联合高度角与信噪比的精化随机模型及其对高纬度精密单点定位的影响

吕明慧，李薇，张宝成，柴艳菊

(1.中国科学院精密测量科学与技术创新研究院，武汉 430071；2.中国科学院大学，北京 100049)

0 引 言

精密单点定位(PPP)是指利用接收机获取卫星到地面观测点的伪距和载波相位信息，结合事后高精度的轨道和钟差产品，利用函数模型和其他误差改正模型来削弱卫星端、接收机端以及传播路径上的误差影响，实现高精度定位定轨的方法[1-3].

全球卫星导航系统(GNSS)单点定位模型包括函数模型和随机模型.函数模型保证了定位过程中各数据参量之间相互关系的准确性，随机模型则描述了观测量的先验统计特性.现有的随机模型有等权模型、高度角模型以及信噪比(SNR)模型等，很多学者针对这几种模型的适用条件以及各模型之间的精度比较做了细致地研究[4-5].针对PPP 中不同观测条件等因素的影响，现已存在一些相应的研究，以上述传统随机模型为基础发展了新的方法.王郁茗等[6]针对海面GNSS 观测中多路径误差对定位精度存在严重影响的情况，将海面反射对卫星信号传播路径的影响考虑进去，结合高度角模型提出了一种自适应选权随机模型.潘宇明等[7]认为观测值的噪声无法准确地用一个特定的经验模型来描述，因此利用滤波中的宽窄巷组合观测值实时地估计卫星观测值的噪声，从而得到自适应伪距-相位比随机模型.对流层残余延迟在PPP 解算过程中为未建模误差，有学者利用卫星高度角与大气延迟残留误差强相关的特性，提出了一种基于天顶映射函数的随机模型，用于降低残余误差较大的卫星观测值的权重.利用该模型验证了低、中、高纬度地区的测站，结果表明天顶映射函数相关的随机模型在高纬度地区的精度改善效果最好[8].上述大部分研究都是针对某一特殊需求对传统随机模型做出改进，但以精化随机模型来整体地提高定位精度尚没有太多研究.本文利用主成分分析法(PCA)确定高度角和SNR 在GNSS 观测噪声中的贡献建立精化随机模型，实现了在不增加PPP 基本计算量的同时提高定位精度，并通过实际算例验证和分析该精化随机模型在高纬度地区实施PPP 的效果.

1 单点定位模型

1.1 单点定位函数模型

在GNSS 观测中，函数模型由单点定位的基本原理确定，描述了已知量与未知参数之间的关系，利用卫星位置作为已知点位，通过空间距离后方交会确定地面观测点的位置.

忽略某些误差的影响后，某一历元的基本观测方程[9]为

各观测量和已知量之间的函数关系已确定，但该函数模型是在各观测值同精度的情况下建立的，实际观测中由于各种因素的影响会使得最小二乘计算结果产生较大偏差，随机误差增大，因此针对复杂的观测环境建立精化随机模型以提高定位结果的精度是非常有必要的.

1.2 单点定位随机模型

1.2.1 高度角模型

单点定位中的随机模型通过某一评价指标描述GNSS 卫星观测值的统计特性.高度角模型以卫星高度角为变化量反映卫星观测数据的质量，研究表明：卫星高度角越高，观测数据的质量越好，定位结果的精度越高[10].但有学者认为高度角模型中包含多路径误差，对定位精度产生了不好的影响[6].卫星高度角模型[8,11]一般表示为

式中：σ2为各卫星观测值的方差；为参考方差；α 为卫星高度角.本文将利用该高度角模型进行精化随机模型的构建.

范士杰等[12]认为低高度角卫星观测值中包含了更多的大气信息，利用这些大气信息有助于得到更高精度的对流层天顶延迟(ZTD)，从而建立了以余弦函数为基础的随机模型

经国内外学者研究证明，该随机模型的ZTD 与国际GNSS 服务(IGS)产品相差2 mm 左右，优于其他随机模型[13].低高度角卫星观测值被赋予较大权重时，多路径误差的影响也随之增大，因此该模型只适用于单独研究ZTD 误差.

