构造等腰直角三角形

邹兴平

星期三下午第三节是数学活动课，王小明说出最近令他困惑的一道数学题：如图1，四边形ABCD、四边形CDEF、四边形EFHK是边长相等的正方形，你能求出∠AFB + ∠AHB的度数吗？

王小明：我发现∠AFB和∠AHB都不是特殊角，无法求出度数，也无法求出这两个角的和.

王小明希望有人能帮他解答.

这是一个既有趣又具有挑战性的问题. 经过一番激烈的讨论后，大家开始陆续发表自己的想法.

王子怡：无法求出这两个角的度数，并不代表无法求出这两个角的和. 我用量角器分别量出这两个角的大小，两个角的和大约等于45°，于是我猜想结果应该等于45°.

于泽涛：等腰直角三角形的两个锐角都等于45°，我想到构造一个等腰直角三角形，然后将两个分散的角拼成等腰直角三角形的一个锐角.

刘立莹：我将∠AFB移到以H为顶点的角上，如图2，作正方形CMNF和正方形FNPH，连接AM，HM. 易证△ABF ≌ △MCH ≌ △ADM，则∠AFB = ∠3 = ∠1，HM = AM，所以∠AMH = ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2 = 90°，即△AMH是等腰直角三角形，因此∠AFB + ∠AHB = ∠3 + ∠AHB = ∠AHM = 45°.

徐麗彤：我将∠AHB移到以F为顶点的角上，如图3，作正方形MNBR、正方形NPCB、正方形PQFC，连接AM，MF. 易证△ABF ≌ △MNA，△ABH ≌ △MRF. 于是∠AFB = ∠1，AF = AM，∠AHB = ∠3，则∠MAF = ∠1 + ∠2 = ∠AFB + ∠2 = 90°，即△MAF是等腰直角三角形，所以∠AFB + ∠AHB = ∠AFB + ∠3 = ∠AFM = 45°.

老师：首先感谢王小明同学为大家提供了这么好的一道数学题. 通过构造等腰直角三角形巧妙求出两角之和，运用了构造图形法，这是一种重要的数学方法. 掌握了构造图形法，你们就拥有了一个解题利器.