考虑拱形双排桩空间作用效应的简化计算方法

吴 越 陈尚荣，2 梁发云，* 赵鸣一

（1.同济大学地下建筑与工程系，上海 200092；2.上海地矿工程勘察有限公司，上海 200072）

0 引言

近年来，随着城市建设的发展以及各类地下工程的开发需要，深基坑工程设计与施工越来越引起高度重视［1］。在实际应用中，当基坑周边环境特殊、工期要求或场地条件受限，或者土钉、锚杆和内支撑系统受到限制难以实施时，有时会选择双排桩支护结构［2-3］。双排桩支护结构是在单排桩的基础上，适当地增加后排桩，通常采用梅花形或矩形布置，前、后排桩的桩顶采用连系梁连接的空间支护结构，具有显著的空间效应。相较于单排桩而言，具备整体刚度大、可调节结构内力等优点［4］。但传统的双排桩支护在面临深大基坑时，常常会设置内支撑以满足受力和变形要求，不利于基坑土方开挖和施工，经济效益的优势不明显。鉴于此，文献［5-6］提出的无须设内支撑的拱形双排桩基坑支护结构不失为一个较优的选择。

拱形双排桩支护结构由三部分组成：格构式重力墙，拱形双排桩及拱脚支撑。其中，格构式重力墙由搅拌桩旋喷加固形成，作为双排桩与软土之间的传力媒介，同时发挥止水帷幕的作用。拱形双排桩由两排平行且呈拱形布置的钢筋混凝土桩及桩顶的拱梁和连梁组成，并在拱脚处设置钢筋混凝土支撑或钢支撑，以保证空间拱形结构的稳定性。其主要构造见图1。

图1 拱形双排桩支护结构示意图Fig.1 Schematic diagram of arched double-row piles supporting structure

该支护结构已被成功应用于苏州太仓某项目的深基坑工程中［6］，工程实践和监测数据表明：拱形双排桩支护体系在软土地区的应用是安全可行的，具有进一步推广价值。由于未设对撑，进行更加细致的开挖分区和加快底板浇筑等施工措施将有助于控制支护结构的变形。

目前针对拱形双排桩的计算方法较少，现有的基坑支护结构设计方法［7］在计算双排桩的内力与变形时，是按平面问题假定，取单根桩作为竖直放置的弹性地基梁进行分析计算，并未考虑冠梁的变形协调作用和排距对土压力分布的影响。文献［8］考虑了冠梁的变形协调作用，通过计算每根桩桩顶处的冠梁刚度系数，得到冠梁的弯矩和位移分布，但随着双排桩组数的增多，该方法显著增加了算法的复杂程度。文献［9］假想了一主动滑裂面，根据桩间滑动土体占总滑动土体的体积比例来确定前、后排所受土压力。文献［10-11］则分析了水平荷载下排桩支护结构的受力变形特征，认为排距的增加能够减小桩体的水平变形。

本文在上述计算模型的基础上，提出一种考虑拱形双排桩空间作用效应的简化计算方法，推导出考虑桩顶拱梁影响的前后排桩内力与变形解析式，并编制计算程序对该支护结构的内力及变形规律进行探讨。

1 计算方法

考虑到拱形双排桩作为空间超静定结构，将其分解为桩顶拱梁和双排桩单元分别进行分析。其中，桩顶拱梁简化为两铰拱，通过力法求解在法向均布荷载下的位移。双排桩单元依据土压力计算模型建立对应的挠曲微分方程，并使用幂级数法求得解析解，最后通过变形协调关系将两部分联立求解。

1.1 拱形双排桩支护结构的空间分析方法

1.1.1 空间结构分解

与文献［8］一致，对于拱形双排桩空间支护结构，其不仅受到了桩前桩后的土体作用，还受到了桩顶拱梁的约束。因此，对于桩顶拱梁，双排桩对其作用力包括水平集中力qi和扭矩Ti（图2）。而对于双排桩，桩顶拱梁对它的作用力包括水平集中力Qfi、Qbi和弯矩Mfi、Mbi（图3），并满足关系式如下：

