基于有向图和故障树的城市轨道交通故障延误传播机理的研究

万苏 丁小兵 刘志钢 杨恺鹤 陈家萍

摘 要： 城市轨道交通系统站点之间相互影响，若列车在某一站点产生初始延误，该延误的影响会向周边列车或站点传递，产生严重后果。本文首先基于图论理论，建立站点分层重构的有向图延误模型，综合考虑了节点的连通作用，对节点的重要度排序，然后结合故障树分析法对发生故障的节点深入分析，找出导致列车发生故障的底事件，从而更加高效地处理故障。该方法不仅可以迅速辨识故障发生的原因，还准确预测了故障消散的节点和故障消散所需的时间，从而对城市轨道交通故障延误网络化传播机理的研究，合理组织列车运行调整，尽快恢复列车正点运营，保障交通服务水平，有著重大的意义。

关键词： 有向图; 故障树; 分层重构; warshall算法; 延误传播机理

文章编号： 2095-2163（2021）03-0026-07 中图分类号：TN929.5 文献标志码：A

【Abstract】The stations of urban rail transit system interact with each other. If the train causes initial delay at a certain station， the impact of the delay will be transmitted to the surrounding trains or stations， resulting in serious consequences. In this paper， based on graph theory， a directed graph delay model of station hierarchical reconstruction is established， which comprehensively considers the connectivity of nodes and the importance of nodes. Then， combined with the fault tree analysis method， the fault nodes are deeply analyzed to find out the bottom events that lead to train failure， so as to deal with the fault more efficiently. This method can not only quickly identify the cause of the fault， but also accurately predict the node of fault dissipation and the time required for fault dissipation. Therefore， it is of great significance to study the network propagation mechanism of urban rail transit fault delay， reasonably organize the train operation adjustment， restore the train operation on schedule as soon as possible， and ensure the traffic service level.

【Key words】 directed graph; fault tree; hierarchical reconstruction; warshall algorithm; delay propagation mechanism

0 引 言

轨道交通系统站点间互相影响，相互制约。城市轨道交通列车初始延误具有随机性和传播性，若列车发生故障引发严重的初始延误，延误的影响就会在城市轨道交通系统内传播。城市轨道交通站点存在距离短、列车运行时间短、相邻站点直接影响等特点，单个站点的延误影响会向周边列车或站点传递，而换乘站会让延误传播的影响网络化。研究列车延误传播机理，就是要结合列车延误产生的原因和列车延误在城市轨道交通网络的传播链进行分析。

列车运行延误的原因多种多样。徐瑞华等人[1]和江志彬等人[2]通过对列车运行延误仿真后得出列车运行延误及其传播主要与能力利用率、缓冲时间、备车数量以及辅助线数量等因素有关，但是对运行中的列车的各项设备的可靠性把握不足。解熙等人[3]在对列车延误事件进行分类的基础上，分析了引发延误的因素，建立了一套列车延误事件统计指标，并给出了指标的计算方法，但该方法还停留在理论研究阶段。马兴峰[4]研究发现列车车辆和通信信号故障造成了71% 的初始延误，并且建立了单一线路延误传播的递推和排队模型，但暂未考虑延误在城市轨道交通网络上的延误传播机理。在此基础上，乔珂等人[5]在总结单线情况下、共线运营条件下以及网络化条件下列车运行延误传播的规律，发现列车运行延误的发生是随机的且研究的重点是连带延误。陈菁菁[6]建立了城市轨道交通延误网络传播的 SIR模型，指出网络中换乘站数量越多，延误扩散的影响就越大。张铭[7]建立了换乘站衔接方案的微观模型，分析列车衔接延误后发现若因延误导致站间衔接被破坏，其主衔接线路上该方向的其他换乘节点的衔接都将受到影响。

以上学者对单线情况下的列车运行延误传播机理的研究已经较为成熟，但对网络化的延误传播机理的研究还比较薄弱。研究城市轨道交通故障延误网络化传播机理，对建立合适的优化模型，合理组织列车运行调整，尽快恢复列车正点运营，保障乘客服务水平，有着重大的意义。

1 城市轨道交通故障延误传播机理

1.1 构建城市轨道延误传播有向图模型

城市轨道交通发生故障延误是指轨道交通正常运营时因设备发生故障，影响列车运营秩序，造成列车产生延误的事件。受列车最小行车间隔、列车最大运营速度等因素的限制，初始延误的影响会向周边列车或站点传播。

基于图论理论，有向图模型适用于复杂的城市轨道交通系统。本文通过研究城市轨道交通系统在某站点发生故障产生的延误，进而分析初始延误影响的传播机理。为简化模型本文做出如下假设：

