一类奇异两点边值问题的混合精细积分法

张文志

（五邑大学 土木建筑学院，广东 江门 529020）

奇异两点边值问题经常出现在生理学、电动流体力学、化学反应、原子结构、核物理和热爆炸等许多理论与应用领域. 由于奇异性的存在，奇异边值问题的数值求解向来非常困难. 常见的数值方法如差分法[1-4]、样条法[5-10]等，通常计算量比较大. 文献[11]提出了一种能充分发挥高阶乘法摄动法优点的精细积分法，但也存在精度和效率难以兼顾的问题.

考虑奇点边界条件的强加性，本文在文献[11]的基础上，将精细积分法[12]和高阶乘法摄动法[13]与递推消元法结合，提出一类奇异两点边值问题的混合精细积分法. 通过采用精细积分法求解奇点邻近区域的传递矩阵、高阶乘法摄动法求解其他区域传递矩阵的方式，以兼顾奇点区域的解答精度与整个求解域的计算效率. 采用递推消元法求解由每个子区间的相互关系给出的代数方程组，进一步提高计算效率. 最后用数值算例证明本文方法的有效性.

1 方法描述

考虑如下的奇异两点边值问题

其中0x=为奇点. 问题的性质决定了边界条件是强加的[1]. 考虑到本问题在0x=的奇异性，可将问题在0x=附近作一改变. 由L. Hospital法则，可得

2 数值算例

算例1考虑如下的二阶微分方程

该问题的精确解为y(x)=1-x2. 为简单起见，取δ=τ、N=2、M=11（即τ=1/(211+1)）进行计算. 表1给出了本文方法和精确解的对比结果.

表1 算例1的结果对比(τ=1/(211+1))

由表1可看出，本文方法具有很高的精度.

算例2考虑如下奇异边值问题

x 文献[11]解 本文解 精确解 9τ 3.257 214 514 94 3.257 214 516 84 3.257 214 517 88 10τ 3.257 216 595 89 3.257 216 597 60 3.257 216 598 53 100τ 3.258 300 858 27 3.258 300 858 43 3.258 300 858 52 500τ 3.284 664 321 35 3.284 664 321 38 3.284 664 321 40 1000τ 3.368 025 907 35 3.368 025 907 36 3.368 025 907 37 2000τ 3.716 594 714 25 3.716 594 714 26 3.716 594 714 26

由表2可看出，本文结果比文献[11]的结果具有更高的精度，即使在奇点附近区域依然保持了很高的精度.

表2 算例2的结果对比(τ=1/(212+1))

3 结论

考虑到在0x=点的奇异性，将高阶乘法摄动法和精细积分法结合，提出了一种求解奇异两点边值问题的混合精细积分法. 与文献[11]的精细积分法相比，本文方法不但拥有更高的精度，更重要的是，本方法可通过取更小的δ值来提高奇点附近区域的精度，无需提高高阶乘法摄动的阶数，可有效避免摄动阶数提高所导致的计算效率降低问题. 若放松非奇点附近区域的精度要求，可将精细积分法与差分类方法结合，灵活求解奇异边值问题. 因此，本文方法具有更好的应用前景.