考虑状态约束的弹性高超声速飞行器自适应饱和容错控制

陈 峣，谭立国，魏毅寅，段广仁

(1. 哈尔滨工业大学控制理论与制导技术研究中心，哈尔滨 150001；2. 哈尔滨工业大学空间基础科学研究中心，哈尔滨 150001)

0 引 言

高超声速飞行器具有时变快、非线性强、耦合强及不确定性大等特点[1-2]。通常采用细长体外形和轻结构设计，在发生弹性形变时可能会对飞行器的控制量产生影响，进而加大了执行器发生故障的概率[3]。另外，高超声速飞行器主要以超燃冲压发动机作为动力推进系统，飞行状态变量的变化对其工作性能影响很大，只有当飞行状态满足相关约束条件时，超燃冲压发动机才可以正常工作。所以，研究执行器故障和状态约束下的弹性高超声速飞行器的鲁棒控制方法，对提升高超声速飞行器的可靠性和安全性具有重要意义。

近年来，随着现代控制理论的快速发展，非线性控制方法在高超声速飞行器跟踪控制领域中得到了广泛应用，并取得丰富的研究成果。文献[4-5]利用滑模控制和自适应控制，针对高超声速飞行器刚体模型，设计了自适应滑模控制器。文献[6]采用跟踪微分器，设计了高超声速飞行器动态面控制器。文献[7]针对弹性高超声速飞行器，将滑模控制与反步法相结合，设计了反步滑模控制器。为增强系统的鲁棒性，文献[8-9]将外界干扰、模型参数不确定性视为未知有界的系统干扰，利用非齐次观测器对干扰进行估计，设计了高超声速飞行器自适应快速终端跟踪控制器。进一步考虑弹性模态对高超声速飞行器的影响，文献[10-11]利用超螺旋滑模控制理论，针对弹性高超声速飞行器设计了自适应超螺旋滑模跟踪控制器。文献[12-15]利用智能控制算法，对弹性高超声速飞行器跟踪控制问题进行了研究分析。另外，高超声速飞行器的动力推进系统为超燃冲压发动机，只有当飞行状态满足一定约束时，该发动机才能正常工作[12-14]。为解决上述问题，文献[16-17]通过引入屏障李雅普诺夫函数，针对非线性系统设计了满足状态约束条件的自适应控制器。文献[18-19]利用屏障李雅普诺夫函数、反步法和自适应技术，设计了能同时满足跟踪性能和飞行过程中状态约束的控制器。

在实际控制系统中，由于物理机构的限制使得执行机构提供的控制力(力矩)是有限大小的，忽略执行机构的饱和会使得所设计的控制器鲁棒性降低。因此，在设计控制器时必须考虑输入饱和问题。文献[20-21]通过引入辅助系统，利用滑模控制理论和自适应控制算法，设计了刚体高超声速飞行器饱和跟踪控制器。文献[22-24]针对弹性高超声速飞行器设计了抗饱和的自适应反步跟踪控制器。文献[25]在切换控制理论的基础上，利用线性矩阵不等式方案，设计了抗饱和切换控制器。此外，由于一体化结构设计以及高温，高速等复杂飞行条件的影响，使得飞行器执行机构容易发生饱和，这将进一步提高执行器发生故障的频率，从而导致系统性能下降。文献[26]在二阶滑模趋近律和有限时间观测器的基础上，设计了弹性高超声速飞行器故障容错控制器。文献[27] 针对高超声速飞行器，根据被动容错思想，设计了具有容错功能的控制器。文献[28-29] 设计了鲁棒自适应容错控制器，该控制器可以保证系统模型参数不确定性和执行机构故障情况下高超声速飞行器的稳定性。文献[30] 设计了抗饱和容错控制器，该控制器以滑模控制和自适应控制器为基础，可以保证控制输出满足执行器的物理约束条件。

为进一步解决带有多种约束条件下的弹性高超声速飞行器跟踪控制问题，本文采用被动容错控制的思想，结合自适应控制、反步控制、设计了跟踪控制器。与上述相关文献相比，本文的主要创新点如下：

