十二等程律中的科学、艺术和数学

摘要朱载堉在自然科学和艺术科学两大领域都做出了划时代成就，取得了当时多项世界第一的学术成果。朱载堉是世界上第一个计算出十二等程律的人。朱载堉的十二等程律解决了两千多年来一直困扰着中西乐律学的转调和变调问题，在音乐理论史上具有划时代的意义。2018年普通高等学校招生全国统一考试中，朱载堉科学艺术成果首次进入北京市文、理科数学试卷。朱载堉还造出了一套音高标准器和一套标准律管。朱载堉爱科学不爱王位，终生投身科学和艺术的精神值得学习和继承。

关键词朱载堉;十二等程律;律管

中图分类号：N49文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.36.031

Science，Art and Mathematics in the Law of the Twelfth Order

——On Zhu Zaiyu's acoustic achievements

WANG Hongpeng

（China Science and Technology Museum，Beijing 100101）

Abstract：Zhu Zaiyu made epoch-making achievements in the two fields of natural science and art science，and made a number of world-class academic achievements at that time. Zhu Zaiyu was the first person in the world to calculate the twelfth order law. Zhu Zaiyu，s twelfth order law has solved the problem of tone transfer and tone change that has plagued Chinese and western music law for more than 2000 years，and has epochmaking significance in the history of music theory. Zhu Zaiyu，s scientific and artistic achievements entered the Beijing mathematics examination papers of Arts and Sciences for the first time in the national unified examination for enrollment of ordinary colleges and universities in 2018. Zhu Zaiyu also created a set of pitch standards and a set of standard rhythm tubes. Zhu Zaiyu loves science rather than the throne. His spirit of lifelong devotion to s cience and art is worth learning and inheriting.

Keywords：Zhu Zaiyu;twelfth order law;pitch pipe

中華世纪坛矗立着40尊中华文化名人的青铜塑像，这些都是中华文明五千年历史长河里精英中的精英，从老子、孔子到司马迁，从孙子、管仲到李时珍，每一位都可谓大名鼎鼎、如雷贯耳。然而，其中却有一个对很多人来说都比较陌生的人，他就是明代音乐家朱载堉。

朱载堉，字伯勤，号“狂生”“山阳酒狂仙客”，明朝嘉靖十五年（1536）出生于河南省怀庆府河内县（今河南省沁阳市），是朱元璋九世孙。其父朱厚烷被册封为郑恭王。作为长子，朱载堉10岁被册封为世子。令人称奇的是，朱载堉在其父去世后，向皇帝连上七疏，辞掉了郑王王位。

明朝少了一位王爷，中国历史上却多了一位可以被称为科学家的世界文化名人。这位无意于政治的王爷在许多方面取得了丰硕的成就。朱载堉留下的文字著述有100多万字，内容涉及音乐、天文、历法、数学、文学等众多领域，被著名的科学史家李约瑟称为“东方文艺复兴式的圣人”。

在中国古代科技史上，明代出现了许多著名人物，其中与朱载堉大致同时期的有李时珍、徐光启、宋应星、徐霞客等著名科学家。他们的代表作如《本草纲目》《农政全书》《天工开物》《徐霞客游记》等，多处于以分类、比较、归纳为特征的经验自然科学阶段。只有朱载堉的《乐律全书》是一个例外，它理实交融，研究方法和现代科学非常相似。其中，朱载堉在音乐学上的贡献至少体现在以下两个方面。

1首创完美的十二等程律

音乐是声音组成的艺术，音高、节奏和音色是音乐的三个基本元素，其中音高是由声音的频率决定的。这种具有固定音高或频率的声音在音乐中称为乐音或单音。单音是音乐最基本的元素，不同频率的单音按照一定的时间规律发出，就形成了音乐的旋律。两个单音之间若频率相差整数倍，则听起来非常相似。两个单音的频率若刚好相差一倍，则称两者之间相差一个八度。

学过钢琴的人都知道，钢琴键盘上每个八度包括七个白键和五个黑键。也就是说，钢琴键盘上每个八度是由十二个单音组成的，每两个相邻的单音之间的频率比即音程称为一个半音（不管在钢琴键盘上它们是白键还是黑键）。那么，这十二个单音的频率之间有什么数量关系呢？也就是说，怎么把一个相差八度的音程均匀分到十二个半音呢？

目前国际通用的方法是十二等程律，而朱载堉正是世界上第一个计算出十二等程律的人。所谓十二等程律，就是一个八度内的十二个半音的音程相等的律制。也就是说，在十二等程律中，任意两个半音的音程都是相等的（十二等程律有时也被称为十二平均律，中国科学院自然科学史研究所研究员戴念祖指出这是术语的混用，应予以纠正）。