图2 桩顶拱梁所受双排桩水平力和扭矩Fig.2 Horizontal forces and torques of pile-top arch beam

图3 双排桩所受桩顶拱梁水平力和弯矩Fig.3 Horizontal forces and bending moments of double-row pile

1.1.2 变形协调关系

根据位移协调，桩顶拱梁位移ΔS与假定的双排桩桩顶水平位移y0相等，即

1.2 桩顶拱梁计算

1.2.1 基本假定

桩顶拱梁的工作原理是将外荷载转化为拱轴压力，从而充分发挥拱梁的抗压性能，控制支护结构的侧向位移。考虑到计算的简便性与可行性，对桩顶拱梁作如下假设［12］：

（1）桩顶的混凝土拱梁为线弹性体，满足力、位移的叠加；

（2）考虑到排间距相比于拱梁跨度而言很小，故将两道拱形冠梁简化为一道进行计算；

（3）拱梁与拱脚处桩顶的连接视为铰接；

（4）拱梁只发生平动，不发生转动；

（5）拱冠梁上所受的各排桩水平集中作用力qi简化为等效法向均布荷载q。

1.2.2 拱梁合理拱轴线计算

目前，我国拱形结构常见的拱轴线有圆弧型、抛物线型、双曲线型和悬链线型等［13］。由于不同的线型直接影响着拱形结构所受应力与弯矩的分布，因此合理拱轴线线型的确定能使拱梁接近于无弯矩状态，充分发挥材料的抗压性能。

根据上述假设，桩顶拱梁的计算模型可转换为受法向均布荷载q和扭矩Ti(i=1，2，…，n)的两铰拱。鉴于扭矩的存在并不会影响拱梁的内力分布，因此在拱梁的合理拱轴线计算中不予考虑。

根据结构力学关于三铰拱的合理拱轴线方程［13］，可得曲杆内力的微分关系：

式中：M为弯矩；N为拱梁轴力；Q为剪力；R为弧段半径；ds为弧段微分。

当拱处于无弯矩状态时，M=0，得Q=0。代入式（4a）和式（4b）中，可得：

可见，拱形结构的曲率半径为一常数。因此本文研究的拱形双排桩的拱轴线线型为圆弧型。

1.2.3 水平位移ΔS

考虑到扭矩Ti(i=1，2，…，n)并不会改变桩顶拱梁的水平位移，故可将计算模型简化为在法向均布荷载q的作用下求解两铰拱的水平位移ΔS，如图4（a）所示。

由图4（a）可知，该结构是一次超静定结构，为了计算均布荷载q下拱的内力与位移，应用力法基本原理，将图4（a）两铰拱受力形式转化为图4（b）三铰拱外加多余约束X1的基本体系，由虚功原理解得X1。

图4 简化的桩顶拱梁计算模型Fig.4 Simplified calculation model of pile-top arch beam

进而，拱梁轴力按叠加法求得：

式中：Nq为法向均布荷载q作用下的轴力；为单位荷载X1作用下的轴力。

由式（5）可得：

由上式可知，当θ=0、φ时，N(θ)取最大值，故从安全角度考虑，计算在恒定轴力N(φ)下拱梁的水平位移ΔS，其计算模型如图5所示。

图5 桩顶拱梁水平位移计算Fig.5 Calculation of horizontal displacement of pile-top arch beam

根据几何关系，得

式中：φ为拱轴线圆心角；ΔS为拱梁水平位移；L0为拱轴线原弧长；EA为桩顶拱梁抗压刚度。

进而得：

1.3 双排桩计算

1.3.1 基本假定

（1）双排桩为线弹性体，满足力、位移的叠加；

（2）拱梁与前后排桩桩顶刚性连接，故前后排桩桩顶水平位移相等，桩顶转角为零；

（3）前后排桩桩端视为铰接。

1.3.2 土压力分布

1）考虑桩间土的主动土压力计算模型

实际工程中，前后排桩的排列形式主要分为矩形和梅花形排列。而由于排列方式的不同，桩间土对土压力的传递作用也有所不同。本文所研究的支护结构，虽其前后排桩的排列形式与两者不尽相同，但考虑到土压力作用方向线与前后排桩桩心连接线共线，故选用矩形排列下的土压力计算模型，其土压力传递方式如图6所示。