1.2.2 SNR 模型

GNSS 观测噪声对数据质量有很大影响，SNR 是指观测过程中接收到的有效信息与噪声信息的比值，SNR 越大说明数据质量越好，因此可以利用SNR 反映观测数据的质量.Brunner 建立了一种利用SNR 表示载波相位中误差的随机模型[14-15]

式中：Ci为一个常数，在利用L1载波的SNR 计算时，取C1=0.002 24 m2Hz，利用L2载波的SNR 进行计算时，取C2=0.000 77 m2Hz.C为载波的能量密度，N0为噪声的能量密度，C/N0即为SNR.

2 引入PCA 的高度角-SNR 随机模型

基于对上述随机模型的研究，仅顾及高度角或SNR 的传统随机模型无法满足现阶段高精度定位的需求，且不同的随机模型对于某些误差有很好地削弱效果，但总体定位精度仍然有待提高.戴吾蛟等[4]的研究表明：高度角模型在处理对流层残余误差方面的效果较好，针对卫星信号传输过程中引起的衍射误差的削弱效果则不如SNR 模型，因为高度角值较大的卫星发生衍射后仍被赋予较高的权重，使得定位结果坐标序列的平滑性不如SNR 模型，因此建立一种综合考虑对流层残余误差、衍射误差和其他误差影响的精化随机模型是非常有必要的.已有研究表明高度角与SNR 之间呈正相关关系[16]，但并不是简单的线性关系.PCA 主要用于将一组可能存在相关性的变量通过正交变换转换成一组新的线性不相关的变量，转换后的变量被称为主成分[17].接下来将利用PCA对高度角和SNR 进行数学建模，确定它们在精化随机模型中的信息贡献率.

2.1 PCA

PCA[18]方法最早是由Fukunaga 给出了详细介绍，主要思想是利用降维的方法在损失很少原始信息的前提下把多个指标转化为几个不相关的综合指标，即每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能.

2.2 高度角-SNR 随机模型

已有研究表明卫星高度角与SNR 之间存在相关性且并非简单的线性关系，而衍射误差和对流层误差在PPP 的过程中是不可被忽略的，对高度角和SNR进行主成分分析，新的主成分之间并不存在相关性，这一点有利于随机模型中方差协方差阵的计算，并且所得到的主成分可以基本保留原数据的全部信息，不会出现正交化或降维后的信息损失，因此该方法满足PPP 对随机模型的需求.

基于PCA 确定GNSS 观测噪声中高度角和SNR的贡献时，首先要得到新的主成分，从而确定权重，处理策略为：将卫星高度角 α 和SNRS组合成矩阵X，此处的S指GPS 卫星信号中L1载波的SNR 数据，其他载波相应的精化随机模型可依此类推.指标因子的个数为p，此模型中p=2，分别是高度角和SNR 因子，设第j个指标因子的数据有n个，n为卫星的数量.则矩阵X的表达式为

对矩阵X标准化，将其从一个变量转化为无量纲的纯数字，以便处理量级和单位不同的指标，从而进行主成分分析.若两种评价指标的数值不在一个数量级上，则标准化步骤必不可少.对数据进行0～1 标准化处理得到：

式中，y1、y2分别为第一主成分和第二主成分.理论上选取能够将原信息表达出85%的主成分即可，以便于更好地达到降维的目的.对于高度角-SNR 精化模型来说，该模型的原变量只有高度角和SNR，能够提取出的主成分有两个，并没有降维方面的需求，为了能更好地表达随机模型对观测数据质量的先验统计信息，将两个主成分全部纳入到随机模型中，可得

权重可以看作是原指标在各个主成分中对应的方差贡献率，因此求得各主成分中不同指标对应线性组合的系数，而后进行归一化处理即可得到指标权重.

