巧添辅助线妙解等腰题

宋爱华

等腰三角形具备“三线合一”（顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合）的性质.  我们在解决等腰三角形的相关问题时，若能适当添加辅助线，在已知和未知之间“牵线搭桥”，实现问题的转化，就能利用“三线合一”这一性质使问题迎刃而解.

一、利用“三线合一”作辅助线

若有等腰三角形的底边中点，常作底边上的中线，或根据题目特点作底边上的高或顶角的平分线. 添加的辅助线要有利于条件的转化和问题的求解.

例1（2020·重慶）如图1，在△ABC中，AC = 2[2]，∠ABC = 45°，∠BAC = 15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD. 过点A作AE，使∠DAE = ∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）.

A. [6] B. 3 C. [23] D. 4

分析：根据角度可分析得出△CAE是等腰三角形，利用“三线合一”可作底边上的高线，这里直接延长BC，交AE于F，可得BF⊥AE.

解：由翻折可得：∠DAC = ∠BAC = 15°，∠ADC = ∠ABC = 45°，

∵∠DAE = ∠DAC，∴∠EAD = ∠DAC = 15°，

∴∠CEA = ∠ADC - ∠DAE = 45° - 15° = 30°，∠EAB = 45°，∠EAC = 30°，

∴∠CEA = ∠EAC，∴CA = CE.

延长BC交AE于F，如图2.

∵∠ABC = 45°，∴∠BFA = 90°，即BF⊥AE.

∵CA = CE，BF ⊥ AE，∴AF = EF.

在Rt△AFC中，∠EAC = 30°，∴FC = [12]AC = [12] × 2[2] = [2]，

∴AF = [AC2-FC2] = [（22）2-（2）2] = [6].

在Rt△AFB中，易得AF = FB = [6]，∴AB = [BF2+AF2] = [（6）2+（6）2] = [23].

∵BF⊥AE，AF = EF，∴BE = AB = [23]. 故选C.

例2 如图3，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，D为BC的中点，点E，F分别是AB，AC上的点，且BE = AF. 试说明：DE = DF.

分析：要证DE = DF，可寻找两个三角形全等. 本题中△ABC为等腰直角三角形，且有底边上的中点，故可连接AD，利用“三线合一”得出角的关系，进而为证明全等创造条件.

解：如图3，连接AD. ∵AB = AC，D为BC的中点，

∴∠BAD = ∠DAC = [12]∠BAC = 45°，AD⊥BC，∴∠ADB = 90°.

∵AB = AC，∠BAC = 90°，∴∠B = ∠C = 45°.

∴∠B = ∠BAD = ∠BAC，∴BD = AD.

∵∠B = ∠DAC = 45°，且BE = AF，∴△BDE ≌ △ADF（SAS）. ∴DE = DF.

二、逆用“三线合一”构造等腰三角形

当发现三线中具备两线时，巧作辅助线，构造等腰三角形，然后利用全等相关知识去解决问题.

例3 如图4，四边形ABCD中，AB[⫽]CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AD = CD + AB.

分析：题中未直接给出两线的条件，需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件.

解：延长DC，AE交于F，过点E作EN⊥FD，EM⊥AD，垂足分别为N，M.

易证△CEF ≌ △BEA（ASA），

∴FE = AE，FC = AB，易证S△AED = S△FED.

∵DE平分∠ADC，∴EN = EM，∴DF = AD.

∴AD = DF = CD + CF = CD + AB.

三、利用“三线合一”说明线段的和差关系（构造三线法）

当条件中只具有高线时，可作辅助线构造等腰三角形，转化已知条件去解决问题.

例4 如图5，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC = 2∠C. 试说明：CD = AB + BD.

分析：如何运用“∠ABC = 2∠C”这一条件是解题关键，我们可以构造出一个等腰三角形ABE，既可以将∠ABC进行转化，又可以利用“三线合一”的性质.

解：如图5，以点A为圆心、AB长为半径画弧，交CD于点E，连接AE，则AE = AB，

∴∠AEB = ∠ABC.

∵AD⊥BC，∴AD是△ABE中BE边上的中线，∴DE = BD.

∵∠ABC = 2∠C，∴∠AEB = 2∠C.

∵∠AEB = ∠CAE + ∠C，∴∠CAE = ∠C，

∴CE = AE = AB，∴CD = CE + DE = AB + BD.

1. 已知：如图6，在△ABC中，AB = AC，E在AC上，D在BA的延长线上，AD = AE，连接DE. 求证： DE⊥BC.

2. 已知：如图7，AD平分∠BAC， CD⊥AD，D为垂足，AB>AC. 求证：∠2 = ∠1 + ∠B.

提示：

1. 过点A作BC的平行线，交DE于P.

2. 延长CD，交AB于点E.