例谈增根的产生与作用

摘 要：增根是中学阶段解方程时的常见问题，本文结合高考题目与个人思考，重点阐述一下二次曲线联立为什么产生增根、两圆联立为什么不产生增根、如何对根进行取舍、增根的作用等问题.

关键词：增根;等价转换;根轴;提示性作用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0035-02

中学阶段，增根是学生普遍感觉比较棘手的问题.增根是指方程求解后得到的不满足题设条件的根.了解增根产生的原因，对根进行合理取舍，是中学生必备的数学素养.本文以高考题目为例谈一下增根问题.一、增根产生的原因

增根的产生源于题目条件转化为结论的过程中，使得条件成为结论的充分不必要条件.如果在题目的解答过程中将条件等价转换为结论，增根自然会被舍去.例1 （2020年全国Ⅱ卷理19）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.

（1）求C1的离心率;

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.

分析 （2）由（1）知e=12，所以a=2c，b=3c.椭圆C1的方程为x24c2+y23c2=1，联立y2=4cxx24c2+y23c2=1，消去y并整理得3x2+16cx-12c2=0，解得x=23c或x=-6c（舍去）.

为什么x=-6c是增根呢？分析发现，y2=4cx中隐含着x≥0.可将过程完善为“y2=4cxx24c2+y23c2=1x≥0，去y整理得3x2+16cx-12c2=0x≥0，解得x=23c或x=-6cx≥0，所以x=23c.

我们常常说，二元二次曲线方程联立在实数范围内容易产生增根，但两圆联立不产生增根，这是为什么呢？

二、探索两圆联立不产生增根的原因

例2 已知：圆C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r21，圆C2：（x-a2）2+（y-b2）2=r22，

兩圆相减得直线2（a2-a1）x+2（b2-b1）y+a21-a22+b21-b22-r21+r22=0，我们称此直线为根轴，试判断“两圆公共点个数”和“根轴与两圆公共点个数”之间的关系.

分析 两圆的圆心距为d=（a1-a2）2+（b1-b2）2，C1到根轴的距离为d1=|（a1-a2）2+（b1-b2）2+r21-r22|2（a1-a2）2+（b1-b2）2=|d2+r21-r22|2d，C2到根轴的距离为d2=|（a1-a2）2+（b1-b2）2-r21+r22|2（a1-a2）2+（b1-b2）2=|d2-r21+r22|2d，

①当两圆相交时，显然根轴为公共弦所在的直线，根轴与两圆的两个公共点即是两圆的两个公共点;

②当两圆外切时，两圆的1个公共点在根轴上，且d=r1+r2.

下面证明根轴与两圆只有一个公共点.

C1到根轴的距离为d1=|（r1+r2）2+r21-r22|2（r1+r2）=2r21+2r1r22（r1+r2）=r1，同理C2到根轴的距离d2=r2，所以根轴与两圆均相切，即根轴与两圆只有一个公共点.

所以，两圆外切时，两圆的1个公共点即根轴与两圆的1个公共点;

③当两圆内切时，两圆的1个公共点在根轴上，设r2<r1，d=r1-r2.

C1到根轴的距离为d1=|（r1-r2）2+r21-r22|2（r1-r2）=|2r21-2r1r2|2（r1-r2）=r1，同理C2到根轴的距离d2=r2，所以根轴与两圆均相切.

所以，两圆内切时，两圆的1个公共点即根轴与两圆的1个公共点;

④ 当两圆内含时，设r2<r1，d<r1-r2，C1到根轴的距离为d1=|d2+r21-r22|2d=d2+r21-r222d，

d1-r1=d2+r21-r22-2dr12d=（d-r1）2-r222d=（d-r1-r2）[d-（r1-r2）]2d>0，得 d1>r1.因为d2-r21+r22<（r1-r2）2-r21+r22=2r22-2r1r2=2r2（r2-r1）<0，所以d2-r2=|d2-r21+r22|-2dr22d=r21-r22-d2-2dr22d=r21-（d+r2）22d=（r1+r2+d）（r1-r2-d）2d>0，得d2>r2.所以根轴与两圆均相离.

所以，两圆内含时，两圆无公共点，根轴与两圆也没有公共点.

⑤ 当两圆相离时，设r2<r1，d>r1+r2，C1到根轴的距离为d1=d2+r21-r222d，

d1-r1=d2+r21-r222d-r1=d2+r21-r22-2dr12d=（d-r1）2-r222d=（d-r1+r2）（d-r1-r2）2d>0，

得d1>r1.

d2-r2=d2-r21+r222d-r2=d2-r21+r22-2dr22d=（d-r2）2-r212d

=（d-r2-r1）（d-r2+r1）2d>0，得d2>r2.所以根轴与两圆均相离.

所以，两圆外切时，两圆无公共点，根轴与两圆也没有公共点.

综上所知，“圆与圆的公共点的个数”和“根轴与圆的公共点个数”是相同的.

所以，两圆的位置关系本质是根轴与圆的位置关系，因为直线与二次曲线联立不会出现增根，故两圆联立不会出现增根.

三、增根在部分题目中存在的意义

很多人认为增根本身没有存在的必要性和价值性，是严谨数学的一个瑕疵，这其实是不对的，细细研磨会发现，增根在部分题目中对解题有些积极的提示性作用.

例3 （2020山东卷22）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，且过点A（2，1）.

（1）求C的方程：（x26+y23=1）

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.

分析 本题绝大部分学生得6分或者7分，主要原因是计算到4k2+8km+3m2-2m-1=0不会因式分解，若利用变换主元法，可得4k2+8mk+（m-1）（3m+1）=（2k+m-1）（2k+3m+1）.但是这种二元二次方程因式分解绝大部分学生不会做.下面提供一种利用增根进行因式分解的方法.

产生增根的原因：因为AM⊥AN，所以AM·AN=0，而AM·AN=0AM⊥AB或AM=0→或AN=0→，所以，利用AM·AN=0解答能够得到直线MN经过点A的情况，或者说点M或点N与A重合的情况.

直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m，因为直线MN存在过点（2，1）的情况，此时MN可写为y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，于是得m=1-2k，故2k+m-1为方程4k2+8km+3m2-2m-1=0的一个因式，根据方程4k2+8km+3m2-2m-1=0的特点，左边可分解为（2k+m-1）（2k+tm+1）=0，所以2tkm+2km=8km，所以t=3.也可以根据多项式的除法得另一个因式，即4k2+8km+3m2-2m-12k+m-1=2k+3m+1，所以4k2+8mk+3m2-2m-1=（2k+m-1）（2k+3m+1）.

参考文献：

[1]苏凡文.多角度求解山东省高考21题[J].数理化解题研究，2020（25）：52-53.

[责任编辑：李 璟]