问题引领，自然生成

赵丹慧

摘要：函数是现代数学中最基本的概念，函数概念的教学由具体问题出发，通过实例进行抽象概括，并通过有效设问激发认知冲突，引领学生用集合与对应的语言刻画函数. 在此过程中，体会从“变量说”到“对应关系说”的必要性，感悟问题引领下，函数概念生成的自然合理性.

关键词：问题引领;函数;函数的概念

本文就笔者开设的一节校内公开课的一个片段进行实录与反思，试图通过常见的“问题引领”的课堂组织形式进行教学，让函数这个抽象概念的生成来得更自然些。

一、课堂教学实录

（一）实例分析，以问促思

实例1：某高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. 这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t.

师：这个式子是什么？

生（众）：正比例函数的解析式.

是：解析式中的t、S分别是什么量？

生（众）：t是自变量，S是因变量.

问题1：既然它是函数的解析式，那么谁是谁的函数？为什么？

生1：S是t的函数，因为S随着t的变化而变化.

师：很好！也就是说每取一个时间t，就有唯一确定的路程S与它对应.

师：这是个实际问题，运行时间t有范围的限制吗？

生（众）：

师：用集合A1来表示这个范围就是，则S的范围用集合B1怎么表示？

生（众）：

师：所以t的值是取自数集A1，S的值来自于数集B1.

问题2：能否将这种函数关系用集合的语言去描述呢？

生2：在数集A1中每取一个时间t，在数集B1中就有唯一确定的路程S与它对应.

师：非常好，我们还需强调对应关系，可以这样来描述：

对于数集A1中任一时刻t，按照对应关系S=350t（即解析式），在数集B1中都有唯一确定的路程S与它对应。

设计意图：该实例给出的是解析式的对应关系，学生容易理解. 所不同的是，该例所提供的函数并非“天然定义域”，而是现实需求限制自变量的取值范围，这是一种初高中函数概念的衔接性问题驱动，问题1触发学生对初中函数概念的总体印象，明确谁是谁的函数;问题2让学生关注到t的变化范围，并尝试用集合和对应的语言来描述S和t的函数关系.

实例2：观察某市某天的气温变化图

师：时间和温度是函数关系吗？

生（部分）：不是，没有解析式.

生（部分）：是吧，图象也可以表示函数.

问题3：请同学们先回顾一下初中学习的函数的概念是什么？

字条展示初中函数的概念

师：我们再来根据初中的函数概念判断一下t和T是函数关系吗？为什么？若是，谁是谁的函数？

生3：是函数关系，因为在图像上任取一个时间t，都有唯一确定的温度T与它对应，所以温度是时间的函数.

师：t的范围是一个时间段，若把t的范围记作集合A2，T的范围记作集合B2，请大家类比实例1用集合与对应的语言来描述这种函数关系.

生4：对于数集A2中任一时刻t，按照图象，在数集B2中都有唯一确定的温度T与它对应.

师：很好！看来除了解析式，函数也可以用图象来表示.

设计意图：实例2是图像，学生熟悉的是解析式，以此产生认知冲突，此时通过设置问题3，顺势引导生回顾初中的函数概念，以此来判断T与t是否是函数关系，进一步体会图像也能表达变量之间的一种对应关系。

实例3：这是我们班在“创生杯”八字绳比赛中3次跳绳的成绩表.

问题4：成绩y与次数x是函数关系吗？谁是谁的函数？

生（众）：y是x的函数.

师：若把x的范围记作集合A3，y的范围记作集合B3，那我们一起用集合与对应的语言来描述这种函数关系就是：

（师生共同活动）对于数集A3中任意一个跳绳次数x，按照表格，在数集B3中都有唯一确定的跳绳成绩y与它对应。

设计意图：实例3是让学生又一次产生认知冲突的举措，对教材的实例进行适当处理，选择贴近生活的例子，既增强了数学与生活的联系，又一步步深入认识函数的本质，促进教学目标的达成.

（二）观察归纳，形成概念

问题5：观察上述3个实例有什么共同特征？

生5：

（1）都有两个数集A、B;

（2）都有一种对应关系;

（3）对于数集A中的任意一个数，在数集B中都有唯一确定的一个数与它对应.

师：非常棒！大家已经基本认识函数的概念了. 这里的对应关系，除了解析式、图象和表格外，还有其他形式，如Venn图等，为了方便，我们引进符号f统一表示对应关系.

把这三个共同点归纳起来给出课本上函数的概念.

设计意图：在初中已有函数认识基础上，让学生归纳三个实例的共同特征，体会数学抽象过程，概括出函数的本质，从而突破难点，突出“用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.

二、基于教学片段的思考

本节课应立足学生的认知基础进行设计，在初中的学习中已初步渗透“对应说”，但更“深入人心”的是“变量说”. 鉴于本节课内容抽象的特点，笔者做了以下的策略性引导：

（一）顺着学生的思维走，不急于对旧知刨根问底.

先承认学生已经理解“变量说”（其实绝大部分学生头脑中的函数只有解析式），从而在实例1中直接追问“谁是谁的函数”，而没有急于提问“初中函数的概念是什么”，等学生在实例2的函数关系中碰壁之后，再问“初中函数的概念是什么”，这一设计看似拖沓，实则适逢其时.

（二）通过问题引领，让概念的形成更加自然.

在每个实例中都问“两个变量之间是函数关系吗？”“谁是谁的函数？”“变量的变化范围是什么？”“如何用集合与对应的语言来描述这种函数关系？”“对应关系是什么？”等，这样的提问并非重复多余，而是起到了关键的辅助作用，这一切都是为学生能够正确自然形成函数的语义表征服务的.

三、结语

数学概念是数学的细胞和脚手架，是数学的基本单位[2]，一个数学概念的建立一般会经过由特殊到一般，由具体到抽象的过程，这个过程有时既困难又漫长. 这就需要教师在教学設计过程中合理选材，精心设问，在数学现象中提炼数学问题，以“问题”为主线，必要时要在原问题的关联处进行追问，要及时而不急于求成，问在学生的“认知障碍”处和“思维节点”处，从而形成有效的师生对话，让概念的定义自然、理解自然.

参考文献：

[1]李强.高中新教材中函数概念教学思考[J].数学通报，2007（05）：33-35.

[2]方均斌.数学教学设计与案例分析[M].杭州：浙江大学出版社，2012.3.

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