大跨混凝土桥梁耦合极值应变的混合粒子预测

樊学平， 杨光红， 刘月飞 (1.兰州大学 西部灾害与环境力学教育部重点实验室，甘肃 兰州 730000；.兰州大学 土木工程与力学学院，甘肃 兰州 730000)

随着健康监测技术的逐步发展完善，大跨桥梁健康监测系统可以采集到实时准确的动力响应信息。如何充分地处理和应用桥梁健康监测数据成为当前的研究热点和难点。目前，桥梁健康监测的数据处理研究主要集中在结构模态参数识别[1-2]、结构模型修正[3-7]、结构损伤识别[8-17]、结构可靠性评估及动态预测[18]等领域。桥梁健康监测系统实时采集得到的混凝土应变是一系列随时间变化的包含巨大信息量的海量数据，考虑到监测数据的随机性和耦合性，至今仍难以结合监测数据对大跨混凝土桥梁极值应变进行合理动态预估，且极值应变的动态预测可以为大跨混凝土桥梁安全预后提供理论基础。因而，研究在役大跨混凝土桥梁极值应变的动态预估方法就成为桥梁健康监测领域的关键问题之一。在役大跨混凝土桥梁有限元模型精细化建模的复杂性、模型动态更新的困难性以及智能算法的耗时性等特点，使得无模型的分析方法逐渐成为桥梁极值应变预测的发展趋势。采用无有限元模型的分析方法，基于已有监测信息建立合理的数学模型，给出模型参数与监测信息之间的动态变化关系，进而结合动态监测数据，可实现桥梁信息的动态预测。至今已有一些无有限元模型的桥梁动力响应的预测方法。如：桥梁极值应力的贝叶斯动态线性预测[18-19]和高斯粒子动态预测[20-21]，分析过程中均未考虑极值应力信息的耦合性，且假定状态差值为定值，未考虑它的动态性和随机性；涂雪等[22]建立了基于统计理论的桥梁应力趋势预测与评估方法，分析过程中对结构退化引起的应力趋势进行了理论预测，并未考虑监测数据的随机性；陈国良等[23]分析了基于中心移动平均法的桥梁长期挠度分离策略，并利用ARIMA模型预测了结构变形趋势，但分析过程中未考虑动态数据对预测模型的动态修正，因而高精度预测模型需进一步研究。

考虑桥梁动态监测数据的随机性和耦合性等特点，本文采用加权移动平均法和最小二乘法对监测应变数据进行解耦，采用粒子滤波算法对解耦后的高/低频极值应变进行动态预测，将高频极值应变预测值、低频极值应变预测值以及桥梁自重引起的应变相加实现桥梁耦合极值应变的动态预测，最后通过广东省肇庆西江大桥对本文所建模型的适用性和合理性进行验证。

1 大跨混凝土桥梁高低频极值应变的动态线性模型

1.1 监测应变的高低频解耦

大跨混凝土桥梁健康监测系统在长期运营过程中积累了大量监测应变信息，本文的动态监测应变主要是在温度荷载、车辆荷载以及桥梁自重恒载的耦合作用下产生的，具有随机性以及耦合性等特点。本文以1 h为分段长度，对各分段耦合应变进行高低频解耦，进而采用区间选择法即可得到高低频极值应变的时间序列。

针对各分段监测耦合应变数据，本文融合采用加权移动平均法[24]和最小二乘法[25]提取耦合应变监测数据时间序列的低频应变信号，将原始时程曲线与低频应变曲线的差值作为高频应变信号。将低频应变的均值作为由自重恒载作用引起的应变，并认为其在监测的时间长度内不随时间变化；将剔除均值后低频应变的剩余部分作为温度引起的低频应变，进而实现高低频应变的解耦分析。

1.2 解耦极值应变的动态线性模型

基于1.1节各分段解耦的高低频应变数据，采用区间选择法，即可得到高/低频应变的极值序列。高/低频极值应变随时间变化的动态测量是一个时间序列，且考虑到监测信息存在着桥梁运行系统内部的过程噪声以及测量仪器、人为因素等导致的监测噪声，桥梁高/低频极值应变状态值具有不可观测性。因此，采用动态线性模型来描述桥梁高/低频极值应变状态的动态变化过程，动态线性模型由状态方程、监测方程和初始状态信息构成，状态方程反映了系统状态的动态变化，监测方程反映了监测变量如何依赖于系统的状态变量。