1) 在控制器设计过程中，通过引入新型正切型屏障李雅普诺夫函数来确保所设计的控制器能够满足高超声速飞行器的状态约束和跟踪性能。

2) 与文献[8]相比，本文通过引入双曲正切函数处理输入饱和问题，保证高超声速飞行器在实际控制系统执行过程中满足执行器机构物理约束条件。

3)与文献[20]相比，本文同时考虑了输入饱和、执行器故障、状态约束等条件，使得所设计的控制策略，具有更好的工程意义。

本文的主要内容如下：首先，给出了弹性高超声速飞行器控制模型；其次，利用反步法、双曲正切函数和自适应控制技术，分别针对速度子系统和高度子系统设计了自适应抗饱和故障容错跟踪控制器，且借助Lyapunov理论证明了所设计的跟踪控制器的速度和高度有限时间收敛性；再次，结合仿真实验分析了所设计控制器的性能；最后，给出本文的结论。

1 模型描述及相关引理

1.1 弹性高超声速飞行器模型

考虑到高超声速飞行器刚体动力学和弹性动力学气动耦合，系统模型[2]：

(1)

推力T、阻力D、升力L、俯仰角力矩M和广义力Ni表达式为:

(2)

式中:气动力和气动力矩系数CT,φ(α,Δτ1,M∞)、CT(α,Δτ1,M∞,Ad)、CD(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CL(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CM(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CNi(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)为关于M∞、Ad、α、Δτ1和Δτ2的非线性函数，具体的表达式如下所示:

(3)

1.2 控制面模型

考虑气动参数的不确定性，可得到如下的气动力、气动力矩以及广义力的不确定部分的表达式:

(4)

其中:ΔCT,φ、 ΔCT、 ΔCD、 ΔCL、 ΔCM及ΔCNi的表达式如下:

(5)

在高超声速飞行器刚体模型中将弹性模态部分视为系统扰动进行处理,考虑到空气参数的不确定性,则进一步控制模型为:

(6)

其中:dV、dγ、dα和dq为气动参数和弹性模态引起的系统不确定项,则dV、dγ、dα和dq的具体表述式如下所示:

其中,S为参数特征面积。

同时考虑输入饱和及执行器故障模型如下:

φ=ρVsat(φ),δe=ρhsat(δe)

(7)

其中:ρV和ρh为失效故障因子，且满足0<ρV<1, 0<ρh<1, sat(φ)为饱和函数。

注1：在执行器故障模型(8)中，φ和δe分别高超声速飞行器控制系统中的发动机节流阀和舵偏角的参考输入;ρV和ρh分别表示为速度及高度执行机构中发生的故障，且满足于0≤ρi<1(i=V,h)。

根据式(7)，式(6)可重写为:

(8)

控制目标：针对弹性高超声速飞行控制系统式(8)，在控制限幅、执行机构失效的情况下，在所设计的抗饱和故障容错控制策略作用下，能够控制飞行器对速度参考信号Vd和高度参考信号hd进行快速稳定高精度跟踪，同时保证攻角、俯仰角、俯仰角速率满足给定状态约束条件。

2 控制器设计

针对速度和高度两个子系统，根据被动容错思想、结合反步法和自适应控制方法，分别设计了自适应抗饱和的故障容错控制器，通过引入新型屏障李雅普诺夫函数，能够保证系统状态在飞行过程中满足状态约束条件。

为方便控制器的设计，给出以下引理。

引理1[27].对于任意实数x和非零实数y，下面不等式成立:

0≤|x|(1-tanh(|x/y|))≤α|y|

(9)

其中:α>0，其最小值α*满足α*=x*(1-tanhx*)，则x*满足方程e-2x*+1-2x*=0。

2.1 速度子系统控制器设计

定义速度跟踪误差zV:

zV=V-Vd

(10)

其中:Vd为速度参考信号。

对式(10)求导:

(11)

为处理执行器输入饱和问题，引入光滑双曲正切函数如下:

sat(φ)=h(φ)=φ+Δφ

(12)

h(φ)=φmaxtanh(φ/φmax)

(13)

其中:φmax为正常数。

根据式(12)，则(11)可重写为:

(14)

假设1：在系统(14)中，干扰gVρVΔφ+dV(t)存在未知上界，则满足下列不等式:

|gVρVΔφ+dV(t)|≤εV

(15)

其中:εV为未知正常数。

为了保证速度期望的跟踪性能|zV|≤AzV，其中AzV>0，定义屏障李雅普诺夫函数如下:

(16)

对式(16)求导可得:

(17)

根据式(17)，利用反步法和自适应算法，设计了带有状态约束的自适应饱和故障容错控制器:

