突破三角形中线问题的向量解法

胡玉林 康利攀

摘要：三角形中的向量问题在近几年的考试中出现的频率很高，且难度也增加了。利用向量解法来研究三角形的性质，从而突破三角形中线问题，是人教A版新教材的“探究数学活动”专题，要求学生通过向量法来研究三角形的性质，从而解决三角形中线问题。鉴于此，本文主要论述用向量解法来解决三角形的中线问题。

关键词：三角形;中线问题;向量解法

尽管在初中，学生就已经接触过向量知识，但在高中教学中，如何利用向量解法研究三角形的性质问题，显而易见，学生会显得捉肘见禁。而常见的解决三角形问题中，主要是反复使用正弦定理和余弦定理，但若是运用了向量解法，那么所有的问题即将迎刃而解，学生会迅速的做出解答，使人受益匪浅。同时，向量体系的构建也离不开三角形。例如：向量的加法、向量的减法等都包括着三角形的法则，而在求向量的数量积时，更是离不开三角形中的余弦定理。因此，学习好向量知识尤为重要。

1.向量解法在三角形中线问题应用的意义

众所周知，解决三角形问题的常见方法就是正余弦定理，但是对于三角形的中线问题，若能利用三角形的中线向量性质，建立三角形中线与角的关系，就可以巧妙的解决三角形的角、边长、周长、面积等有关三角形中线的问题。在高一数学教学中，通常在利用正余弦定理解决三角形问题上，会涉及到三角形一边的中线问题，而解决这类问题就是利用中线的一边来构建一个三角形，在至少两个三角形的问题下来解决问题，但是如果应用向量解法，就可以直接在原三角形中即突破中线问题。

向量法是解决近代数学问题的重要方法，也是最基本的概念之一。向量是将“数”和“形”融于一体的代数形式和几何形式。平面中的任意边长都可以用向量来表示，运算也有对应的代数表示。在几何中，用向量表示既有大小又有方向。向量是沟通几何与代数等内容的桥梁，它具有丰富的实际背景和广泛应用。在解决三角形中的中线问题也同样适用，向量是一种有用的数学工具，它为我们解决三角形领域的问题提供新的思维方法，开阔教师和学生的视角，从而将三角形的知识在向量的串联下实现有机统一，可以将三角形中的问题简单化、具体化，从而使学生在解决三角问题上更具有科学性和逻辑性，进而培养高一学生的创新精神。

2.利用向量解法突破三角形中的边长问题

例1：在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且A=，b（2sinA—cosC）=cCOSB，BC边上的中线AM的长是，求边C的大小。

分析：由b（2sinA—cosC）=CcosB，得2sinBsinA—sinBcosC=sinCcosB.，2sinB·sinA=sin（B+C），即sinB=，得A=B=，依中线的向量性质2=，即=，又因b=a，可得+=56，由余弦定理得cosA=，即cos=，得a=c，从而得出+，得C=。

在本题中，我们已知三角形中一边上的中线长和三角形的内角。此时，我们就可以利用向量法运用到三角形中线中去，并帮助学生迅速构建中线与边角的关系式，从而正确求出三角形边长问题。

3.利用向量解法突破三角形中的周长问题

例2：在△ABC中中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，b=，B=，D为AC的中点，BD=，求△ABC的周长。

分析：依中线的向量性质=，即=，又因为b=2，可得=10，.由余弦定理cosB=，即cos=，得ac=2，从而得出，得a+c=，故△ABC的周长为。

在解决三角形周长问题时，若已知三角形一边上的中线长与部分边角，教师就可以引导学生就利用中线的向量性质，构建三边与中线的关系式，将问题简单化，从而快速做出解答。

4.在三角形中线问题中运用向量教学的注意点

教师在解决三角形中线问题引入向量法时，首先应让学生感受到向量法的优势，改变学生对于向量法可有可无的想法。例如在小学中解决鸡兔同笼的问题时，小学生会感到很困难，待到中学学习方程组时，利用方程法就很容易解决，学生就会感到此方法很受用。同样，在解决三角形中线问题上，在利用正余弦定理的基础上，介入向量法的使用，就会使问题变得更加直观，从而使问题简单化。

从目前情况来看，现在的向量教学存在着“穿新鞋走老路”的现象，具体可以理解为表面上是使用向量法，实际上还是运用原来的几何法，造成这种现象发生的根本原因是由于教师未引导学生利用向量思维去解决三角形问题，因此造成学生对向量法的误解。基于此，教师就可以将学生设置成几个讨论小组让学生以小组探究的方式来研究三角形的性质，并进行大胆猜想多种解题方法，并利用向量法进行推理证明，学生可以在此过程中积累数学活动经验，体验探究三角形性质与向量之间的联系，从而激发学生的探究热情。

结束语

综上所述，本文主要阐述了向量解法在三角形中线问题应用的意义，并举例说明利用向量解法突破三角形中的边长、周长问题，并分析在三角形中线问题中运用向量教学的注意点，让学生通过通过向量法来研究三角形的性质，从而解决三角形中线问题，这对激发高一学生探索数学知识的兴趣有很大的帮助。

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