动态线性模型的基本假定：

1) 状态变量(xt,βt,t=1,2,…,T) 的变化是马尔可夫链[26-27]，xt和xt-1成线性关系，T为监测的总时间；

2) 监测变量yt相互独立，且yt只与状态变量xt相关，yt与xt成线性关系；

3) 状态变量和监测变量以及相对应的误差均服从正态分布。

考虑到高/低频极值应变状态变量的变化具有动态随机性，在状态方程中引入随时间变化的状态变化趋势项βt-1，使得状态方程更加灵敏地描述状态变量的变化过程，本文所建立的动态线性模型为：

1) 状态方程：

(1)

2) 监测方程：

yt=xt+vt,vt～N[0,Vt]

(2)

3) 初始状态信息：

(xt-1|Dt-1)～N[mt-1,Ct-1]

(3)

式中：xt为t时刻的状态值；βt-1为t-1时刻的状态变化趋势(状态差值)，一般通过对平滑后的历史监测数据做一阶拟合，得到近似状态数据的变化趋势作为β，由此得到的状态变化趋势为常数；wt为t时刻的状态误差；Wt是t时刻状态误差的方差；N[·]为正态概率密度函数；yt为t时刻的监测值；vt为t时刻的监测误差；Vt为t时刻监测误差的方差;Dt-1为t-1时刻及之前所有的监测值集合;mt-1和Ct-1分别为t-1时刻状态的平均值和方差。

本文对平滑后的历史监测数据进行一阶差分近似得到动态状态变化趋势βt-1=yt-1-yt-2，建立带有动态趋势项的状态方程。本文将这2种状态模型用于桥梁极值应变的预测，比较预测效果。

动态线性模型存在的主要参数有Vt、Wt、mt-1、Ct-1。相邻高/低频极值应变数据的时间间隔为1 h，Vt为监测误差的方差，通过对监测数据进行5点3次平滑处理获得的状态数据与监测数据之间的差来近似估计；Wt为状态误差的方差，通过引入折扣因子结合初始状态信息近似确定:

Wt=-Ct-1+Ct-1/δ

(4)

式中：Ct-1为初始状态方差；δ为折扣因子，取值0.1，由于本文的初始状态信息由单一正态概率分布函数近似表示。考虑到桥梁高/低频极值应变状态的不确定性和不可观测性，折扣因子δ的选择按照以下方法来进行选择：1)初始状态信息由多峰概率分布进行高精度表示，则折扣因子取较大的值；2)初始状态信息由单一概率分布进行近似表示，则折扣因子取较小的值。

mt-1为初始状态均值，将历史监测数据进行5点3次平滑处理后的数据近似作为初始状态信息，基于这些状态数据采用概率统计方法对mt-1和Ct-1进行近似估计。

2 解耦极值应变的粒子预测与耦合极值应变的混合粒子预测

2.1 解耦高/低频极值应变的贝叶斯估计理论

对于高/低频极值应变，在先验信息P(xt|Dt)和最新监测极值应变数据yt+1已知的基础上，可利用贝叶斯估计理论和已建立的动态线性模型，实现桥梁高/低频极值应变状态的后验概率密度估计与一步预测，具体理论递推过程为：

1)系统状态xt+1的先验概率分布：

(5)

2)极值应变的一步向前预测概率，用于预测高/低频极值应变：

(6)

3)系统状态xt+1的后验概率分布：

(7)

4)系统状态概率分布的一步预测，同时也是下一步系统状态的先验分布：

(8)

2.2 解耦高/低频极值应变的粒子预测

考虑到式(5)～(8)理论推导和实际应用的复杂性和困难性，本文结合粒子滤波方法，实现解耦高/低频极值应变的高精度粒子预测。

粒子滤波利用一组在状态空间中带权重的粒子集近似模拟系统状态的概率分布，通过调整粒子的位置和权重实现系统状态的概率递推与修正。考虑到桥梁解耦高/低频监测极值应变的动态随机性，本文采用粒子滤波方法，结合动态线性模型(式(1)～(3))与最新监测极值应变数据，基于式(5)～(8)的理论概率递推过程，实现对桥梁解耦高/低频极值应变的一步预测，具体过程为：

