建构“一个整体”，联通“量”与“率”

范韦莉

摘要：“分数的初步认识（二）”这一教学内容具有承上启下的重要作用，对于学生发展分数概念有着特殊的意义——既要唤起学生前期感知的经验基础，又要为今后进一步抽象分数的意义、理解分数的性质奠定基础。基于教材解读和学情分析，进行教学设计，帮助学生顺利地从“一”走向“多”，建立起“一个整体”的概念，打通理解“量”与“率”的通路。

关键词：分数的初步认识（二）;整体;量;率;平均分

一、教材解读

分数是数的概念的一次重要的扩展。“认识分数”不仅在小学数学知识中占有重要的地位，更是学生学习的难点。为了帮助学生由易到难、由浅入深，逐步丰富和深化对分数概念的认识，苏教版小学数学教材分三个阶段推进“分数”教学：第一个阶段在三年级上册，侧重引导学生结合具体情境初步理解把一个物体（或图形）平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示;第二个阶段在三年级下册，侧重引导学生在具体情境中经历把一些物体看作整体进行平均分的过程，理解其中的一份或几份也可以用分数表示;第三个阶段在五年级下册，侧重引导学生在分数意义建立的过程中将平均分的对象抽象为单位“1”，以此为基础进一步讨论分数的性质，丰富其内涵，拓展其外延，进而帮助学生建立合理有序的认知结构。

从教材的编排看，学生在第二个阶段认识分数时，不仅需要感受单位“1”的内涵从一个物体扩展到由许多物体组成的整体，更需要在此基础上准确把握分数的本质，区分“个数”与“份数”，深刻体会分数表示的是部分与整体的关系。因此，“分数的初步认识（二）”这一教学内容具有承上启下的重要作用，对于学生发展分数概念有着特殊的意义——既要唤起学生前期感知的经验，又要为今后进一步抽象分数的意义、理解分数的性质奠定基础。

对此，教材创设了小猴分桃的问题情境（例1和例2），精心安排了丰富的数学活动，采用了与“认识一个物体的几分之一”类似的编排线索。例1首先提出“把一盘桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几”的问题，呈现能看出一盘桃个数的情境图，但又不在文字中表述出来。这样的方式有利于学生产生对“一盘桃的12”的直观认知。在学生认识到“每份是这盘桃的12”后，教材引导学生分别把4个桃、8个桃看作一个整体，要求学生在集合圈里表示每盘桃的12，经历把每盘桃平均分成2份，用12表示其中一份的活动过程，并在此基础上比较6个桃、4个桃、8个桃的集合。由此，引发思考：“每份的个数不同，为什么都可以用12来表示？”促使学生获得关于整体的12的概括性认识。例2的教学功能则是将学生对一个整体的12的认识扩展到一个整体的13，直至几分之一。教材把一盘桃（6个）表示在集合圈内，要求学生把这盘桃平均分成3份，在图中表示出1份，并写出相应的分数13。

二、学情分析

一次，旁听一位教师执教《分数的初步认识（二）》第1课时，发现该教师基本按照教材的顺序和思路与学生共同走了一遍，当中既没有看到教师对教材的深度加工，也没有看见学生主体地位的凸显。笔者不禁思考：这样的教学中，学生能否顺利解决练习中的问题？学生有没有体会到平均分的结果可以用分数表示？学生有没有理解这里的分数表示的是所取的份数和平均分的份数之间的关系？于是，我们收集了全班38名学生关于教材“想想做做”第2题中部分练习（见图1）的作答情况。

经过统计发现，第1小题，全班全部做对;第2小题，有20人做对，正确率仅为52.63%，做错的人中有16人的答案是28，2人不会填。这2小题的作答同为本节课学习的内容，为什么会有这么大的差异呢？

通过与学生的访谈和对试题的分析，我们发现：对于“认识一个整体的几分之一”这个内容，当图中一个整体的具体数量和表达关系时的总份数一致时，学生理解起来没有问题;若不一致，学生的认知困难就产生了。

