例说定点与定直线的最短路径问题解决策略

魏春玮

最短路径问题是初中数学中非常重要的知识，很多同学们在学习和应用时经常会遇到困难。求定点与定直线的最短路径，主要是利用两点之间线段最短，轴对称的性质等知识来解决，特别是要用轴对称进行转换。这里充分体现了数学建模、几何直观、逻辑推理等数学核心素养的考察。我们知道，“一个图形沿一条直线折叠，它能够与另一个图形重叠，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点;对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，即对称点到对称轴上的任意一点距离都相等。”这是解决这类最短路径问题的关键。下面分别对几种定点与定直线的最短路径问题进行举例说明。

一、两定点与一条定直线中的最短路径

例1.如图1，已知直径a和直线a外两A、B，A、B在直线a两侧，在直线a上求作一点P，使PA +PB最短。

分析：两定点A、B在直线a两侧，过两定点A、B的直线一定与直线a相交，根据两点之间线段最短，知交点到两定点A、B的距离的和最短。

作法：连接A，B交直线L于点P，则点P就是要求作的点。

例2.要在河边修一个水泵站，分别向在河同一侧的张村和李庄送水，水泵站修在河边的什么地方，可使所用的水管最短？并说明理由。

已知：在直线a及其同侧的两点A、B，求作点C，使点C在直线a上，并且AC +BC最短。

分析：A、B两点在直线a同侧，能不能把它转换成例1的问题来解决呢？我们知道对称点到对称轴上的任意一点距离都相等，作点A关于直线a的对称点A'，即将点A转移到直线a的另一侧A'点，并不影响它到直线A上的任意一点距离。因此，作点A关于直线a的地称点A'，就把A、B两点转换成在直线a两侧的两点A'、B，变成例1问题就解决了。

作法：①作点A关于直线a的对称点A'，

②连接A'B交直线a于点C，则点C为求作的点。

理由：在直线a上另外任取一点C'，连接AC、AC'、A'C'、BC'

直线a是线段AA'的对称轴，点C和C'在直线a上

AC=A'C，AC'=A'C'（线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）。

在 BA'C'中，A'B

所以AC +BC

即AC +BC最短。

二、两定点与两条定直线的最短路径

例3.如图3，已知点A、B和相交直线m、n，分别在直线m、n上各取一点C和D，使AC +CD +DA最短。

作法：连接AB交直线m于点C，交直线n于点D，则点C和D就是要求作的点。

例4.如图4，A为马厩、B为帐篷，牧马人有某一天要从马厩牵出马，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，试确定这一天的最短路线。

已知：如图5，点A、B在两直线EF和MN相交所成的四个角中的一个角的内部，

求作：在直线MN和EF上长各找一点C和D，使得AC +CD+DB最短。

分析：A、B两点在直线a同侧，能不能把它转换成例1的问题来解决呢？作点A关于直线MN的对称点A'，作点B关于直线EF的对称点B'，就变成例3的问题了。

作法：①作点A关于直线MN的对称点A'，

②作点B关于直线EF的对称点B'，

③连接A'B'分别交直线MN和EF于点C和D，

④连接AC、BD，则C、D为所求作的点。

三、一定点与两定直线的最短路径

例5.如图6， P是锐角 AOB内的一点，在 AOB的两边分别找点M、N使得PM +MN +PN最短。

分析：若把P看成是两个重合的点，就是例4的特殊情况，用例4的方法就解决了。

作法：①作点P关于直线OA的對称点 ，

②作点P关于直线OB的对称点 ，

③连接  交OA于点M，交OB于点N，则点M、N为所求。

证明：连接PM、PN，在边OA上任取一点E，在边OB上任取一点F，连接PE、PF、EF、E 、F

与P关于OA成轴对称，  与P关于OB成轴对称，

OA是 P的垂直平分线，OB是 P的垂直平分线。

M =MP，E =EP，N =NP，F =FP，

PM +MN +NP = M +MN + N =  ，

PE +EF +FP =E +EF +F >  ，

PM +MN +NP

即PM +MN +NP最短。

由上可见，最短路径的确定，主要是把几个路径不在同一直线上的问题，通过轴对称的性质转变成在同一条直线上问题来解决，把较复杂的问题转化成较简单的问题来解决，使同学们的化归思维能力得到一定锻炼。

解决上述问题学生经历了从“觉悟”与“实践”的过程。通过合理设计揭示了形与数的内在联系，发挥数学建模思想在解决实际问题中重要作用，同时学会勤于思索、善于挖掘、勇于探索的学习方法，发展了创新能力。