(18)

(19)

(20)

其中:kV1、ξV、λV1和λV 2为正常数。

定理1.考虑系统(8)，且满足假设条件1，在控制器(18)和自适应律(19)～(20)作用下，则跟踪误差变量zV收敛到如下区域:

(21)

其中:cV和cV 0是与控制器参数相关的常数。

证明：选取李雅普诺夫函数如下:

(22)

利用式(18)对V1求导整理可得:

(23)

由引理1可知，下列不等式成立:

(24)

将式(24)代入式(23)整理可得:

(25)

令

cV=min{kV1,λV1,λV 2}

(26)

(27)

根据式(26)～(27)，式(25)可以整理为:

(28)

对式(28)求解可得:

(29)

由式(29)可得V1(t)≤V1(0)，即V1(t)是有界的，联合屏障李雅普诺夫函数式(16)，可得不等式如下:

(30)

进一步可得:

(31)

定理1证毕。

2.2 高度子系统控制器设计

高度误差变量zh定义为:

zh=h-hd

(32)

其中:hd为速度参考信号。

对式(32)求导:

(33)

进一步可得期望的航迹角信号:

(34)

其中:kh1>0是常数。

为了系统的反馈形式，下式将式(8)进行转化:

(35)

假设2.在高度系统模型(35)中，总的干扰项dγ和dα有界，且满足式:

|dγ|≤εγ, |dα|≤εα

(36)

其中:εγ>0和εα>0且未知。

Step1：航迹角跟踪误差变量zγ定义:

zγ=γ-γc

(37)

对式(37)求导可得:

(38)

为了保证航迹角期望的跟踪性能|zγ|≤Azγ，其中:Azγ>0，定义屏障李雅普诺夫函数如下:

(39)

对式(39)求导可得:

(40)

根据式(40)，设计虚拟控制器αc如下:

(41)

(42)

其中:kγ1、ξγ和λγ为正常数。

为了克服对虚拟控制器αc多次微分所导致计算复杂问题，引入一阶命令滤波器如下:

(43)

其中:αc和αd分别为一阶命令滤波器的输入及输出信号，且τ1为正常数。

定义滤波器微分跟踪误差yα为:

yα=αd-αc

(44)

将虚拟控制器式(41)代入式(40)整理可得:

(45)

Step2：定义攻角误差zα=α-αc，并求导得:

(46)

为保证攻角期望的跟踪性能|zα|≤Azα，其中Azα>0，定义屏障李雅普诺夫函数如下:

(47)

对式(47)求导可得:

(48)

根据式(46)，设计虚拟控制器qc如下:

(49)

(50)

其中:kα1,ξα和λα为正常数。

为克服对虚拟控制器qc多次微分所导致计算复杂，引入一阶命令滤波器如下:

(51)

其中:qc和qd分别为命令滤波器的输入和输出信号，且τ2为正常数。

定义滤波器微分跟踪误差yq为:

yq=qd-qc

(52)

将式(49)代入(48)整理可得:

(53)

Step3：定义俯仰角速率跟踪误差zq=q-qd，并求导可得:

(54)

为了处理执行输入饱和问题，引入光滑双曲正切函数如下:

sat(δe)=h(δe)=δe+Δδe

(55)

h(δe)=δemaxtanh(δe/δemax)

(56)

其中:δemax为正常数。则式(54)可重写为:

(57)

假设3：在系统(57)中，干扰gqρhΔδe+dq存在未知上界，则满足下列不等式:

|gqρhΔδe+dq|≤εh

(58)

其中，εh为未知正常数。

为保证俯仰角速率期望的跟踪性能|zq|≤Azq，其中Azq>0，定义屏障李雅普诺夫函数如下:

(59)

对式(59)求导可得:

(60)

根据式(57)，结合自适应控制算法，设计了带有状态约束的饱和故障容错控制器如下:

(61)

(62)

(63)

其中:kq1、ξq、λq1和λq2为正常数。

定理2.考虑系统(35)且满足假设条件2，在控制器式(61)和自适应律式(62)～(63)作用下为制导律，误差变量zh、zγ、zα和zq渐近收敛到如下区域。

(64)

其中：ch0和ch是与控制器参数相关的常数。

证明.考虑李雅普诺夫函数

(65)

利用式(40)、(53)、(60)、(61)对式(65)求导可得:

(66)

由引理1可知，下列不等式成立:

(67)

将式(67)代入式(66)整理可得:

0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(68)

根据：

(69)

(70)

将式(69)和式(70)代入式(68)整理可得:

0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(71)

令

(72)

0.2785ξγδγ+0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(73)

利用式(72)和式(73)，式(71)可整理为：

(74)

对式(72)求解可得:

(75)

由式(75)可得V2(t)≤V2(0)，即V2(t)是有界的，联合屏障李雅普诺夫函数式(39)、(47)和(59)，可得不等式如下:

(76)

(77)

(78)

进一步可得:

(79)

(80)

(81)

定理2证毕。

3 仿真分析

为了定量分析本文所设计控制策略的性能，对非线性运动方程(1)和气动模型(2)～(3)进行仿真，参考文献[2]中气动参数,见表1。

表1 高超声速飞行器参数

3.1 执行器无故障的仿真分析

高超声速飞行器期望速度指令为Vd=4650.3 m/s，期望高度指令为hd=34328 m，控制参数选取如下：AzV=3、kV1=0.54、ξV=0.01、λV1=0.02、λV 2=0.02、kh1=0.1、kγ1=0.5、ξγ=ξq=ξα=0.01、λγ=λα=λq1=λq2=0.02、τ1=τ2=0.02、kα1=0.3、kq1=0.46和Azγ=Azα=Azq=0.15。则仿真结果如图1～图5所示。

图1 速度跟踪曲线

图2 高度跟踪曲线

图3 控制输入φc和δe曲线

图4 状态变量γ,α和q曲线

图5 弹性模态η1和η2曲线

从图1～图2分别给出了速度和高度的跟踪曲线仿真结果可知，即使存在外界干扰、模型参数不确定性和输入饱和情形下，速度误差和高度误差在有限时间内收敛到零的附近区域，能够满足跟踪性能。从图3给出控制输入曲线可知，控制输入在整个控制过程中是有界的。由图4给出飞行器的其他状态曲线可知，航迹角、攻角和俯仰率在短时间内趋于稳态值且满足预期的状态约束条件。图5描述了弹性模型的曲线，表明弹性模态变量η1和η2在经历较短暂态后趋于稳定值。

3.2 带有执行器故障的仿真分析

为验证所设计控制器对执行器发生故障时的有效性，控制参数和参考信号与3.1节相同，在仿真中，假设故障形式如式(82)所示，其仿真结果如图6～图11所示。

图6 速度跟踪曲线

图7 高度跟踪曲线

图8 控制输入φc和δe曲线

图9 状态变量γ和α曲线

图10 俯仰角速率q曲线

图11 弹性模态η1和η2曲线

(82)

图6～图7分别给出了两个状态的跟踪结果，从图中可以看出，当飞行器发生执行机构失效故障时，所设计的容错控制器能够快速自动调整控制增益，以实现对故障影响的有效处理，使得速度跟踪误差与高度跟踪误差均在较短时间内收敛到平衡点，且其精度达到了控制系统的性能要求。图8所产生的控制变化曲线，从图中可以看出，输入曲线变化平缓，并能够满足执行器物理受限的要求。从图9～图10所示的高超声速飞行器其它状态量的变化曲线可知，当控制器发生故障时，由于控制器对故障进行有效处理，使得较短的时间内航迹角γ，攻角α和俯仰角θ迅速趋于稳定，且各个误差变量zγ、zθ和zq分别快速的收敛至|zγ|≤0.15、|zθ|≤0.15和|zq|≤0.15。图11为执行机构故障下的弹性状态变化曲线，弹性模态变量η1和η2在较短时间内趋于稳态值，并能保持在一定范围内变化。

4 结论

本文针对带有状态约束的高超声速飞行器跟踪控制问题进行了深入的研究，同时考虑到弹性耦合、执行器输入受限和执行器故障的工程实际需求，在构造一种新型屏障李雅普诺夫函数基础上，利用反步法、双曲正切函数、一阶滤波器和自适应控制技术，提出了一种自适应抗饱和故障容错控制策略，通过屏障李雅普诺夫函数的有界性，使得所设计的控制策略在满足飞行状态约束的同时具有良好的控制性能。借助李雅普诺夫函数对所设计的控制器进行了稳定性证明，并通过仿真分析进一步验证了所设计控制策略的性能。