这个“内在联系”的表达就是斜率公式.研究同一个对象两种表达之间的联系是数学中的基本问题.

基于以上两点，人教A版给出了一种新的处理方法([3]，p.52～54)：

首先，以“由两点确定一条直线可知，直线l由点P1，P2唯一确定.所以，可以推断，直线l的倾斜角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系”提出问题.这是在“有逻辑地思考”后合理地提出问题，教师要重视利用这个问题进行“如何发现和提出问题”的教学.

接着，安排“探究”栏目，引导学生利用向量展开有层次的探索：

探究在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.

(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？

三个问题循着由特殊到一般、由具体到抽象的路径，其中第一个问题是基础.因为平移后直线的倾斜角不变，所以后面两个问题都可以转化为第一个问题，即转化为通过原点的直线.运用向量方法，结合正切函数的定义，可以得出结论.

前两个问题对学生没有难度，但需要认识问题的立意，进行一般性思考，即通过直线上两点的坐标定量刻画这条直线的倾斜角，把直线的倾斜程度代数化，并且要从这两个具体例子中得到启发，想到对一般化的两个点需要分4种情况进行讨论.教科书没有事先给出图示，是为了给学生留出充分的自主探究空间.实际上，这就是数学学习的基本方法，即从具体事例中发现和抽象一般规律，再一般性地提出问题，得出普遍成立的结论.这个过程可以促进学生数学抽象、直观想象素养的发展.

从而利用正切函数把倾斜角(几何)对应到R上的实数——斜率k(代数)，实现了用代数方法表示方向这一几何要素的目标.

教学中要提醒学生注意，斜率是把方向代数化的一个量，带有符号.符号所表达的几何要素是方向，所以几何量带上符号，就使几何量的运算包含了“方向的运算”.

上述过程的逻辑性很强，在思维上是自然而然的，但对学生的能力要求比较高：

(1)以联系的观点发现和提出问题.确定一个数学对象的两种方式一定有内在联系，并且可以互化.

(2)需要调动相关知识才能发现联系.这里要调动向量、三角函数等相关知识，并且要有分类讨论的意识.斜率与方向向量的坐标表示具有内在一致性，这也是学生不容易想到的.

值得指出的是，直线的倾斜角和斜率是解析几何的开端，其难点在于学生不熟悉“方向的代数化”中的数学方法，根子还在对直角坐标系、角以及向量的特征等最基本概念内涵的理解.“方向的代数化”是理解解析几何方法的重要契机.

下面简单讨论一下在直角坐标系中刻画点与直线相对位置的方法.除与坐标轴平行的直线外，这种相对位置可以区分为点在直线的“左上方”、“左下方”、“右上方”、“右下方”等情况，这里的任务是要利用坐标轴的方向，把“上下左右”代数化.

以“点P0(x0,y0)在直线l：Ax+By+C=0的左上方”为例.不妨设AB≠0且A>0，如图1所示，在直角坐标系中，上下左右是以坐标轴为参照系的，其中横轴以左右论之，纵轴以上下论之.因此，“点P0在直线l的左上方”这一几何关系，意味着过点P0作x轴的平行线得交点P1(x1，y1)，由“P0在P1的左方”得x0y2.所以

图1

即

Ax0+By0+C<0.

同理，当P0(x0，y0)是直线Ax+By+C=0“右下方”的任意一点时，都有Ax0+By0+C>0.

综上可得“同侧同号”的结论.

可以发现，以往的教科书以及针对这一内容的教研论文，都没有以坐标轴的左右、上下为参照，将为什么过点P0作坐标轴的平行线的道理解释清楚，而是以“Ax+By+C中有两个参数x，y，先在直线Ax+By+C=0的一侧取点P(x,y1)，固定y1，考察x变化时Ax+By1+C的取值符号变化情况，可以发现……”的方式得出结论.显然，这个过程没有体现好坐标法的真谛：利用平面直角坐标系，将几何语言表达的点与直线的位置关系(方位)，转化为代数语言(不等式)表达的坐标之间的关系.

3.3 如何进行点斜式方程的教学

直线的点斜式方程是学生在解析几何中遇到的第一个“图形的方程”，它在直线的方程乃至整个解析几何中都具有奠基作用.可以看到，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率.建立直线的方程时，直线的斜率处于核心地位，而其他形式的直线方程都可以看成是点斜式方程的变式.

同时，建立点斜式方程的过程也具有示范意义.从几何角度看，在平面直角坐标系中，给定一点和一个方向(倾斜角)，就唯一确定了一条直线.转化为代数语言，就是给定一点P0的坐标(x0，y0)和斜率k，就可以唯一确定一条直线l.

什么叫“唯一确定”？如何用代数方法表达“唯一确定”？

顺便说明，在得出点斜式方程后，可以引导学生思考：如果给出的几何条件具有特殊性，那么相应的直线的方程也有特殊性，你认为哪些情况比较特殊？让学生通过自主探究得出其他形式的直线方程.

