功能梯度悬臂输流微管的自由振动分析

马 涛, 穆安乐

(1.西安理工大学 机械与精密仪器工程学院， 陕西 西安 710048；2.河南工程学院 机械工程学院， 河南 郑州 451191)

随着材料科学和微电子技术的交叉融合发展，输流微管正逐渐成为微/纳机电系统的核心部件，其在生物医药领域、微纳米机电领域等得到了广泛应用[1]。例如，为了避免系统共振，需要知道微管的自振频率，为了防止微管道出现屈曲及颤振失稳，需要掌握系统的临界速度等[2,3]。输流微管的结构尺寸一般在微米甚至纳米级，实验已证明在微尺度下，材料尺度参数对微结构的力学性能有显著影响[4]。近年来，输流微管的动力学特性研究已经取得了丰硕的成果。梁峰等[5,6]以修正偶应力理论为基础，建立了热弹性耦合输流微管的运动方程，分析了环境温度、微尺度参数对系统固有频率和临界速度的影响。李明等[7,8]以非局部弹性理论为基础，应用Hamilton原理建立了单层碳纳米管输流管系统的振动方程，研究流体速度、温度和材料微尺度参数对碳纳米管系统固有频率和颤振失稳临界速度的影响。Bahaadini等[9]采用改进的非局部弹性理论对悬臂式碳纳米管的颤振和失稳进行了分析。Dehrouyeh-Semnani等[10]建立了输流微管的非线性动力学方程，研究了谐波载荷作用下输流微管的共振特性。Guo等[11]将加工缺陷耦合到悬臂输流微管的三维非线性动力学方程中，分析了周期运动、加工缺陷和微尺度参数对系统特性的影响。李倩等[12]通过对非线性输流微管系统的共振响应分析，研究了质量比、流速、附加轴向力对共振幅值的影响。Ghayesh等[13]研究了非线性弹性介质中输流微管的粘弹性耦合动力学特性。以上研究均表明，在微纳米尺度下，材料的微尺度参数对输流微管的特性有显著影响，但是这些输流微管的材料都是基于各向同性的单一均质材料。随着输流微管的应用环境越来越复杂多变，如在超高温、超低温、高磁等物理场作用下，单一均质的输流微管已经不能满足使用要求。

从以上数据来看，政府包办的社会福利机构在县一级寥寥无几，床位数与孤儿实际数量之比约为1:9，远远无法满足孤儿的需求，全国80%以上的孤儿散落于民间，由孤儿亲属、民间机构等收养。在公办福利机构不足、服务设施缺乏的情况下，民间孤儿救助组织的介入，可有效缓解政府压力，弥补政府在孤儿救助方面的缺位。

为了提高复杂环境下输流微管的稳定性，一种新型功能梯度材料被提出，并获得了学者们的广泛关注。Zhou等[14]研究了管内流体速度和轴向激励对功能梯度悬臂输流管非线性动力学特性的影响。Tang等[15]进行了功能梯度输流管的后屈曲行为分析。Liang等[16]研究了多跨功能梯度输流管的动力学特性。Baghlani等[17]进行了热环境下弹性地基包围的功能梯度材料输流管的自由振动分析。以上研究表明，功能梯度材料能够显著提高输流管的稳定性和临界速度，尤其在环境多变的复杂载荷作用下，功能梯度输流管的性能显著优于各项同性均质输流管。但是这些研究是在宏观大尺度下进行的，对于微纳尺度下输流微管的研究，碳纳米管是最先获得学者们关注的。Deng等[18]运用杂交法研究了微尺度效应对多跨粘弹性功能梯度输流纳米管稳定性的影响。Tong等[19,20]研究了功能梯度碳纳米管在热磁耦合作用下的稳定性。Liu等[21]建立了具有初始缺陷的功能梯度纳米管的非线性动力学方程，基于非局部应变梯度理论，研究了初始缺陷、微尺度效应和功能梯度材料幂律指数对系统性能的影响。Wang等[22]研究了表面应力对功能梯度纳米输流微管的非线性动力学特性的影响。这些研究表明，在纳米尺度下，功能梯度材料的幂律指数、表面应力分布、材料尺度参数及流体与管壁的作用机理等，都对功能梯度纳米输流微管系统的临界速度、固有频率有显著影响。