(9)

(10)

(11)

利用式(2)，可得第t时刻极值应变的预测概率分布均值与方差分别为：

(12)

(13)

预测效果可由均方根误差RRMSE进行评估：

(14)

式中T为预测的总时长。

i=1,2,…,Ns

(15)

(16)

3 监测应变算例分析

本文采用广东省肇庆西江大跨混凝土桥梁A、B、C3个监测点的监测应变对本文所提方法进行验证。肇庆西江大桥示意图和监测位置A点如图1与图2所示，B、C同A点所示。桥梁健康监测数据是通过等间隔采样得到的，目前采样频率为10 min，是一个大型的时间序列集。本文所用的解耦高/低频桥梁极值应变观测数据为每小时解耦桥梁监测应变的最大值，将同一传感器的前200个高/低频监测极值应变数据作为历史监测数据来建立动态线性模型，并结合动态监测和解耦的每小时的高/低频极值应变数据，实现解耦极值应变的高精度预测和耦合极值应变的混合粒子预测。

图1 肇庆西江大桥Fig.1 Zhaoqing Xijiang Bridge

图2 A截面的监测点位置Fig.2 Monitoring point for section A

3.1 桥梁监测应变数据的高低频解耦

本文所研究桥梁的应变监测数据被认为是温度荷载和车辆荷载以及桥梁自重共同作用的结果，且这3种荷载的作用特征不一样，因此，需要对桥梁应变数据做分段解耦处理，通过解耦得到对应3部分的极值应变数据，3个监测点处桥梁的自重引起的应变为常数，其中A点为-447.51με，B点为-539.16με，C点为-237.73με。解耦后的高低频极值应变如图3所示。

3.2 温度荷载作用下的桥梁低频极值应变预测

以监测点A为例，建立桥梁低频极值应变的折扣动态线性模型，将解耦产生的前200个低频极值应变数据进行5点3次平滑处理，得到的数据近似为低频极值应变初始状态数据如图3(a)所示，基于近似状态数据，结合1.2节建立低频极值应变的折扣动态线性模型，对比分析状态变化趋势βt-1=yt-1-yt-2与βt-1取为常数时的预测效果。

图3 解耦后的高低频极值应变及其平滑处理的数据Fig.3 High and low frequency extreme strain after decoupling and its smoothed data

状态方程：

(17)

监测方程：

y1,A,t=x1,A,t+v1,A,t,v1,A,t～N[0,V1,A,t]

(18)

初始状态信息：

(x1,A,t-1|D1,A,t-1)～N[0,13.912]

(19)

式中：y1,A,t为t时刻的低频极值应变监测值；x1,A,t为t时刻的低频极值应变状态值，通过对低频极值应变监测数据与平滑之后的状态数据之间的差值进行估计并考虑监测极值应变数据的不确定性，可得低频极值应变监测误差的方差V1,A,t=0.6，低频极值应变状态误差的方差W1,A,t=-C1,A,t-1+C1,A,t-1/δ1，δ1=0.1；C1,A,t-1为t-1时刻的初始状态方差。基于式(17)～(19)动态线性模型，通过2.2节的粒子滤波方法，利用第200～249 h实时监测和解耦的低频极值应变数据对第201～250 h低频极值应变进行在线预测，令粒子数Ns=200。同理，建立监测点B和监测点C低频极值应变的折扣动态线性模型。

监测点B的低频极值应变初始状态信息服从正态分布：

(x1,B,t-1|D1,B,t-1)～N[0,19.432]

(20)

观测误差方差为V1,B,t=4。

监测点C的低频极值应变初始状态信息服从正态分布：

(x1,C,t-1|D1,C,t-1)～N[0,31.012]

(21)

观测误差方差V1,C,t=14。

各监测点的低频极值应变预测结果如下：

1)监测点A，当低频极值应变状态变化趋势取βt-1=xt-1-xt-2时，预测的均方根误差为0.895 1。状态变化趋势项βt-1取常数时，通过对平滑后的历史监测数据做一阶拟合，得到近似状态数据的变化趋势为βt-1=0.063 6，同样通过粒子滤波对低频极值应变数据进行预测，预测的均方根误差为2.413 1，预测效果如图4所示。