3.4 直线的“直”与线性方程

直线是基本几何图形，其根本特征是“直”.如何刻画直线的直？平面几何教科书中为此做出过各种努力，例如：

点是没有部分的，线只有长度没有宽度，直线是它上面的点一样的平放着的线(欧几里得，《几何原本》)；

置一线的一部分于他部分上，没有一处不相重的，这叫做直线(《国定教科书初中几何(一) 》，教育部编审委员会编，华中印书局，1941)；

一线，打着滚，但其中两点不离原处，若此线在打滚中各新位置始终与原位置相合，则此线叫做直线(《中国初中教科书几何学 上册》，吴在渊编，中国科学图书仪器公司，1947)；

线只有一个向度——长；点只有位置而无向度；直线是线上的任何一点都不变更其方向的线；直线由两条或两条以上之直线所构成；曲线上之每一点均改变其方向(《新三S平面几何学 》，Schultze-Sevenoak-Stone著，许彦生译，开明书店，1948)；

仅有位置、长短而无宽狭、厚薄者为线.线上任意二点间之一部分，以任意之方法置于他部分上，能与他部分密密相合者，谓之直线(《高中几何学》，陈建功 郦福绵编著，开明书店，1949).

人们发现，再怎么努力也无法和初中学生说清楚“直”的含义，于是就采用“混”的办法，用“包围着体的是面”、“面和面相交的地方形成线”、“线和线相交的地方是点”，而对什么时候线是“直”的，就描述为“一条拉得很紧的线，给我们以直线的形象.直线是向两方无限延伸的.”(《几何(第一册)》，人民教育出版社中学数学室编，2001)

用纯粹几何的方法定义清楚点、直线、平面等几何基本元素困难重重，但用数形结合的方法就可较好地解决这个问题.

显然，上述关于直线特征的描述是凭借直觉经验的，特别是“从A(B)到B(A)的方向无限延伸”的含义不太符合数学定义的完备性、纯粹性要求.在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则

这样，“从A(B)到B(A)的方向无限延伸”可以表述为：对于延伸线上异于A，B的任意一点P(x，y)，都有

(*)

由此可见，用斜率表示方向，将直线上任意两点所确定的方向相同或相反表示为斜率相等，这就是直线的“直”的代数表示.

把(*)式化为y-y1=k(x-x1)，这是二元一次方程，是最简单基本的二元代数方程，它对应于一条直线.这是把二元一次方程称为“线性方程”的理由.

3.5 如何认识各种直线方程之间的关系

这里讨论斜率存在且不为0的直线方程.直线的方程有不同的形式，一个自然的想法是这些不同形式的方程一定有内在联系，相互之间可以转化.教科书一般都以点斜式方程为基础，通过“点的特殊化”、“斜率的不同表达”而得出特定条件下直线方程的特定形式，这些形式的方程反映了直线的某种几何特征.例如，斜截式y=kx+b中，“斜”指斜率k，“截”指y轴上的截距b，是点斜式方程中的“点”取直线与y轴交点(0，b)时的特例；两点式是斜率由两个定点坐标确定；截距式中的“截距”就是直线与两坐标轴交点的横、纵坐标，是两点式的特例；等等.

虽然直线方程的各种形式都有自己的特殊意义，但教学的重点应该放在点斜式上，而且在得到点斜式方程后，可以通过问题引导学生思考，在点斜式方程中，“点”可以有哪些特殊性？当斜率用不同条件给出时方程会有怎样的不同形式？等等.另外，两点式方程

具有对称性，教学中应让学生体会表达形式的优美和几何意义的关联.如图2所示，两点式方程可以理解为“Rt△P1AP2相似于Rt△P1BP”的代数表达.

图2

因为点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是在某种特定条件下的方程形式，如果不满足这一特定条件，那么就不能用这种形式表示，而方程Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)不受什么条件限制，所以叫做“一般式方程”.

3.6 如何教点到直线的距离公式

首先，度量是几何的本质所在，而长度是度量的根本.“两点之间线段最短”是欧氏几何的本质所在，把两点所确定的线段长度定义为这两点间的距离，再以此为基础，利用空间元素的垂直关系，解决各种各样的距离问题，这就是几何中解决距离问题的基本思路.点到直线的距离公式是知识的一个交汇点，是一个内涵丰富的内容，这一点要让学生体会到.

(1)从定义出发推导公式

为了充分发挥这一内容的育人价值，引导学生领悟坐标法的真谛，使他们学会灵活运用数形结合思想解决问题，人教A版从点到直线距离的定义出发，基于定义所给定的几何要素，利用垂线求交点，再用两点间距离公式推导出点到直线的距离公式.这个方法本质上就是一步步地把点到直线距离的几何定义翻译成代数表达，其特点是思路自然、方法“大众化”，不涉及什么策略性知识，可以程序化，但解方程组的操作过程复杂，需要熟练的代数变换技能，其价值是：“常规思路”往往代表了“通性通法”，大巧若拙，其中蕴含的智力价值应当引起重视.

