三次函数极值点特征分析

姜勇钢

摘 要：习题教学在高中数学的常态教学过程中，是一种策略，更是一种智慧，教师要将“教”的智慧转变为学生“学”的智慧，就是教师教育艺术的关键所在.在常态化的教学过程中，我们教师首先要深入挖掘题目的本质和内涵，结合学生已有的知识与技能，帮助学生一层层揭秘，并借此举一反三，由一题推一类，以此达成方法与技能上的提升.

关键词：三次函数;极值;方法;策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0013-02

笔者借助本文，通过一道三次函数为原型题目的分析、解答、求解、归类等，将一题的多种方法一一呈现，并通过题目的分析引领学生去深入分析、感悟题目，学会在对比中感悟，在感悟中应用，在应用中提升，在长期的教学引领下，实现减负高效的数学学习环境.

一、例题呈现

已知f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1<x2，且存在x0满足x1+2x0=3x2，令函数g（x）=f（x）-f（x0），试判断g（x）的零点个数并证明.

方法一 （直接代数运算）求导得

f ′（x）=3x2+2ax+b，

所以x1，x2是方程

3x2+2ax+b=0

的两个根，根据韦达定理得

a=-32（x1+x2），b=3x1x2，

又由题意得

x0=32x2-12x1，

所以g（x）=f（x）-f（x0）

=（x-x0）x2+x0x+x20+a（x+x0）+b

=（x-x0）[x2+（32x2-12x1）x+（32x2-12x1）2

-32（x1+x2）（x+32x2-12x1）+3x1x2]

=（x-x0）[x2-2x1x+（94x22-32x2x1+14x21）

-32（-12x21+32x22+x1x2）+3x1x2]

=（x-x0）（x2-2x1x+x21）

=（x-x0）（x-x1）2

显然它有两个零点，分别为x1和x0.

方法二 （平移代换）将f（x）的解析式作如下变形：

f（x）=x3+ax2+b=（x+a3）3+（a23+b）（x+a3）-4a327-ab3，

记t=x+a3，φ（t）=t3+At，其中A=a23+b，B=-4a327-ab3，则f（x）=φ（t）+B，

所以t1=x1+a3，t2=x2+a3是φ（t）的极值点.①

由题意得x1+a3+2（x0+a3）=3（x2+a3），即对应的t0，t1，t2也满足t1+2t0=3t2.②

而g（x）=f（x）-f（x0）=φ（t）+B-φ（t0）+B=φ（t）-φ（t0）.③

所以原题等价于下列命题：

已知φ（t）=t3+At，若函数φ（t）有两个极值点t1，t2，t1<t2，且存在t0满足t1+2t0=3t2，令函数h（t）=φ（t）-φ（t0），试判断h（t）的零点个数并证明.

易知t1+t2=0，A=3t1t2=-3t21，

t0=32t2-12t1=-2t1，

所以h（t）=φ（t）-φ（t0）=（t-t0）（t2+t0t+t20+A）=（t-t0）（t2-2t1t+4t21-3t21）=（t-t0）（t-t1）2

显然有两个零点t0，t1.

二、方法总结

方法总结，并引领学生进行全面的解读和反思，这是全面提升这道题目的价值所在，也是提升学生解题能力的关键所在，在这道题目上，我们可以做以下四个环节的总结与反思，分析与提炼、变式与拓展.

1. 判断一个多项式的零点时，如果能因式分解，当然优先考虑因式分解.

在本题中，显然有一个零点是x0，所以必有一个因式x-x0. 而这道题选择作为参数x1，x2，消去a，b，x0，而不是通常地利用韦达定理转化以a，b为参数，是因为x0的表达式中x1，x2的地位并不对等，无法凑出只含x1+x2和x1x2的形式.

2. 本题可以推广至一般情况，得到下列结论：

设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）有两个极值点x1，x2，且x1<x2，记A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））.

圖1

（1）过点A作垂直于y轴的直线交三次函数的图像于另一点C，则点C的横坐标为32x2-12x1;

过点B作垂直于y轴的直线交三次函数的图像于另一点D，则点D的横坐标为32x1-12x2;

即点A在线段DB上的投影将线段DB分成1∶2的两部分，点B在线段AC上的投影将线段AC分成2∶1的两部分.

（2）若取x3=32x2-12x1，x4=32x1-12x2，则f（x3）=f（x1），f（x4）=f（x2）.

（3）四边形ACBD是平行四边形，其对角线的交点就是三次函数图像的对称中心F，且D，A，F，B，C这五点的横坐标成等差数列. 易得ACBD的面积为S=4（b2-3ac）227a3.

3.2016年天津高考压轴题第（2）问即以命题为背景，求证A，F，C（D，F，B）横坐标之间的关系.

现节选如下：

（文）设函数f（x）=x3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R，若f（x）存在极值点，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，

求证：x1+2x0=0;

（理）设函数f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R，若f（x）存在极值点，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3.

4. 2013年广东文数压轴题第（2）问亦与此有关，节选如下：

设函数f（x）=x3-kx2+x，当k<0时，求f（x）在k，-k上的最小值m和最大值M.

容易分析得该三次函数在k，-k上的图像包括了DABC，所以最小值在左端点取得，最大值在右端点取得.而将函数与端点函数值作差，代数变形后判断符号即可说明这一点：

f（x）-f（k）=（x3-kx2+x）-k=（x-k）（x2+1）≥0

以及f（x）-f（-k）=（x3-kx2+x）-（-2k3-k）=x3-kx2+2k3+x+k=x2（x+k）+2k（k2-x2）+（x+k）≤0.

易得m=f（k）=k，M=f（-k）=-2k3-k.

5. 平移代换是简化问题的常用技巧，如上面的2016年天津高考题，经过平移代换之后，两个命题是完全等价的，但是文科的题从面上看确实比理科题简单，若我们能以运动的观点来看函数图像，不拘泥于表达式这件“外衣”，想必我们能更快地抓到问题的本质.

授之以鱼不如授之以渔，在常态的课堂教学过程中，我们要致力于教育教学质量的训练和提升，这就要求我们站在学生的高度，帮助学生去剖析相应问题的本质，举一反三、一题多解、一题多变，在深入的研究中触发学生的能力生长.

参考文献：

[1]胡耀尹.三次函数的对称性及极值的探究[J].中学生数理化（学习研究），2019（02）：30.

[2]徐守军.三次函数的图像与性质在高考中的应用[J].中学数学研究，2008（02）：31-33.

[责任编辑：李 璟]