基于石材粗加工工艺之悬臂梁的力学分析*

王君超，李丽萍

（厦门工学院机械科学与电气工程学院，福建 厦门 361021）

0 引言

闽南地区的石材雕刻作为区域特色产业，其生产规模呈逐年扩大的趋势。然而，课题组从闽南地区的石材加工企业调研中发现，石雕的粗加工过程仍以人工为主，劳动强度大，工作效率低，且产生的粉尘对环境质量和加工人员健康存在严重影响。虽然目前市场上的各种加工设备种类繁多，但均主要应用于细雕过程，如桥切机、雕刻机、五轴加工轴心等。如利用其进行石材粗加工，不仅耗时长、效率低，且对机器的磨损大，维护成本高。

课题组利用岩石的脆性特点，为石材的粗加工提供一种新的加工方式，快速完成石材的粗雕过程，即将石材切成条形梁状，然后加力使其弯曲断裂破坏，实现快速粗雕加工[1-6]。

1 悬臂梁的力学模型

图2 外力分解示意图

2 悬臂梁的数学模型

2.1 内力方程

以梁型结构固定端的形心处作为坐标原点，受力分析可知，在距离原点x处，以y为中性轴及z方向的弯矩用Mxz(x)表示为：

2.2 弯曲应力方程

根据内力方程，可以得到x、y、z三个方向上的应力方程，其中x轴只有正应力。

2.3 变形方程

由于脆性材料抵抗变形的能力较低，其断裂条件可由其挠度作为控制条件。根据挠曲线微分方程，可推导出y、z两个方向的挠度分别为：

2.4 扭转应力

当等直矩形横截面杆件受到x轴正向的弯矩时，通常会直接引用弹性力学的分析结果来求这个杆件的最大剪应力：

式中，a为h与b之比有关的系数。《等直矩形横截面杆件扭转时剪应力和扭转角的近似分析》这本书提供了系数的近似表达式，常用数据以表格形式给出：

2.5 叠加后的应力方程

将上面各节得到的正应力、切应力叠加，可以得到：

当x=0，y=0，z=0时，最大切应力的位置为梁的自由端，代入数值得，切应力为：

2.6 破坏极限应力

根据材料力学可知，石材为脆性材料，当σmax>σb时，或者τmax>τb时，即当脆性材料的最大应力大于强度极限应力时，石材会发生断裂破坏。而梁型结构的最大应力出现在根部，破坏应该发生在根部，即根部为最大应力处。

项目组以砂岩为例，查阅《岩石力学》可知，细砂岩的抗拉强度极限为17.6 MPa，弹性模量为47 GPa。

3 数值仿真

3.1 最大正应力随外力、梁的尺寸变化

当其他参数不改变只有外力F变化时，F变化幅值比例为0∶1∶100 000，对细砂岩的梁型结构施加外力F，如图3所示，正应力会随着外力F的增大而增大，当外力大于2.51×104N时，大于细砂岩的强度极限，悬臂梁结构在最大正应力处发生断裂破坏，此时正应力达到最大值。

图3 根部正应力随外力F变化

当其他参数不变只有梁长度l发生变化时，l变化幅值比例为0.001∶0.001∶3。其应力与长度关系如图4所示，正应力会随着梁长l的增大而增大，当梁长大于0.746 m时，大于细砂岩的强度极限，悬臂梁结构在最大正应力处发生断裂破坏。

图4 根部正应力随梁的长度l变化

当其他参数不变，分别改变梁厚度h及宽度b时，h与b变化幅值比例均为0∶0.001∶0.05。其应力变化如图5、图6所示，正应力在梁厚度小于0.039 m，宽度小于0.026 m时，达到细砂岩的强度极限，悬臂梁结构在最大正应力处发生断裂破坏。

图5 根部正应力随梁的厚度h变化

图6 根部正应力随梁的宽度b变化

3.2切应力随外力、梁的尺寸变化

当其他参数不改变，仅分别改变F、h、b时，F变化幅值比例为0∶1∶100 000，h变化幅值比例为0∶0.001∶0.05，b变化幅值比例为0∶0.001∶0.05。当外力大于2.51×104N，梁厚度小于0.039 m，宽度小于0.026 m时，达到细砂岩的强度极限，悬臂梁结构在最大正应力处发生断裂破坏。如图7、图8、图9所示。

图7 根部切应力随外力F变化

图8 根部切应力随厚度h变化

图9 根部切应力随宽度b变化

3.3自由端挠度随外力、梁的尺寸变化

当外力大于2.526×104N，梁长大于0.746 m，梁厚度小于0.039 m，梁宽度小于0.026 m时，达到细砂岩的强度极限，变化如图10、图11、图12、图13所示。

图1 梁的力学模型示意图

图10 自由端挠度随外力F变化

图11 自由端挠度随长度l变化

图12 自由端挠度随厚度h变化

图13 自由端挠度随宽度b变化

4 结语

本项目组对细砂岩石材的梁型结构进行外力设计与分析，对正应力、切应力及扭转切应力的表达式进行推导，利用MATLAB软件编写仿真程序计算，得到砂岩的破坏断裂极限与外力及梁尺寸之间的关系。通过对砂岩的正应力、切应力及变形分析，可以得出外力及梁的尺寸与悬臂梁强度和刚度之间的解析关系，了解这些变化规律，可以为石材粗加工中石材切割尺寸的确定以及为锯切机床的设计提供参考数值。