(2)反思过程，改进方法

另外，方法的“繁”与“简”可以相互转化，“简”是从“繁”中演化出来的.为此，人教A版设置了一个“思考”([3]，p.75)：

上述方法中，我们根据定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大.反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？

接着做了如下引导：

能否直接求出(x-x0)2+(y-y0)2？

上述问题意在引导学生梳理和反思解题过程，找出引起复杂运算的原因，并进一步探寻简化运算的方法.不难发现，推导过程中有许多“无用功”，原因是整个运算过程非常机械，没有做到“瞻前顾后”.如果从整体上考虑 (x-x0)和(y-y0)，就可得到以下简化的思路：

如图3，设点P(x0，y0)，过点P作l的垂线，Q(x，y)是垂足，过点P，Q分别作y轴和x轴的平行线交于R，则|QR|=|x0-x|，|RP|=|y0-y|.将方程组

图3

变形为

就能容易地求出x0-x，y0-y，进而得到点到直线的距离公式.

(3)数形结合，巧妙转化

也可以从特殊到一般地推导.显然，最特殊的情形是直线与坐标轴平行.

图4

对于一般情形，设l：Ax+By+C=0(AB≠0)，如何利用“特殊”情形？也就是如何将“一般”化归为“特殊”？如图5，过P0(x0，y0)作平行于x轴或y轴的直线，可以发现，通过作x轴的平行线交l于P1(x1，y1)而实现的转化比较简单：

设直线l的倾斜角为α，

则点P0到直线l的距离d=|P0P1|sinα,

又

所以

图5

由上所述，数形结合地考虑，要实现“简化”，主要是利用平行于坐标轴的线段长来表示点到直线的距离，通过特殊与一般之间的关联实现转化，而在转化过程中又要利用三角函数的有关知识，使距离的表示更加简单.所以，教学中，教师应利用数形结合思想，在如何用相关元素表示距离上进行引导，并在调动三角函数的有关知识上加以点拨.

(4)借助向量，反映本质

图6

(5)广泛联系，探寻简捷方法

一个好的问题是值得不断挖掘的，在探寻各种解决方法的过程中总会有新的发现，同时也会促进不同知识之间的联系，从而优化认知结构，促进思维品质的发展，这是因为不同求解方法的实质是知识的不同联系方式，学生能想到新方法，就说明他对相关知识及其蕴含的数学思想方法具有较为深刻的理解.

以各种各样的距离问题为核心，可以将函数、几何与代数、极限与导数等各种相关概念(如均值不等式、二次函数的最值、直角三角形、向量投影、导数等)联系起来，进而形成一个结构化的知识体系，可以有效促进学生理解数学的整体性，所以教师要重视距离问题的教学，加强不同求解方法的引导.人教A版在完整呈现利用定义将问题转化为求两点间距离、利用向量投影等推导点到直线的距离公式后，设置“思考”栏目，在对两种方法进行比较的基础上，要求学生探索其他推导方法.教学中，可以将这个内容处理成一个小的“数学探究活动”.

3.7 圆的标准方程和一般方程

从(x-a)2+(y-b)2=r2，x2+y2+Dx+Ey+F=0可以看到，三个独立条件唯一确定一个圆的方程，这与“三个不共线的点确定唯一一个圆”是一致的.

圆的方程的两种形式各有特点.圆的标准方程直接体现了确定圆的两个几何要素，即圆心的位置和圆的半径；圆的一般方程的代数特征很明显，是Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0在B=0，A=C≠0时的特例.

显然，刻画“圆”这一特征要比刻画“直”容易得多，因此求圆的方程也是比较容易的.另外，圆有许多漂亮的几何性质，在三角函数、复数和平面向量中，学生已经有了一些在直角坐标系中讨论圆的问题的经验，这些都为丰富圆的方程的学习内容奠定了基础.实际上，人教A版在例题和习题中对此已经给予了关注.更加丰富的内容体现在直线、圆之间的位置关系上.

3.8 直线、圆的位置关系

理论上，联立直线的方程和圆的方程，通过方程组的解即可判断直线和圆之间的位置关系，也可以利用圆心到直线的距离判断它们之间的位置关系.同样的，我们也可以通过解两个圆的方程的联立方程组判断圆与圆的某些位置关系，不过具体求解时还要根据问题的条件.在研究圆与圆的位置关系时，利用圆的几何性质的方法更加明显，如圆心距、两圆相交时两圆圆心所在直线垂直平分两圆的公共弦等等，利用这些性质都可以达到简化运算的目的.另外，相切这一特殊的位置关系有更大的研究价值，相切常常与优化问题相连，很多优化问题可转化为相切问题，如最短距离、最大角度等等.