完全平方公式的推导及应用

蒙洁 周凯文

中图分类号：A  文献标识码：A  文章编号：（2021）-18-296

教学目标：知识技能1、经历探究完全平方公式的过程，并归纳总结完全平方公式;2、能运用完全平方公式进行简单的计算。

教学难点：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力。

教具：多媒体

教学步骤：

活动一：创设情境导入新课

【课堂引入】更大的生日蛋糕大家都知道老师有两个孩子，有一天他们找我。请两个同学来表演一下：儿子：去年我和妹妹的生日蛋糕都是面积只有a2的正方形，太小了。女儿：是啊！我长大一岁了，生日蛋糕要再多出一个。儿子：我也长大一岁了，要求把蛋糕边长增加b，变为（+b）。女儿：那不是一样大吗？儿子：不对，我的蛋糕会更大。同学们认为哥哥说的对吗？为什么？通过实际情境让学生产生兴趣，调动学生学习积极性。

活动二：实践探究交流新知

【探究1】（a+b）2=a2+2ab+b2

问题1：如图，你能用代数式表示哥哥想要蛋糕的面积吗？由图可以看出哥哥比妹妹的蛋糕多了两块。因此（a+b）2≠a2+b2

问题2：那么（a+b）2等于什么呢？请同学们小组交流，得出结果。学生展示，得出公式（a+b）2=a2+2ab+b2由于两个代数式都表示同一图形的面积，因此相等。

问题3：你能用多项式乘多项式来验证两个代数式相等吗？学生交流展示。

【探究2】（a-b）2=a2-2ab+b2问题1：老师还有一个公式没有完成，同学们能帮老师完成吗？（a-b）2=？学生思考，交流展示。问题2：你能自己设计一个图形解释这一公式吗？问题3：分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式。（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2。结构特点：左边是二项式（两数和或差）的平方;右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的2倍。语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。

经过探索，引入完全平方公式，再让学生自己举例加深对公式的体会。而在计算图形的面积时，通过对比这些表示方式可以使学生对于公式有一个直观的认识。同时在古代人们也是通过类似的图形认识了这个公式。通过自主探究和交流学到了新的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发。问题1是让学生从代数运算的角度，推导出两数差的完全平方公式，培养学生有条理的思考和语言表达能力。问题2使学生再次从几何的角度来验证两数差的完全平方公式。从而学生经历了几何解释到代数运算，再到几何解释的过程，学生的数形结合意识得以培养，并且从不同的角度推导出了公式，并且加以巩固。处理方式：此环节的设计符合学生的认知水平和认知过程，问题1教学中学生采用了不同的方法：①运用多项式的乘法法则;②把两数差看作两数和，再运用两数和的公式。教师应重视学生对于算理的理解，让学生尝试说出每一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力。（多媒体出示，同时给学生半分钟时间反思体会）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。（a-b）2=[a+（-b）]2=a2+2a（-b）+（-b）2=a2-2ab+b2。问题2用几何解释验证两数和的完全平方公式的巩固，同时也是对于学生数形结合意识的一种培养，绝大多数学生能够通过交流合作得以掌握。通过几个活动学生能够初步地掌握了完全平方公式，并在推导过程中培养了数学的基本能力。（a-b）2=a2-ab-b（a-b），即（a-b）2=a2-2ab+b2。问题3在前面的基础上，加以总结，使得学生从形式上初步地认识了完全平方公式。

活动三：开放训练体现应用

【应用举例】例1，利用完全平方公式计算：（1）（2x-3）2;（2）（4x+5y）2;（3）（mn-a）2。处理方式：教师引导学生利用公式特点写出解答过程。规范解答过程。

【变式训练】计算：（1）（12x-2y）2;（2）（2xy+15x）2;（3）（n+1）2-n2。处理方式：三个学生到黑板板书，其他同学计算。让学生进一步巩固公式，熟练应用公式。进一步熟悉公式。并通过小组交流，自我检验，巩固反馈。

【拓展提升】例2，阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2=（a+b）2-2ab或a2+b2=（a-b）2+2ab，从而使某些问题得到解决。例：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值。解：a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×3=19。问题解决：（1）已知a+b=6，则a2+b2=________;（2）已知a-b=2，ab=3，分别求a2+b2，a4+b4的值。观察公式特点：（a+b）2=a2+2ab+b2→a2+b2=（a+b）2-2ab;（a-b）2=a2-2ab+b2→a2+b2=（a+b）2-2ab;（a+b）2-（a-b）2=4ab。进一步提高学生灵活运用所学知识，解决实际问题的能力。

【当堂训练】

1. 指出下列各式中的错误，并加以改正：（1）（2a-1）2=2a2-2a+1;（2）（2a+1）2=4a2+1。

2. 运用完全平方公式进行计算：（1）（-3+2x）2;（2）（-4x-5y）2。

3. 若a+b=5，求a2+2ab+b2的值。处理方式：教师出示检测题，监督学生独立完成，学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况。学生根据答案进行纠错。了解学生对本节课掌握情况，以便能及时地进行查缺补漏。使每个学生都能在原来的基础上获得较大的发展。

活动四：课堂总结反思

课堂总结：通过这节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？先想一想，再分享给大家。

总结内容：

1. 注意完全平方公式和平方差公式的不同：结果不同：完全平方公式的结果是三项。即（a±b）2=a2±2ab+b2。平方差公式的结果是两项。即（a+b）（a-b）=a2-b2。

2. 在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边，做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。处理方式：学生争先恐后，积极回答，教师适当补充。布置作业：1.教材习题：课本P26习题1.11中T1，T2，T3，T4。

2.拓展练习：（a+b）2与（a-b）2有怎样的联系？能否用一个等式来表示两者之间的关系？并尝试用图形来验证你的结论。鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对“温故而知新”的体会。学生能够在课堂上畅所欲言，并通過自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识。

板书设计：提纲挈领，重点突出。

教学反思：1.授课流程反思：通过几何图形面积的求法，复习平方差公式的同时，为后面的对比学习完全平方公式做好准备。

2.讲授效果反思：对计算结果结构特征的分析时教师板书其特征，让学生更容易看到其运算的过程，再结合几何图形的面积从直观上进行巩固，让学生对完全平方公式有较好的理解和认识。

3.师生互动反思：___________________

4.习题反思：好题题号_________错题题号_________反思，更进一步提升。

本文系宁明县整体推进县域课堂教学改革实验研究-2019年度宁明县亭亮中学子课题《如何提高农村初中学生计算能力的教学模式》（立项编号：czkt2019—121）的研究成果