式中，bj为第j主成分的信息贡献率.主成分表达式由原指标的线性组合形式给出，根据线性组合系数可求得原指标占该主成分的信息贡献率为

式中，Bα、BS分别为高度角和SNR 在精化随机模型中的权重.为保证精化随机模型不受单位的限制，将高度角和SNR 数据进行0～1 标准化，按比例进行缩放使其处在一个特定的区间以去除量纲的限制.设分别为归一化处理后的高度角与SNR 在GNSS 观测噪声中的权重，包含了SNR 和高度角模型0～1 标准化的数学信息.综合考虑高度角与SNR对GNSS 观测数据质量的影响所得到的方差为

将方差乘以参考方差即为PPP 函数模型的权阵.为方便叙述，下文将此引入PCA 的高度角-SNR 精化随机模型简称为精化随机模型.

对GNSS 观测值中高度角和信噪比进行相关性分析得出：其相关性因子为0.9，在统计学中一般认为相关性因子大于0.7 时，数据之间存在相关性，因此高度角与信噪比强相关.利用主成分分析法确定了GNSS 观测噪声中高度角与信噪比的贡献率分别为29.3%和70.7%，可以表达出累计信息量的100%.同时还利用熵权法对数据进行处理，高度角的信息熵为0.98，相应信息效用值为0.020 1；而信噪比的信息熵为0.99，信息效用值为0.008 3，因而熵权法确定高度角与信噪比的权重分别为：70%与30%.经数据验证发现其精度不及主成分分析法确定的随机模型高，特别是在高程方向，误差增加约5%～10%.

3 实验与分析

在全球范围内均匀选取2019 年2 月19 日8 个IGS 站实施PPP，比较精化随机模型和仅顾及高度角或SNR 的传统随机模型的三维点位精度，相关解算策略如表1 所示.IGS 测站信息及其解算精度统计结果如表2 所示，可以发现精化随机模型对于高纬度地区定位精度的改善最为明显.初步分析由于地理位置的影响，中低纬度地区对流层延迟的未建模误差较大，高度角模型对于对流层延迟未建模误差的削弱效果较好，而SNR 模型在解决由于传输路径引起的衍射误差影响的方面更有优势.精化随机模型中高度角的权重要小于SNR，因此对于中低纬度地区的定位精度的改善效果相对较差.从实验结果来看也验证了这一设想，在中低纬度地区实施PPP，高度角模型效果好于SNR 模型，且精化随机模型定位精度较差的测站其ZTD 的精度也比较低.

表1 PPP 相关解算策略

表2 均匀选取2019 年2 月19 日8 个IGS 测站信息及分析结果

为了进一步验证这一想法，重新选取了高纬度地区6 个测站14 天的数据，南极和北极各3 个IGS站，其中THU2 测站由于数据缺失选取了其他时段，时长仍为14 天，测站信息如表3 所示.

表3 高纬度IGS 测站信息

为比较不同随机模型对高纬度地区PPP 的效果，图1 给出6 个测站14 天的坐标均方根(RMS).

图1 6 个测站的三种随机模型定位结果在不同方向上的比较

从图1 可以看出，精化随机模型在天(U)方向上精度提高较大，在北(N)、东(E)方向上与只顾及高度角或SNR 的传统随机模型差别不大.PPP 平面位置精度可以达到mm 级，高程定位精度约为平面的1/3，因此U 方向是提高整体定位精度的关键.表4 给出了三种随机模型在不同方向上的RMS 值以及精化随机模型相对于其他两种模型的精度提高率.

表4 南北极6 个IGS 测站在不同随机模型中的PPP 精度的比较

由表4 可知，精化随机模型相比于高度角模型对定位精度的提高率基本为正值.在U 方向上的提高率分别为15.39%、65.53%、15.37%、26.80%、40.89%和59.94%；在N、E 方向上的提高率大部分约在10%～20%，其中MAW1 测站以及THU2 测站的N、E 方向和NYAL 以及DAV1 测站的E 方向上的提高率为负值.这种情况是由于精化随机模型此时在此测站的水平定位精度不及高度角模型或SNR 模型，主要原因是数据质量有多路径误差的影响，并且南极地区可观测卫星数较少，正弦函数随机模型并不能准确地描述数据质量随高度角的复杂变化，因此在之后的研究中考虑加入位置精度因子(PDOP)值进行改善.但精化随机模型的三维定位结果在可接受范围内，说明精化随机模型完全可以在高纬度地区的高精度定位中代替高度角模型并提高定位精度.精化随机模型较信噪比模型的定位精度提高率不及高度角模型明显，但在U 方向上也均为正值，分别为16.81%、50.54%、16.46%、5.171%、17.54%以及38.05%.U 方向上定位精度为cm 级，因此在N、E 方向上mm 级定位精度的效果被放大了，下面将在表5 中给出六个测站的三维点位精度及精化随机模型相比于其他两种传统随机模型定位精度的提高率.

