三个“一次”齐聚会

刘家良

有一类应用题，兼顾一次函数、一次方程（组）、一次不等式（组）三个方面的知识. 现举两例说明.

例1（2020·内蒙古·通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装. 已知2件A型服装和3件B型服装共需4 600元;1件A型服装和2件B型服装共需2 800元.（1）求A，B两种型号服装的单价;（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型服装的件数不少于B型服装的件数的2倍，如果B型服装打7.5折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？

分析：（1）根据购进服装的单价、件数及费用，找出等量关系，列二元一次方程组求出A，B两种型号服装的单价;（2）设购进A型服装m件，根据题意列出关于m的不等式，求出m的取值范围，设专卖店准备的货款为p元，根据题意得p关于m的一次函数式，再利用一次函数的增减性求最小值.

解：（1）设1件A型服装x元，1件B型服装y元，

根据购进服装的单价、件数及费用，可列方程组为[2x+3y=4 600，x+2y=2 800，]解得[x=800，y=1000.]

即A，B两种型号服装的单价分别为800元、1000元.

（2）设购进A型服装m件，则购进B型服装（60-m）件，

根据题意得[m≥2（60-m），60-m>0，]解得40 ≤ m<60.

设专卖店准备的货款为p元，则p = 800m + 1 000 × 0.75 × （60-m） = 50m + 45 000.

∵50 > 0，∴p随m的增大而增大，

∴当m = 40时，y最小值= 50 × 40 + 45 000 = 47 000（元）. 因此该专卖店至少需要准备47 000元货款.

点评：列一次函数式和列一次方程（组）一样，都是根据题意寻找等量关系;列不等式，需捕捉题中隐含的带不等关系的词语，如题中的“不少于”.

例2（2020·贵州·安顺）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛. 学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下. （1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了;（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？

分析：（1）由题意知学习委员购买两种钢笔共用922元，根据两种钢笔的单价、数量（未知数）及费用之和建立方程，求出其中一种钢笔的数量，若是小数，则可以判定学习委员搞错了;（2）笔记本的单价和两种钢笔的数量都是未知的，由题意建立二元一次方程，然后转化为一次函数，根据一次函数的增减性，确定笔记本的单价.

解：（1）设单价为6元的钢笔买了[x]支，则单价为10元的钢笔买了（[100-x]）支，

根据题意，得6x + 10（100 - x） = 1 300 - 378，解得x = 19.5.

因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了.

（2）设笔记本的单价为y元，根据题意得y = 1 300 - 378 - 6x - 10（100 - x） = 4x - 78.

由题意可知0 < y < 10，∴[4x-78>0，4x-78<10.]解得19.5 < x < 22. ∵x取整数，∴x = 20，21.

当x = 20时，y = 2;当x = 21时，y = 6. ∴笔记本的单价可能是2元、6元.

点评：求笔记本的单价，实则是求函数y的值，而自变量x的值是未知的，怎样解决这两个未知量呢？由函数y的取值范围求得x的范围，再结合x为正整数的特点，求得x的值. 这是思维的新意所在，希望同学们多揣摩、多體会.

例3（2020·湖北·荆州·改编）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量比甲厂多100吨. 这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如右表（单位：元/吨）.（1）求甲、乙两厂各生产多少吨;（2）设这批物资从甲厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案;（3）当每吨运费均降低p元时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5 040元，求p的最小值.

分析：（1）根据甲、乙两厂产量的关系及其产量之和建立方程组，解得两厂产量;（2）根据两厂分别运往两地的数量及单价费用，结合（1），建立y与x之间的函数关系式，再结合题意求得x的取值范围，根据一次函数增减性得总运费最少的调运方案;（3）由总运费不超过5 040元建立未知数为p的不等式，求解集，得p的最小值.

解：（1）设甲厂生产a吨，乙厂生产b吨，则[a+b=500，a+100=b，]解得[a=200，b=300.]

即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨.

（2）由题意，得y=20x + 25 （200 - x） + 15（240 - x） + 24[260 - （200 - x）]=4x + 10 040.

由题意得[x≥0，240-x≥0，200-x≥0，x+60≥0.]解得0 ≤ x ≤ 200. ∵4 > 0，∴y随x的增大而增大，

∴当x = 0时，y值最小，即总运费最少. ∴总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨.

（3）由题意得（20 - p） × 0 + （25 - p）（200 - 0） + （15 - p）（240 - 0） + （24 - p）[260 - （200 - 0）] ≤ 5 040，解得p ≥ 10. ∴p的最小值为10.

点评：不等式组的解集提供了一次函数的自变量x的取值范围，为求一次函数的最值提供了条件，而求一次函数的最值往往又是获取各类最佳方案的切入点.