（1）仅在站点发生故障。

（2）仅考虑因故障产生的延误，不考虑人为破坏、不可抗力等其他原因引起的延误。

（3）列车在站点之间匀速行驶。

研究可得，建立城市轨道故障延误传播有向图的步骤可阐释分述如下。

Step 1 分析城市轨道交通网络，建立城市轨道交通系统的有向图模型，给模型赋予边权。

Step 2 对有向图进行等效分层重构。

Step 3 对分层重构后的有向图节点重新排列，获取故障延误传播路径矩阵G。

Step 4 分析站点的关键度和线路的重要度，按照对延误传播的影响由大到小对路线排序。

首先，针对城市轨道交通系统网络建立城市轨道交通系统有向图模型。令：

其中，S表示城市轨道交通系统。

系统S包含3种站点：发生站、传递站和结束站。城市轨道交通延误传播系统如图1所示。图1中，发生站是导致延误的影响由近及远向周边网络扩散的源点。传递站是传递延误影响的站点，包括换乘站和中间站。换乘站的作用是衔接多条线路，在延误影响的传播过程中，换乘站会让延误的影响网络化传播，延误的影响会向多条线路扩散，严重情况下可能影响局部或整个路网。中间站连通度不如换乘站高，仅能满足乘客通过、到发需求，能线性化传播延误的影响。结束站是延误影响消散的站点、确定延误传播有向图的终点、即结束站是研究的重点。

以图2故障延误传播有向图模型为例，节点1～6表示站点1～6。站点集合X为：

延误从发生站1开始，经过换乘站点2，将延误的影响向周围传递。按照运行路径，站点1的延误影响向站点2传播，若延误在站点2未完全消散，则站点2会产生连带延误，延误影响的播路径为：

给故障延误传播有向图模型赋边权，确定边权Y的指标。详述如下。

（1）节点重要度。设网络中有N个节点，节点i的度能体现节点i与其他节点直接联系的能力，其对应的数学公式可写为：

研究可知，特征向量中各个分值代表相应节点的重要度，分值越大表示节点越重要。

（2）线路占用率。线路占用率是2个直接相连的节点间线路长度与该节点所在线路总长度的比值，线路占用率为：

直接连接的两相邻节点的边权通过式（7）计算：

则初始延误时间为：

故站点i发生故障延误传播后，相邻站点j受影响后产生的延误时间为：

列车运行过程中延误的时间影响会在缓冲时间叠加后消散，故障延误产生的时间影响抵消公式为：

分层有向图可以直观地显示系统的故障延误传播路径，便于找出可能的故障源候选节点，无须考虑全面的有向图内故障节点集的产生、筛选以及排序等诊断算法存在的问题，大大减少工作量。图2分层重构后的有向图模型如图3所示。

1.2 故障树分析法求故障延误影响度

有向图可以显示站点间的关联，但不能显示站点产生故障的原因，因此还需要对站点单个研究。视城市轨道交通系统为网络，视站点为节点，对故障节点用故障树分析法进行分析。故障树分析法的关键是构建故障树，这里对过程步骤将给出如下的分析论述。

Step 1 确定故障树顶事件，顶事件是所有已经发生事件联合作用的结果。本文顶事件是列车在站点发生故障延误。

Step 2 建立站点故障树。在故障树中，底事件是导致故障树顶事件发生的最小单元。中间事件处于顶事件和底事件之间，构建故障树的关键就是完整列出所有中间事件。

Step 3 定性分析，找出引起顶事件发生的所有事件及其组合。从系统顶端出发，自上而下逐级筛查，直到所有底事件都被找出，得到的底事件的集合定义为故障树割集。最小割集是指在割集中含有的底层事件中去掉任何一个时，就不再为系统的割集了。一个最小割集代表系统的一种故障模式。系统的各组成部分本身具有复杂性，所以最小割集可能有多个。

Step 4 定量分析，计算可靠性指标。

故障传播有向图中引入故障树分析法对节点的故障因素建立故障树，经过布尔代数化简，求出最小割集，找出导致节点故障的基础因素。所建故障樹模型如图4所示，导致站点发生故障造成列车延误的底事件有23个。故障树底事件的标号和描述则见表1。

1.3 树图结合分析故障传播机理

故障传播有向图能直观展示节点之间故障传播关系，故障树分析法能清晰显示故障节点发生故障的原因，将2种理论有机地结合起来可以系统地对延误传播机理进行分析。先建立节点故障树，得出节点发生故障的因素以及发生条件后将故障树与分层有向图结合，得出的模型如图5所示。