图4 A点低频极值应变的监测值与预测值Fig.4 Low-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point A

2)监测点B，当低频极值应变状态变化趋势取βt-1=xt-1-xt-2时，预测的均方根误差为2.130 3。状态变化趋势项βt-1取常数时，通过对平滑后的历史监测数据做一阶拟合，得到近似状态数据的变化趋势为βt-1=0.107 3，通过粒子滤波对低频极值应变数据进行预测，预测的均方根误差为5.649 9，预测效果如图5所示。

图5 B点低频极值应变的监测值与预测值Fig.5 Low-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point B

3)监测点C，当低频极值应变状态变化趋势取βt-1=xt-1-xt-2时，预测的均方根误差为3.979 8。状态变化趋势项βt-1取常数时，通过对平滑后的历史监测数据做一阶拟合，得到近似状态数据的变化趋势为βt-1=0.25，通过粒子滤波对低频极值应变数据进行预测，预测的均方根误差为10.105 1，预测效果如图6所示。

图6 C点低频极值应变的监测值与预测值Fig.6 Low-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point C

基于3个监测点的低频极值应变预测曲线以及预测均方根误差可以得出，虽然桥梁低频极值应变的变化幅度大，但是基于粒子滤波方法的桥梁应变预测值与实测值的变化趋势几乎一致，且即使低频监测极值应变数据在有较大波动幅度的情况下，所有的监测值仍处于预测值的预测区间内(95%的保证率)。因为本文所提方法能够利用最新监测和解耦的低频极值应变数据，对状态方程实时更新，同时，采用粒子滤波方法对低频极值应变进行状态估计，所得的状态估计值接近桥梁状态真实值。

βt-1为常数时，预测均方根误差明显大于βt-1为变量时的预测均方根误差。有部分低频极值应变监测数据超出预测值的95%置信区间，可见，状态变化趋势为常数时，预测效果并不好。对比2种预测模型对应的预测均方根误差与预测效果图可知，对于低频极值应变的动态预测，状态变化趋势动态更新的模型明显优于状态变化趋势为常数的模型。

3.3 车辆荷载效应作用下的桥梁高频极值应变预测

以监测点A为例，将前200个解耦后的高频极值应变数据进行5点3次平滑处理，得到的数据近似为高频极值应变的初始状态数据，如图7所示。结合1.2节建立高频极值应变的动态线性模型。

图7 A点高频极值应变的监测值与预测值Fig.7 High-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point A

状态方程：

(22)

监测方程：

y2,A,t=x2,A,t+v2,A,t,v2,A,t～N[0,V2,A,t]

(23)

初始状态信息：

(x2,A,t-1|D2,A,t-1)～N[0.077 6,1.992]

(24)

式中：y2,A,t为t时刻的高频极值应变监测值，x2,A,t为t时刻高频极值应变的状态值，通过对高频极值应变监测数据与平滑之后的状态数据之间的差值进行估计并考虑监测极值应变数据的不确定性，可得高频极值应变监测误差的方差V2,A,t=0.38，高频极值应变状态误差的方差W2,A,t=-C2,A,t+C2,A,t/δ2，δ2=0.1。基于式(16)～(18)与2.2节，利用第200～249 h实时监测和解耦的高频极值应变数据对第201～250 h的高频极值应变进行在线预测，令粒子数Ns=200。同理，建立监测点B和监测点C高频极值应变的折扣动态线性模型。

B点高频极值应变初始状态信息服从正态分布：

(x2,B,t-1|D2,B,t-1)～N[0.127 7,4.942]

(25)

观测误差方差为V2,B,t=0.98。

C点高频极值应变初始状态信息服从正态分布：

(x2,C,t-1|D2,C,t-1)～N[0.2,9.182]

(26)

观测误差方差V2,C,t=6.07。

可得高频极值应变的预测结果如下：

1)监测点A，当高频极值应变状态变化趋势取βt-1=xt-1-xt-2时，预测的均方根误差为1.590 1。状态变化趋势项βt-1取常数时，通过对平滑后的历史监测数据做一阶拟合，得到近似状态数据的变化趋势为βt-1=-0.002 346，同样通过粒子滤波对高频极值应变数据进行预测，预测的均方根误差为1.307 1，预测效果如图7所示。