首先，学生的现有经验与知识储备对分数的再学习产生了干扰和负迁移。平均分一个物体，其中的一份不能用整数表示，用分数来表示显得理所当然。当由若干个物体组成的一个整体被平均分后，每一份常常可以用整数表示，此时要求用分数表示，就造成了学生认知上的不平衡，因为他们已习惯于用具体的数量来解决问题。如：把6个苹果平均分成2份，12仅表示其中的1份与整体之间的关系，它与“每份有3个苹果”的已有经验存在较大的认知差异。

其次，学生不能理解分数表示“部分与整体的关系”这一核心含义。学生在认识一个物体的几分之一时，分数作为“量”与“率”的结果是相同的，学生无需对这两种结果加以区分。如：一个桃，平均分成2份，每份是12，这个结果既可以看作每份是这个桃的12，也可以理解为每份有12个桃。学生在这里更愿意把这个结果看作具体的量，而不是看作一个无量纲的分数（即“率”）。在认识一个整体的几分之一时，上述表示关系的分数含义才被真正凸显出来，学生必须重新审视“量”与“率”。

再次，数学学科的高度抽象性要求学生具有发展的眼光、丰富的想象以及高阶思维。于三年级学生而言，由于分的是一些具象物体组成的一个整体，他们总是对每份个数与总个数先入为主，往往忽视所取的份数与平均分的份数的关系。知识的抽象性要求学生能够读懂图中所蕴含的数学语言，具备透过具体现象看到内隐关系的能力。

三、教学过程

那么，如何帮助学生顺利地从“一”走向“多”，建立起“一个整体”的概念呢？怎样帮助学生打通理解“量”与“率”的节点？分数的学习，需要时间的经历和经验的积累，也需要教师引领下的顿悟。基于儿童立场和學科本质，笔者设计并实施了如下教学：

（一）复习引入，探寻知识起点

师同学们，今天我们学习什么内容？

生分数的初步认识（二）。

师分数，我们在上学期就接触过，（出示：把一个桃平均分成2份，每人分得多少？每人分得多少个？）比如这个问题，会解决吗？

生每人分得12，分得12个。

师12和12个不一样，但12和12个都可以表示平均分的结果。你是怎么理解12这个分数的？举例说明。

（学生举例说明自己对分数的理解。）

师把一个物体平均分成2份，每份就是它的12，这是我们上学期学习过的把“一个物体”平均分成2份，每份用分数12来表示。今天，我们继续认识分数。

（二）引导探究，构建知识模型

1.例1“认识一盘桃的12”教学。

（1）表示6个桃的12。

师猴子最喜欢吃桃子。有一天，猴妈妈端来一盘桃，把盘中的6个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？不着急回答，先在脑子里想一想。你能用圆圈代表桃，画图表示出你的想法吗？

（教师出示要求：先画一画，分一分，涂色表示其中的1份。学生操作，教师巡视。反馈时，学生出现三种表达：26、36、12。）

师同一个问题，却出现了不同的答案，你赞同哪个？说说理由。

生用26表示。有6个桃，平均分成2份，所以每只小猴分得这盘桃的26。

生用36表示。把6个桃平均分成2份，每份是3个，所以每只小猴分得36。

生用12表示。把6个桃看作1盘桃，平均分给2只小猴，就是要平均分成2份，每只小猴拿走3個，但这3个桃是2份中的1份，所以用12表示。

师到底是几分之几？联系刚才分一个桃的经验，同学们再回想一下分母和分子的含义。

（学生思考。）

师联系刚才分一个物体，我们知道，分数的分母表示平均分的份数，分子表示其中的一份。这盘桃有6个，在数学上可以圈起来看作“一个整体”，平均分给2只小猴，就是要平均分成2份，每只小猴分得1份，这1份是这个整体的几分之几？另1份呢？这里的分母“2”、分子“1”及12分别表示什么？

