大概念统摄实现多维理解

方苏云

数学大概念指向数学知识体系的内核，能反映数学本质，它可以是一个单元的核心内容，也可以是跨单元、跨年级的能将数学关键思想和相关内容联系起来的关键“锚点”。在“运算定律”单元教学所有新课结束后，笔者设置了一节拓展课——以“乘法意义”即“几个几”这一大概念统摄“乘法分配律”的内涵。

一、关联先前学习，重“立”本质意义

数学活动可以看作经验活动，学生在数学活动中的核心是如何改造经验，教师要利用学生已有经验帮助他们主动建构起数学学习的直觉及知识对应的数学模型，运用数学的思维方式进行学习。在“乘法分配律再认识”教学中，笔者充分关联先前学习中的直观材料，组织学生在寻找乘法分配律的过程中重“立”其本质意义——“乘法意义”的理解。

【片段1】

呈现一组材料：（1）一年级减法口算，3-2=1，30-20=10，3个十减2个十就是1个十，是10。（2）二年级乘法口诀，6×7=？可以先算5个6是30，再算2个6是12，合起来是42。（3）三年级乘法口算，12×3=？可以先算10×3=30，再算2×3=6，30+6=36。（4）三年级长方形周长计算，6×2+4×2=20，还可以（6+4）×2=20。（5）四年级行程问题，两只小乌龟赛跑，同时同向并排起跑，甲乌龟每分钟爬25米，乙乌龟每分钟爬35米，5分钟后两只乌龟相距多少米？

问题1：在之前的数学学习中你能找到乘法分配律吗？一眼就看到了哪个？学生口答，教师板书算式，并要求说出其所表示的意义。问题2：其他几个材料中也能找到乘法分配律吗？问题3：请按一定的标准将材料中五个乘法分配律算式分分类。

这一组学习材料，就是教材安排的乘法分配律的雏形，我们把它称为先前学习材料。重新利用这组直观又简单的材料来重现“找乘法分配律”的过程，不仅充分利用素材对学生的“亲和力”，有助于唤醒学生经验，更实现了“旧知新探寻”的关联效果。在分类过程中，学生出现两种不同分法：第一种按“加、减”分成“几个几+几个几”一类，“几个几-几个几”为另一类;第二种按“分、合”分成“一个数拆成两个数”即“几个几=几个几±几个几”一类，另一类为“两个数合成一个数”即“几个几±几个几=几个几”，本质上就是乘法分配律“顺”与“逆”的关系。在分类过程中，学生从“乘加、乘减”，以及“互逆”等角度立体化地理解乘法分配律的本质——不管怎么变化，等号左右两边始终保持“几个几”相等。通过层层设问、追问、交流，促使学生思维向纵深拓展。

二、关注简算状况，再“悟”模型结构

我们在帮助学生寻找新旧知识之间的本质与共性，经历建立结构联系的数学学习后，更重要的是通过学习活动培养学生学会思考，尤其在审辩中学会逻辑思考，培养创造性思维，成为善于认识问题、解决问题的人。在关联先前学习的基础上，过渡到当下学习，紧扣四年级乘法分配律简算错例，加强对算式中“几个几”的辨析，再“悟”乘法分配律模型结构。

【片段2】

呈现学生简算错例：

（1）103×12=（103-3）×12……？摇？摇？摇（2）45×99+45=（45+45）×99……？摇？摇？摇（3）25×（8+4）=25×8×4……？摇？摇？摇（4）39×8+6×39-39×4=312+234-158……

问题1：乘法分配律用错在哪里？请找到错的那一步画出来，并订正。组织学生独立完成，展示学生订正情况。追问：你能用“几个几”来说明吗？问题2：25×（8+4）表示12个25，写成25×12，除了把12拆成“8+4”，想成25×4+25×8，还可以怎么拆12？问题3：从错例4中我们可以看到乘法分配律除了两个积加、减，也可以三个积加、减，甚至多个积，对吗？

上述学习材料来自学生当下学习乘法分配律简算中的错题，对错题的思考辨析可以说比单纯的“练”更有价值，在思辨中再次聚焦“意义层面”——对“几个几”保持相等的理解，避免出现低水平层次的技能训练。如在25×（8+4）的辨析中可以进一步跟进乘法分配律与乘法结合律的对比，25×8×4表示32个25，25×4×3表示12个25，哪个可以与原题保持“几个几”相等？在这种具有一定思考力的对比问题中强化学生理解的深度与宽度。又如辨析“39×8+6×39-39×4”自然拓展到“幾个数加减混合与一个数相乘”的结构，加深“多个数分配”维度的理解。整个学习过程让学生又一次经历了分析、比较、反思，又一次积累数学活动经验，发展数学思考力，让学生在辨析、交流中不断地建立起从乘法意义层面对乘法分配律的理解，再“悟”其模型结构。

三、再看知识迁移，又“意”内涵特征

运算律在小数、分数中同样适用，如何把乘法分配律巧妙地从整数迁移到小数、分数的应用中呢？笔者继续紧扣“几个几”，直接在本节课将乘法分配律植入小数、分数计算，在运用拓展中再次引导学生从“乘法意义”层面理解乘法分配律的内涵。

【片段3】

呈现：能想办法计算下面两题吗？

问题：我们只要抓住“几个几”就可以用乘法分配律来计算还没学过的小数乘法、分数乘法，信不信？学生尝试计算，在组内分享计算方法，并作全班交流。追问：你是怎么想的？最后用动态线段图演示帮助学生加深理解分数乘法。

在上述学习过程中，可以看见乘法分配律的后续迁移——小数、分数乘法。也许正因为还没有掌握小数、分数乘法的计算方法，在四年级学习中提早切入，

（作者单位：浙江省杭州市富阳区教育发展研究中心 本专辑责任编辑：王彬）

信息

本文系2020年杭州市基教教研立项课题“大概念统摄下小学数学单元教学关联反刍与重组的研究”（编号：L2020211）的研究成果。