常微分方程在电子信息专业中的教学案例探析

邓瑾

[摘           要]  常微分方程的理论体系严谨且抽象，又是高职工科专业学生重要的学习工具。在日常教学中，只有紧密联系学生的专业实际，选取合适的教学案例，才能为学生的专业学习奠定必要的基础，提高他们分析和解决实际问题的能力。结合湖南信息职业技术学院电子信息类专业实际，探究了常微分方程的教学实例。

[关    键   词]  常微分方程;电子信息;教学案例

[中图分类号]  G712                [文献标志码]  A             [文章编号]  2096-0603（2021）14-0168-02

一、引言

微分方程是应用数学的重要组成部分，广泛应用于众多领域，如在人口模型、传染病模型、天气预报模型等方面，都起着举足轻重的作用。高职工科专业中的自动控制、各种电子学装置的设计等，都与微分方程有关。

我院电子信息类专业课程如电工电子技术、模拟电子技术、数字电路等都需要用到大量的常微分方程知识，根据高职数学“服务专业学习”的性质，我们的课堂教学案例需要对接专业内容，从专业实际出发，这样学生才能更好地体会数学的应用价值，因此在“常微分方程”教学中融入实际案例非常必要且意义重大。

二、 教学案例探析

学习数学时，对基本概念掌握比较扎实的话，能够为后续内容的学习奠定坚实的基础。因此，在介绍常微分方程通解和特解的基本概念时，我们可以引用如下RLC串联电路问题。

案例1：一个由电阻R、电感L、电容C串联组成的简单闭合电路，如果在某一时刻将电容器充电使它得到一个电位差，然后断开电源，在电感的作用下这个闭合电路中开始了電流振荡，试建立电容器两极间的电位差和实践之间关系的微分方程。

分析讲解：首先，引导学生用数学语言重述这个专业问题：用Q（t） 表示在时刻t 电容器上的电量，C 表示电容器的电容，v（t） 表示在时刻t 电容器两极间的电位差，R 表示电阻的阻值，L 表示电感的电感系数。

其次，引导学生对该问题作出合理的假设：如忽略电感中的电阻，忽略电阻中的电感效应，忽略线路中的电阻，认为电容器两极间没有电流。

学生是电子专业，对电学原理——“总电动势等于电容器的电位差和电感电动势的总和”是熟悉的，所以可以提示学生据此列出表达式：

如果我们能根据以上条件，求出v（t）的表达式，即时刻t电容器两极间的电位差，就得到了电路的振荡规律。虽然这是一个抽象函数表达式，但是其中的专业背景比较明确，所以学生能理解。

常微分方程理论中有一个很重要的解法，叫“常数变易法”，它主要用于求一阶线性非齐次微分方程的通解。教师在分析清楚其中原理后，更多地需要通过专业实际来引导学生感悟该方法的应用价值。这时，可以讲解这样的RC电路问题。

案例2：（RC电路）在一个含有电阻R（单位：Ω）、电容C（单位：F）和电源E（单位：V）的RC串联回路中，由回路电流定律，知电容上的电量q（单位：C）满足以下微分方程：

若回路中有电源400cos2t（V），电阻100Ω，电容0.01F，电容上没有初始电量。求在任意时刻t电路中的电流。

问题分析：要求任意时刻电路中的电流，需要先知道任意时刻电路中的电量q，因此第一步，引导学生根据题意建立关于电量q的微分方程模型。

高职院校培养的不是高深的理论人才，而是手脑并用的技能型人才，因此我院数学教学改革中，开设了Matlab数学实训，将学生从烦琐的计算中解脱出来。在介绍Matlab求解二阶微分方程时，可以引用如下案例。

案例3：（RLC电路分析）一个RLC串联回路由电阻R=180 Ω，电容C=1/280 F，电感L=20 H和电源E（t）=10sint V构成，假设在初始时刻t=0，电容上没有电量，电流是1 A，求任意时刻电容上的电量所满足的微分方程。

问题分析：首先，明确问题需要知道的是电量与时间的函数关系式，可设为Q=Q（t），然后作出必要的简化假设：假设整个回路电阻没有电压损耗;电容忽略感抗，电感忽略容抗。

三、结语

上述案例是常微分方程在电子信息类专业教学中的实际应用。通过这样的教学，使学生了解该知识在专业中的应用。实际上，我们还可以拓展知识面，引入生活案例或其他领域问题来讲授，如单种群指数生长的微分方程模型、经济学中市场价格模型、减肥问题模型等。把实际生产生活问题与数学知识联系起来，在培养学生数学思维的同时，还提高了数学应用能力，也在一定程度上激发了学生的学习兴趣。

编辑 马燕萍