在西方音乐中，一个八度的十二个单音分别用C、C?、D、D?、E、F、F?、G、G?、A、A?、B来表示。在中国古代的乐律学中，一个八度的十二个单音分别被称为黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、中吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟（成语“黄钟大吕”即源于此）。据《隋书》记载，早在公元400年左右，中国南朝数学家何承天就提出，从黄钟、大吕到应钟再到下一个八度的第一个单音清黄钟，这十三个单音所对应的钟长数值分别为900、849、802、758、715、677、638、601、570、536、509.5、479、450（由于同样的物体越大，其固有频率越小，所以从黄钟、大吕到无射、应钟的钟长越来越小，频率越来越高，也就是音高越来越高）。这是世界历史上关于十二等程律的最早文字记载。何承天的数据不够精确，每两个相邻钟长之间的比值也不是固定的，而是从1.052011776到1.064444444不等，因此何承天的十二律只是近似的十二等程律。

朱载堉的十二等程律被传教士带到西方后，对西方的音乐史也产生了深远的影响。德国物理学家亥姆霍茨曾经说过：“在中国人中，据说有一个叫载堉的王爷，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”

2018年的北京市高考数学试卷中出现了一道以朱载堉的十二等程律为题材的试题，通过这道试题我们能够进一步地理解十二等程律的含义：

第八个单音与第一个单音相差7个半音，因此正确答案为D。

2制作律管

音高由声音的频率决定，但是古代由于没有测量声音频率的仪器，为了给每一个单音制定一个标准，就需要为每一个单音制作出一个“标准乐器”，就像作为质量和长度标准的千克原器、米原器一样。

这种标准乐器的制作材料和方法各不相同。用弦樂器来确定音高标准可以非常准确，但是其最大的缺点是调好音的弦长容易受到外界温度和湿度的影响，因此不容易保持其状态，于是人们想到了管乐器。制定标准音高的管子，称为律管，有时也简称“律”或者“管”。

律管，由12支竹管或者铜管组成，其一端为吹口，另外一端是开口，中间没有音孔。12支中最长的一支发最低的黄钟音，命名为黄钟管。以黄钟管长为起始音，再按乐律规则即可得出剩余的十一支律管的管长。

据记载，中国律管的制作始于传说中的黄帝时代。《吕氏春秋·仲夏纪·古乐》写道：“昔黄帝令伶伦作为律。伶伦自大夏之西，乃之阮隃之阴，取竹于懈溪之谷，以生空窍厚钧者，断两节间，其长三寸九分，而吹之以为黄钟之宫，吹曰舍少。次制十二筒，以之阮隃之下，听凤皇之鸣，以别十二律。其雄鸣为六，雌鸣亦六，以比黄钟之宫适合，黄钟之宫皆可以生之，故曰，黄钟之宫，律吕之本。”司马迁的《史记》中也有这样的记载：“武王伐纣，吹律听声。”此处的“律”就是律管。武王伐纣大约发生在公元前1046年，可以说，最晚到公元前11世纪中国就已经使用律管了。到春秋战国时期，律管已普遍成为定律器了。

由于不同历史时期的乐律规则不尽相同，所以不同时间的音高标准器的形制也不完全一样。朱载堉在提出自己的十二等程律之后，也基于这一理论制造出了一套音高标准器——均准（又称弦准），这是世界上第一个依据十二等程律制作的定律器，也是世界上第一个依据十二等程律制作的弦乐器。

此外，朱载堉还制定了一套标准律管（36根，含三个八度）。律管的制作材料，历代也各有不同。唐代司马贞在《史记索隐》中记载：“古律用竹，又用玉，汉末以铜为之。”由于竹质的律管有不均匀的缺陷，玉又不易加工，因此朱载堉在制作律管时选用了铜。铜不仅受温度、湿度等环境因素的影响较小，而且易于加工，容易满足设计的要求。如果将这36根律管排列起来，它们就可以构成一个十二等程律的管乐器组。

在制作律管时，朱载堉发现律管长度加倍或减半且管径相同时，这两支律管的发音不是正好相差一个八度。这就需要对律管管口的内径进行适当的调整，即管口校正。为此，他根据实验并借助数学工具找出缩小管径的校正方法，这种方法比前人的方法更为科学可靠。

3结语

没有人能随随便便成功。朱载堉的成功并不是偶然的，他年幼时深受父亲的影响，终生学习研究音律。朱载堉晚年“一人吹律，一人弹琴，一人击缶而歌。余亦自歌，互相唱和，而乐在其中矣”。正因为朱载堉学识渊博，特别是他在数学上超出常人的才能，以及他对音乐无与伦比的敏感、热爱和执着，才促成了他在人类音乐史上获得的空前成就。

朱载堉不仅留下了丰硕的学术成果，还留下了宝贵的精神财富。他作为皇室嫡系、郑藩世子，却不恋王位、倾心学术的高尚品质，令人折服。他的事迹启示我们：对待文化遗产不能因循守旧，而应批判继承;对待科学问题，不仅格物穷理，而且尊重实践、注重实验;对待艺术问题，不是复古，而是创新。

参考文献

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