由表5 可知，精化随机模型较高度角模型的三维定位精度提高了约10%～50%，NYA1 站的效果最好，为53.52%；较SNR 模型提高约5%～30%，THU2站效果最显著，为30.64%.

表5 6 个IGS 站在3D 方向上不同随机模型定位精度比较

为进一步分析精化模型对高纬地区PPP 的改进效果，选取该地区5 个测站2016—2019 年每年1 周的数据进行研究，定位结果如图2 所示，横轴为年积日，纵轴为PPP 在U 方向上的平均中误差.精化随机模型在N、E 方向上的效果与传统随机模型相近，改善U 方向上的定位精度才是亟待解决的问题.

图2 5 个测站在2016—2019 年三种随机模型在U 方向上的定位精度比较

如图2 所示，绝大多数情况5 个测站的精化随机模型效果优于仅考虑高度角或SNR 的传统随机模型.图中绿色百分数为精化模型较高度角模型的提高率，整体提高约37%；红色百分数为较SNR 模型的提高率，整体提高约24%.精度提高较大的测站是CSA1站和THU2 站.

可以看出2016—2020 五年的数据中精化随机模型更加稳定，并且另三个测站的结果也验证了精化随机模型能够在一定程度上提高PPP 的定位精度.因此，本文提出的精化随机模型在高纬度地区测站实施PPP 效果要明显优于其他两种随机模型.

精化随机模型在高纬度测站的PPP 解算中保持了较好的稳定性，在U 方向上的定位精度优于仅考虑高度或SNR 的传统随机模型.只有2018 年在DAV1 测站精化随机模型的优势不那么显著，分析数据发现该时间段DAV1 测站的可见卫星数以及观测环境较差，从图2 中也可以看出其平均RMS 值较其他年份大了近一倍.通常情况下，高度角模型的定位结果精度是不及SNR 模型的，图2 也进一步验证了这一说法，我们可以看出：PPP 的随机模型中，使用高度角模型的定位结果最差，SNR 模型次之，而精化随机模型的精度要高于二者.

4 结 语

本文利用PCA 确定了GNSS 观测噪声中高度角和SNR 的贡献，建立了精化随机模型，通过对高纬度地区IGS 站实施PPP 的效果进行分析，得到了如下结论：

1)对比高纬度测站的PPP 定位结果来看，U 方向上精化随机模型的RMS 值最小，定位精度最高，SNR 随机模型次之，高度角模型效果最差.精化随机模型的三维点位精度较高度角随机模型提高约30%，较SNR 随机模型提高20%左右，将该模型应用于高纬度地区PPP 解算可以有效地提高定位精度且计算量没有增加.

2)在验证过程中出现了精化随机模型水平定位精度不及高度角或SNR 模型的情况，精化随机模型不及高度角定权时，由于卫星星座结构较好，卫星数据的质量基本随高度角的增加而提高，低高度角卫星的数据质量受多路径误差影响，此时加入SNR 所确定的权重可能会破坏解算质量；不及SNR 定权结果时，虽然低高度角数据质量较差，但考虑到南极区域可观测卫星数量较少，利用低高度角观测能增加可观测卫星数量，此时正弦函数模型便不适用了.因此高度角和SNR 还不能全面地评价观测数据的质量，在今后的研究中我们考虑将PDOP 值纳入到评价指标中，利用PCA 做进一步的分析和降维处理，以完善和验证本文方法.