2)监测点B，当高频极值应变状态变化趋势取βt-1=xt-1-xt-2时，预测的均方根误差为2.537 3。状态变化趋势项βt-1取常数时，通过对平滑后的历史监测数据做一阶拟合，得到近似状态数据的变化趋势为βt-1=0.04，同样通过粒子滤波对高频极值应变数据进行预测，预测的均方根误差为2.523 2，预测效果如图8所示。

3)监测点C，当高频极值应变状态变化趋势取βt-1=xt-1-xt-2时，预测的均方根误差为6.088 2。状态变化趋势项βt-1取常数时，通过对平滑后的历史监测数据做一阶拟合，得到近似状态数据的变化趋势为βt-1=-0.051 1，同样通过粒子滤波对高频极值应变数据进行预测，预测的均方根误差为5.129 8，预测效果如图9所示。

图9 C点高频极值应变的监测值与预测值Fig.9 High-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point C

通过高频极值应变预测曲线可以得到，高频极值应变数据相比于低频极值应变数据，随机性更强，变化频率更快，本文所提方法仍能对其进行有效地预测。图7～9中监测高频极值应变数据基本分布在预测曲线附近，说明本文所提预测方法对高频极值应变的动态预测仍具有较好的效果。对于高频极值应变的预测，本文所提方法得到的预测均方根误差略高于基于普通动态线性模型的预测均方根误差，表明包含动态趋势项的预测模型在极值应变随机性较高的情况下预测效果不占优势。

3.4 耦合荷载作用下极值应变动态预测

基于上述高/低频极值应变预测结果和自重作用下的恒定应变值可得出，状态变化趋势项βt-1取动态趋势项时，A点耦合极值应变预测的均方根误差为1.823 4，耦合极值应变的一步预测结果如图11，状态变化趋势项βt-1取常数时，A点耦合极值应变预测的均方根误差为2.682 8，预测效果如图10所示。

图10 A点耦合极值应变的监测值与预测值Fig.10 Monitoring and predicted coupled extreme strain data of point A

状态变化趋势项βt-1取动态趋势项时，B点耦合极值应变预测的均方根误差为3.418 5，状态变化趋势项βt-1取常数时，B点耦合极值应变预测的均方根误差为6.095 9，耦合极值应变的一步预测效果如图11所示。

图11 B点耦合极值应变的监测值与预测值Fig.11 Monitoring and predicted coupled extreme strain data of point B

状态变化趋势项βt-1取动态趋势项时，C点耦合极值应变预测的均方根误差为7.490 3，状态变化趋势项βt-1取常数时，C点耦合极值应变预测的均方根误差为11.072，耦合极值应变的一步预测结果如图12。

图12 C点耦合极值应变的监测值与预测值Fig.12 Monitoring and predicted coupled extreme strain data of point C

基于3个监测点的耦合极值应变预测效果图以及预测均方根误差可得：耦合极值应变的预测值与真实监测值相差无几，预测效果良好且稳定，表明本文所提的方法能够用于耦合极值应变的动态预测。状态变化趋势项取常数时，有部分监测极值应变数据超出预测监测值的95%置信区间，可见预测效果并不好。状态变化趋势项βt-1取动态趋势项时，耦合极值应变的监测值主要分布在基于动态状态变化趋势模型的预测曲线附近，充分说明本文所提出的耦合极值应变预测方法的预测效果显著，所建立的模型优于一般的动态线性模型。

4 结论

1)采用粒子滤波算法对解耦后的高低频极值应变进行实时更新与预测，最终实现桥梁耦合极值应变的动态状态估计与一步预测。通过工程实例验证，所提方法对桥梁耦合极值应变的预测曲线与实际监测值的变化趋势基本一致，为桥梁的健康监测数据处理、状态估计以及性能预测提供理论基础。

2)建立了折扣动态线性模型描述桥梁应变状态的变化过程，引入了桥梁应变状态的动态趋势项，结合实时监测和解耦的极值数据实现状态方程实时更新。工程实例表明，所建立的动态线性模型预测效果明显优于一般的动态线性模型，符合工程实际。