“乘法分配律”教材习题难度比较研究

赵少棠

【摘   要】借鉴顾泠沅等人的研究，建立乘法分配律习题难度的四个水平划分标准。根据这个标准对六个版本教材中“乘法分配律”的习题难度进行比较，发现无论是习题总数量，还是不同水平层次的习题量和所占的比例，不同版本教材之间都有较大差异。由此得到启示与建议：研究习题有必要建立难度划分标准;教材编者要仔细考虑习题的总数量和各水平层次的习题量;教师需要根据教材及学情增减不同层次的习题。

【关键词】教材比较;习题;认知水平;乘法分配律

习题是教材的重要组成部分，它对学生巩固知识、提高能力、提升素养起到很大的作用。乘法分配律是一条重要的运算定律，对于乘法分配律的相关习题，一线教师虽然可以凭经验粗略地判断出它们的难易，但很难对习题做比较精细的难度刻画。通过建立乘法分配律习题难度水平的划分标准，对现行的人教版、北师大版、浙教版、沪教版、西南师大版、青岛版六个版本教材中关于乘法分配律的习题难度进行比较，以期能够更好地分析教材的习题难度并获得启示。

一、“乘法分配律”习题难度的划分标准

我们平时所说的习题的难易是指学生在解题时所反映出的难易程度，解答习题的能力反映了学生的数学认知水平。顾泠沅等提出了四个数学认知水平，分别是水平1：计算——操作性记忆水平;水平2：概念——概念性记忆水平;水平3：领会——说明性理解水平;水平4：分析——探究性理解水平[1]。其中，水平1和2为记忆水平，属于低层次的认知水平。水平3和4为理解水平，属于较高层次的认知水平。本文根据这四个水平的含义，结合“乘法分配律”的有关内容，给出乘法分配律习题难度划分标准如下。

水平1：计算——操作性记忆水平。这是一个起点水平，对应这一水平的习题只要求学生记忆乘法分配律的形式，并能够在具体的数中，在有“帮扶”的情况下进行模仿。它有两种具体的习题形式。

（1）在“形式”上辨认是否属于乘法分配律的等式，判断拆分过程的正确与否。

（2）在有“帮扶”的情况下对“乘法分配律”进行模仿性的应用，也就是能够根据乘法分配律对算式进行简单拆分。这里的“帮扶”主要是指在等式中提供部分数，让学生去完成另一部分，以便构成符合乘法分配律的等式。比如图1中的题目。

水平2：概念——概念性记忆水平。对应这一水平的习题主要指的是能够在没有“帮扶”的情况下，初步应用乘法分配律进行简便计算;能够在有“帮扶”的情况下，將乘法对加法的分配律类比到乘法对减法的分配律并用符号进行表达。它有两种具体的习题形式。

（1）直接应用乘法分配律进行简便计算。这里的直接应用主要是指学生只需要根据题目给定的数，直接应用乘法分配律进行简便计算，不需要先对数进行拆分，再用分配律进行简便计算，后一种经过拆分后的应用可以称为间接应用。比如，直接应用只要求学生“简便计算125×（80+8）”，而不要求学生“简便计算125×88”。

（2）在有“帮扶”的情况下，将乘法对加法的分配律类比到乘法对减法的分配律，并能够运用符号、字母的形式填空。如“填空：（   ）×（85-13）=29×（  ）-29×（  ）”。

水平3：领会——说明性理解水平。对应这一水平的习题指的是能够间接应用乘法分配律进行简便计算，即对题目进行适当的变化以后再运用乘法的分配律进行简算;能够根据应用问题列出算式后，灵活应用乘法分配律进行简便计算。如“用乘法分配律计算103×12或24×205”这样的计算题，或“甲乙两个工程队分别从两端同时开凿一条隧道。甲队每天凿9米，乙队每天凿11米，120天后凿完。求这条隧道的长”。

水平4：分析——探究性理解水平。对应这一水平的习题指的是能够结合图示或其他形式说明乘法对加法的分配律成立;能够运用类比得到“乘法对减法的分配律，除法对加减法的分配律”的形式，并能够运用不同的表征方式说明这些分配律是否成立;能够综合灵活地应用乘法分配律解决问题等。如“结合图（如图2）与同伴说说等式3×6+4×3=（6+4）×3为什么成立” 。