（教师课件演示先整体圈起来再分的过程，学生据此完整地说明平均分的过程。）

师（出示表1）为了看得更清楚，我们可以把刚才平均分的过程和结果记录下来。如果你是猴妈妈，你可以怎样告诉小猴平均分的结果？

（2）分别表示4个桃和8个桃的12。

师如果这盘桃有4个、8个，你能像刚才这样画一画、分一分、涂一涂、写一写吗？

（学生独立完成，同桌互相说。反馈时，教师指导学生完整地表达，并形成表2。）

（学生回答。）

师把一个整体平均分，其中的一份，既可以用具体的个数，也就是数量表示;也可以用几分之一这样的分数，也就是用一份与这个整体之间的关系表示。（呈现三盘桃平均分后的示意图，如图2—图4）再次观察平均分的过程以及结果，你有什么发现？同桌交流。

生总数不同，但都是平均分成2份。用分数表示平均分的结果时，无论桃子的总数是多少，我们都可以将它们看作一个整体，平均分成2份，每份就是这个整体的12。

师如果有20个桃，平均分成2份，每份是这盘桃的——

生12。

师如果是100个呢？如果是一筐桃呢？只要怎样，就可以用12表示？

（随着学生的回答，课件隐去盘里的桃子，得到图5。）

师不管这盘桃有多少个，我们都把它们看作“一个整体”来平均分，只要把这些桃平均分成2份，每份就是这个整体的12。

2.例2“认识一盘桃的13”教学。

师刚才，我们都是把这些桃平均分给2只小猴。现在，其中有一只小猴提意见了，说：猴妈妈也应该分桃。把一盘桃平均分成3份，每份是这盘桃的几分之几？你会运用刚才的经验继续分一分、填一填吗？

（学生交流反馈，教师指名学生说明分的过程并解释13表示的意思。）

师为什么不可以填26？

生把6个桃平均分成3份，每份有2个桃，但这2个桃是3份中的1份，所以不用26表示。

师前面我们把6个桃平均分，现在还是把这6个桃平均分，对照这两次分桃的过程，都是6个桃，为什么刚才每份是这盘桃的12，现在却是13？

生前面是平均分成2份，现在是平均分成3份。

师如果平均分成6份，每份是这盘桃的几分之几？

生16。

师（出示图6—图8）你能看着这几幅图说一句话吗？

生把一些桃看作一个整体，平均分成几份，每份就是这个整体的几分之一。

师刚才我们通过分一盘桃，认识了一个整体的12和13。下面，我们自己来创造更多像几分之一这样的分数：请大家完成课本第77页“试一试”。（出示图9）这里有一幅已经画好的图，你知道这里的一份是表示的是几分之一吗？你的好办法是什么？

生只要看平均分的份数就可以了。

师除了平均分成4份，还可以平均分成几份？每份各是它的几分之一？先分一分，再填一填，能想出几个就写几个。

（全班交流，把12个桃平均分，分别得到它的12、13、14、16、112。）

师都是12个桃，表示每一份的分数为什么不同？

（学生讨论。）

（三）巩固练习，深化知识结构

1.完成“想想做做”练习。

（学生完成“想想做做”前2题，互相批改，集体纠错。）

师（出示图10）为什么都填14？涂色的个数为什么不同？（出示图11）都是把8个正方体平均分，为什么表示涂色部分的分数不同？

（学生回答。）

2.链接生活，举例运用。

师刚才我们都是把一些物体看作一个整体，平均分成几份，表示这样的1份，那么，在生活中，你能找到这样的例子吗？

（学生举例。）

（四）全课总结，梳理知识脉络

师通过今天的学习，你能说说为什么这节课要再次认识分数了吗？和之前的认识分数有什么不一样的地方？

（学生回答。）

参考文献：

[1] 王凌.从整数视角到分数视角——“分数的初步认识（二）”的学生错误与教学对策[J].教育研究与评论（课堂观察），2021（1）.