以上研究都是基于功能梯度碳纳米管展开的，而针对结构尺寸在微米量级的功能梯度输流微管的研究目前鲜见报道，且由于微纳米的尺度量级相差在103，使得微纳米输流管展现出完全不同的力学性能。因此，本文针对输流微管在微机电系统(MEMS)应用中的振动问题，基于高阶连续介质理论中的修正偶应力理论，运用Hamilton原理，首次建立功能梯度悬臂输流微管的动力学方程，研究功能梯度悬臂输流微管的自由振动特性，探讨通过功能梯度材料来提高微米输流管系统稳定性的可能性。主要研究管内流体速度、功能梯度材料的幂律指数、微尺度参数和质量比对输流微管系统稳定性的影响，从而为功能梯度微米管在MEMS中的应用提供理论支持。

1 功能梯度悬臂输流微管的运动方程

功能梯度悬臂输流微管的结构如图1 所示，管道内径为Ri，外径为Ro，参考点半径为r，长度为L，假设流体是定常流，速度为U，管内单位长度流体的质量为M。功能梯度材料的属性按照幂律指数规律分布[23]，其有效材料性能可表示为：

E(r)=ViEi+VoEo

(1)

G(r)=ViGi+VoGo

(2)

ρ(r)=Viρi+Voρo

(3)

(4)

Vo=1-Vi

(5)

式中：下标i表示管道内层，下标o表示管道外层；n为功能梯度材料的幂律指数；E、G、ρ分别为功能梯度管道的弹性模量、剪切模量和密度；V为组分材料的体积分数。

听说文学社曾经愿意给她付印，稿子呈到中央宣传部书报检查委员会那里去，搁了半年，结果是不许可。人常常会事后才聪明，回想起来，这正是当然的事；对于生的坚强和死的挣扎，恐怕也确是大背“训政”之道的。今年五月，只为了《略谈皇帝》这一篇文章，这一个气焰万丈的委员会就忽然烟消火灭，便是“以身作则”的实地大教训。

(6)

式中：l为材料微尺度参数；w为微管的横向振动位移。其中：

(7)

(8)

功能梯度悬臂输流微管的动能为：

(9)

式中：m*为功能梯度悬臂输流微管的单位长度质量，其表达式为：

(10)

输流微管内流体的动能为：

(11)

对于本文的悬臂输流微管系统，采用Benjamin[25]在1961年提出的Hamilton原理，其表达式为：

(12)

其中，L=Tp+Tf-Up是系统的拉格朗日方程，rL、τL分别为微管道端部处的位置矢量和切向单位矢量。将式(6)、(9)和(11)代入式(12)，经过变分计算，并忽略重力、阻尼力、流体压力的影响，可得功能梯度悬臂输流微管的线性运动方程：

(13)

则方程(18)化为：

④ 虞美人草(旧女性和现代女性)http:///pakuten.rakuten.co.jp/esuke,2008/2009/2009/

所谓小题，是指在教学过程中发生的具体问题，是语文教师在教学中迫切需要解决并通过努力可以解决的问题。语文教师需要在教学实践中细致入微地考察疑难问题，不放过任何细枝末节。小题的“小”，是指从细微处着眼，从教学的小处着手，研究的范围和切入点要小，但对这些“小题”却必须高度重视，在研究过程中要较真，既要做真研究，也要做实文章，不能轻视和随意，对这些“小”要另眼相看，相信研究的价值并激发创新能力。所谓大做，就是指要能以小见大，能够以研究者的姿态出现在实践舞台上，把小题做大、做强，做出特色、做出水平来。

(14)

基于Euler-Bernoulli梁和修正偶应力理论，功能梯度悬臂输流微管的应变能定义为[24]：