二、六个版本教材习题的难度比较与分析

根据上面建立的关于乘法分配律习题难度水平划分的标准，对现行六个版本的教材习题进行了水平划分与分析。在划分的习题中既包括新课后面的习题，也包括紧跟新课后面练习课的习题，但不包括总复习中的习题。对于一道大题里有几道小题的，按照小题的数量统计。六个版本教材习题难度水平划分见表1。

从上表的统计数据，可以得到以下结论：

1.习题总量差异较大。在六个版本教材中，习题量最多的是青岛版，有30题，几乎是习题量最少的沪教版（16题）的2倍。六个版本教材习题总量统计情况，见图3所示。

编写多少习题能够让学生达到课程标准提出的要求，这是一个非常值得研究的问题。

2.有四个版本的教材没有编写水平4的习题。水平4层次的习题要求学生综合灵活地应用分配律解决问题，对培养创新思维和高阶思维都将起到积极的作用，需要有合适的数量。

3.每一个水平层次的习题量相差较大。只比较各版本教材习题的一个水平，发现习题的数量相差也比较大。比如水平1的习题，从总数量来说，北师大版教材没有水平1的习题;沪教版教材水平1的习题只有2个，最多的是人教版教材，有9个。而水平2的习题，浙教版教材有13个，人教版教材只有4个。各水平层次的习题数量情况，见图4所示。

每一个层次的习题各编写多少合适，同样需要研究。

4.同一个层次的习题数量占习题总数量的百分比差异较大。某一个层次的习题数量占这套教材的习题总数量有一个百分比，各套教材之间这个百分比差异较大。比如，就水平1来说，人教版教材水平1的习题量占总数量的33.3%，而沪教版教材只占12.5%，两者相差20.8%。就水平2来说，人教版教材的习题量占总数量的14.8%，沪教版教材却占了56.3%，两者相差41.5%。这说明各套教材的编者对于“某一个水平层次的习题应该占总数量的百分之几”，在认识上存在着较大的差异。下面两个扇形统计图（如图5），反映了人教版教材和北师大版教材每一个水平层次的习题数量占总数量的比例关系，可以比较清晰地看出两个版本教材每一个水平层次习题占比的相差情况。

三、启示与建议

通过以上水平层次划分标准的建立和各版本教材不同水平层次习题数量的统计和分析，得到以下启示与建议。

（一）有必要建立难度划分标准

对于教龄较长、经验相对丰富的教师来讲，对习题的难易可以凭经验进行判断，也能说出哪一个习题对学生来说比较难，哪一个比较容易。但在对习题的难度建立划分标准时，仅凭经验就不够了，需要更理性的思考和判断，需要学习类似顾泠沅等人研究的认知水平理论或SOLO分类评价理论。经过理性的思考，建立划分难度的标准以后，教师可以从模糊地凭经验进行判断上升到理性地依据标准进行判断。这个过程很有必要，它可以提升一线教师的经验和理论水平，以便更好地为学生的学习服务。

（二）教材编者要考虑习题的总量和不同水平层次的习题量

通过上面的比较可知，六个版本的教材中，有的缺乏水平1的习题，有的缺乏水平4的习题，同一套教材中也有各个水平层次习题数量差距较大的情况。为了更好地编写教材，编者应该仔细考虑习题的水平层次，尽量做到每个水平层次的习题都有所涉及，并且有一个合适的比例。结合实践发现，四个层次的比例分别为30%，30%，25%，15%或许是比较合适的。

（三）教师需要根据教材及学情增减不同层次的习题

一線教师在使用教材教学时，需要有“习题的水平层次”的意识，并且有能力区分出教材中不同习题的水平层次，再结合所教学生的实际情况，对教材中的习题进行处理，可以增加或减少不同层次的习题。从上面的比较中可知，多数版本的教材没有水平4层次的习题，而对于部分数学素养比较好的学生来说，这一层次的习题不可或缺。为了更好地促进这部分学生的发展，教师需要增加水平4层次的习题。

参考文献：

[1]杨玉东，贺真真.数学教学改革三十年：现实与实现：来自“青浦实验的新世纪行动”[J].上海教育科研，2007（12）.

（广东省深圳市宝安区建安小学   518133）