图6 主动土压力传递模型Fig.6 Active earth pressure transfer model

基于何颐华等［9］提出的土压力模型，主动土压力σa由前后排桩共同承受，分配比例则取决于排距影响的桩间滑动土体体积，土压力计算模型如图7所示。

图7 双排桩土压力计算模型Fig.7 Soil pressure calculation model for double-row pile

在基坑开挖面以上：

前排桩主动土压力σaf可表示为

后排桩主动土压力σab可表示为

其中，

式中：α为体积比例系数［9］；L为双排桩排距；Ka为主动土压力系数；c为黏聚力；b为主动土压力计算宽度，依据《建筑基坑支护技术规程》［14］选取排桩间距。

在开挖面以下，主动土压力分布呈矩形，不随深度变化［7］。

2）土反力计算模型

对于坑底以下的被动区域，考虑到基坑开挖、回填过程等各种复杂因素的影响，采用Winkler弹性地基梁法［15］，将前后排桩视作支撑在弹性支座上的梁，坑底以下土反力f用土弹簧模拟，以此来反映桩-土的共同作用。土反力f与桩体变形y的关系如下：

式中：y为坑底下某一深度处桩的水平位移；b0为土反力计算宽度，依据《建筑基坑支护技术规程》［14］，按表1选取；k(x)为水平变形系数，采用“m”法时，k(x)随深度线性增加［7］，即

表1 土反力计算宽度［14］Table 1 Calculational widths of soil reaction force［14］

式中：x为基底以下桩的深度，m为比例系数。

1.3.3 前后排桩的挠曲微分方程

在黄凭等［16］的基础上，结合图7土压力计算模型和图3双排桩所受桩顶拱梁水平力和弯矩，可得双排桩受力分解图，如图8所示。进而可建立前后排桩各段的挠曲微分方程。

图8 双排桩受力分解图Fig.8 Stress analysis of double-row pile

（1）前排桩开挖面以上挠曲微分方程

（2）前排桩开挖面以下挠曲微分方程

（3）后排桩开挖面以上挠曲微分方程

（4）后排桩开挖面以下挠曲微分方程

1.3.4 挠曲微分方程求解

1）式（12）求解

引入边界条件：桩顶水平位移y0，转角0，弯矩Mf0，剪力Qf0，可解得：

2）式（13）求解

引入边界条件：滑裂面处水平位移yfh、转角φfh、弯矩Mfh、剪力Qfh。由于该式没有解析解，故采用幂级数法进行求解［16］，近似解为

其中，

3）式（14）求解

引入边界条件：桩顶水平位移y0，转角0，弯矩Mb0，剪力Qb0，可解得：

4）式（15）求解

引入边界条件：滑裂面处水平位移ybh，转角φbh，弯矩Mbh，剪力Qbh，近似解为

其中，

1.4 引入边界条件

通过双排桩计算模型假设（3），可列出如下4个边界条件方程：

根据位移协调，桩顶拱梁位移ΔS与双排桩的桩顶位移y0相等，即式（3）。

至此，通过式（3）、式（20）-式（23）便可求解出5个未知量：桩顶水平位移y0、前排桩桩顶弯矩Mf0、前排桩桩顶剪力Qf0、后排桩桩顶弯矩Mb0、后排桩桩顶剪力Qb0。从而得到了前后排桩的位移方程、转角方程、弯矩方程以及剪力方程。

2 退化解验证及监测数据对比

2.1 退化成直线形双排桩的验证

当拱轴线线型所对应的半径无限大时，本文研究的拱形双排桩即可退化成直线形双排桩。图9给出了本文方法解答与直线形双排桩解答［17］的对比，分析模型同文献［17］的算例二，主要分析参数为：基坑深度10 m，采用直线形双排桩支护，桩径1.0 m，桩长16 m，桩间距1.2 m，排距2.0 m，土层采用均一黏土层。