根据有向图，可知站点4处发生故障延误，对节点4建立故障树并进行事故树布尔逻辑计算，发生故障延误的最小割集见表2。

因此站点4处发生故障延误的底事件有4种：（X1，X3），（X2，X4），（X1，X5，X6），（X2，X7，X8）。节点4发生的延误只对节点3有直接影响，列车在站点4发生故障延误，该延误通过故障传播有向图传递至站点3。将边权代入该树图模型即可求解站点3受到影响的程度延误消散时间。

2 算例分析

以上海市局部轨道交通网络为算例，对上海市轨道交通系统某一站点发生故障产生延误的传播机理进行分析。

2.1 构建故障延误传播有向图

以上海市轨道交通系统局部网络的7个站点为例构建城市轨道交通系统的故障传播有向图，详见图6。图6中各节点重要度的值见表3。

由表3可知，节点3的重要度最大，即站点3对周边车站的影响最大，需要先对站点3进行处理，才可缓解延误在该网络中的影响。

设图6有向图模型直接相连节点之间的距离都是1，则线网中总距离为9。计算图6中各边权的值，可得图6城市轨道站点间故障传播有向图的边权矩阵为：

2.2 分层重构

对有向图进行分层重构。整个研究过程可做解析阐述如下。

（1）建立该网络中故障延误传播有向图的邻接矩阵为：

（2）邻接矩阵P并上单位矩阵后，利用warshall算法运算得出该故障传播有向图的可达矩阵R。则新矩阵为：

根据warshall算法，对矩阵S进行转换。

（3）将可达矩阵R经转置后得先行矩阵A，即：

（4）根据矩阵R和A求解图中各节点的可达集Ri与先行集Ai，结果见表4。

节点5和节点7的交集等于先行集，所以节点5和节点7是分层有向图中最高层节点。

（5）去除最高层节点及与之相连的边。去除最高点及相连的边后的故障传播有向图见图7。

（6）新故障传播有向图的邻接矩阵。具体如下：

（7）新可达矩阵。具体如下：

（8）新先行矩阵。具体如下：

（9）图7各节点的可达集、先行集和交集。见表5。

节点1、2、3、4、6的交集等于先行集，故节点1、2、3、4、6为第二层节点。

（10）构建城市轨道交通系统分层有向图。研究后得到的城市轨道交通运营系统分层有向图见图8。

矩阵Y中，除对角线外最大元素的值是0.432 0，是节点3和5之间的边权，不妨称之为边35，即发生故障延误传播时，边35在网络中的传播速度最快。其次，是边23。网络中线路5-4-3-1-2所占的总边权值最大，再次为线路1-2-3-4。线路5-4-3-1-2和线路1-2-3-4的交集为1，2，3，4，因此若这4个站点中的任何一个发生故障，则需按重要程度和影响程度先对线路5-4-3-1-2优先调度。

设站点5发生延误，分析站点5的初始延误的传播机理。不同的地区的缓冲时间不同，例如香港规定列车运行情况下站点停留超过8 min算延误，而国内不少城市规定在5 min算延误。本文取缓冲时间平均值6.5 min。根据郑洋[8]调查发现，大约有77.5%的地铁运营故障处理时间集中在8～15 min，本文取平均值11.5 min作为站内发现到解决故障的时间，由此计算出站点平均初始延误是5 min。

根据式（10），求出在站点4、3、1、2的连带延误时间，即：

结果表明即使没有重新优化调度，延误的时间影响到达站点1时已基本消失。若经过优化调度使列车到达该站点后提前0.5 min开离，即t'bi=0.5，对线路上站点4、3、1、2进行重新优化调度，根据式（11），可求解出n=1，即认为进行干预重新调度后，站点5发生的故障延误时间影响可以在站点4完全消除，延误的影响范围缩小。

2.3 树图结合分析

城市轨道交通故障延误传播树图结合分析示意如图9所示。结合图9可以得知，导致站点5发生故障列车延误的底事件有19个，在底事件仅发生一件或同时发生的情况下，列车在站点5会发生初始故障延误，且影响最大的延误传播路径为线路5-4-3-1-2。故障发生后需优先对19个底事件排查。经过干预重新调度后延误的影响会在站点4消散。

3 结束语

本文基于图论理论构建了城市轨道交通网络有向图模型，在此基础上对有向图模型分层重构，然后结合故障树理论建立了树图结合模型，由点到线到面深入探讨了城市轨道交通站点发生故障的原因及发生故障后产生的延误对城市轨道交通系统网络的影响，并且以上海市轨道交通系统局部网络为算例，建立了城市轨道交通系统的局部树图结合模型，分析了站点4发生故障产生延误后对该局部网络的故障传播机理，该方法不仅清晰地显示出故障延误传播路径和消散时间，还便于排查故障站点发生故障的原因，从而证明了本方法应用于城市轨道交通故障延误传播机理的研究是有效的。

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