两种方法解得的桩身弯矩随深度变化关系的对比如图9所示。由图9可看出，本文方法可退化求解直线形双排桩的受力变形规律，桩身弯矩解答与文献［17］的算例基本吻合。

图9 与文献［17］有限元分析的对比Fig.9 Comparison of the present method with that of Ref.［17］

2.2 已有监测数据的验证

该拱形双排桩支护结构已成功应用于苏州太仓某项目的基坑工程，并已进行了相关的跟踪监测。由于监测数据的缺失，图10仅给出了前排桩桩身水平位移的对比。由图10可看出，本文方法计算拱形双排桩的受力变形规律是可行的。

图10 前排桩水平变形图Fig.10 Lateral deformation of front row pile

3 参数分析

根据上述理论研究，编制了计算程序，通过对设计的简单算例进行计算对比，以此得到拱形双排桩排距和桩距的变化对其受力变形规律的影响。

算例的主要分析参数为：基坑深度9 m，采用拱形双排桩支护，对应的拱轴线半径为600 m，连梁截面尺寸为0.8 m×1.0 m，桩径0.65 m，桩长14 m，土层采用均一的黏性土层，主要参数见表2。

表2 黏性土层的土性参数Table 2 Parameters of clay soil

3.1 排距对拱形双排桩受力变形的影响

排距分别取为2d、4d和6d，其中d为桩径，计算得到不同排距下前、后排桩的水平变形分布如图11所示，不同排距下前、后排桩的桩身弯矩分布如图12所示。

图11 不同排距下前、后排桩水平变形图Fig.11 Lateral deformations of front piles and rear piles in different row spacing

图12 不同排距下前、后排桩桩身弯矩图Fig.12 Bending moments of front piles and rear piles in different row spacing

由图11可知：随着排距的增加，前、后排桩的桩顶水平位移均呈减小趋势，且后排桩趋势更为明显。但对于前排桩而言，最大水平位移反而增大，其原因是本理论算法的主动土压力计算模型为体积比例系数法，故随着排距的增大，前排桩所分担的主动土压力也会增大，因此最大水平位移也会相应增加；由于连梁的变形协调作用，前、后排桩的最大水平位移均发生在基坑开挖面附近，故实际施工中应重点关注基坑开挖面附近的桩身位移。

由图12可知：随着排距的增加，前排桩桩身的最大正负弯矩值均呈增大趋势，且反弯点逐渐下移，而后排桩则均呈减小趋势，且反弯点逐渐上移。说明当排距较小时，主要为后排桩承担主动土压力，随着排距的增大，后排桩对前排桩的拉锚作用愈发明显，转变为前排桩起主要承担作用。

3.2 桩距对拱形双排桩受力变形的影响

桩距分别取为1.5d、2d和3d，其中d为桩径，计算得到不同桩距下前、后排桩的水平变形分布如图13所示，不同排距下前、后排桩的桩身弯矩分布如图14所示。

图13 不同桩距下前、后排桩水平变形分布Fig.13 Lateral deformations of front piles and rear piles in different pile spacing

图14 不同桩距下前、后排桩桩身弯矩分布Fig.14 Bending moments of front piles and rear piles in different pile spacing

由图13可知，随着桩距的增加，前、后排桩的桩身水平位移均呈增大趋势，且增长速度越来越快；前排桩的最大水平位移是大于后排桩的，在类似工程设计中，从经济角度出发，可适当减少后排桩的数量。

由图14可知，随着桩距的增加，前、后排桩的桩身最大正负弯矩均呈增大趋势，但反弯点位置没有明显变化，说明桩距对桩身弯矩的分布规律影响不大。

4 结论

本文考虑了拱形双排桩空间作用效应，将其分解为桩顶拱梁和双排桩单元分别进行结构受力分析，结合力法与变形协调理论对其进行求解，为该新型支护结构的计算提供了一种可行的简化方法，主要结论如下：

（1）随着排距的增加，前、后排桩的桩顶水平位移均呈减小趋势，且后排桩趋势更为明显。前排桩桩身的最大正负弯矩值均呈增大趋势，且反弯点逐渐下移，而后排桩则呈减小趋势，且反弯点逐渐上移。

（2）随着桩距的增加，前、后排桩的桩身水平位移均呈增大趋势，且增长速度越来越快。前、后排桩的桩身最大正负弯矩均呈增大趋势。