“做数学”:中小学生适合教育的实践构建①

【编者按】数学学习究竟应该以怎样的方式进行？ 数学学科的独特育人价值能够在怎样的学习过程中更好地实现？ 基于中国传统文化“知行结合”的哲学渊源，借鉴近代以来杜威等人提出的“从做中学”理念，董林伟主任领衔的团队在对数学实验教学进行了多年研究和实践的基础上，进一步提出“做数学”的主张。本期《关注》栏目的8篇文章，分别对“做数学”的概念建构、实践模型、理论基础、育人价值进行了深入研究，并结合具体的教学案例，对如何通过“做数学”帮助学生实现对数学的深度理解，历经对数学的自主探究，体验对数学的实践创新，给出了具体的方法和路径;还通过教学实验，研究了“做数学”对学生提出问题能力以及逻辑推理、直观想象能力的影响。

摘要：“做数学”是以“做”为支架， 通过操作体验、数学实验、综合实践等活动，获得数学概念、發现数学规律和应用数学知识的一种学习方式。它改变了数学知识的形态，改进了学生学习的方式， 促进了学生认知和情感的和谐发展，是构建中小学生适合教育的学科实践。通过将“做数学”写进国标教材，研制“做数学” 系列手册，开发课程内容配套的系统学具等资源建设，助力“做数学”真正成为课堂教学的常态。

关键词：“做数学”;适合教育;实践模型;资源建设

数学是一门系统且严谨的演绎科学，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。在发展和完善的过程中，数学逐渐脱离了现实对象， 仅保留了数量关系和空间形式，许多数学发现和结论很难找到具有直观意义的现实原型。这给学习者的理解带来了困难，同时也影响了学习者对数学广泛应用性的感悟。这些特点都使得学习者对数学产生了一种神秘感，进而疏远了与数学的距离。在世界各国，“数学难学”已是一个不争的事实。

义务教育阶段的学生，尤其是小学生，其认知发展处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段;即便是初中生，也尚未形成比较成熟的抽象逻辑思维，且生活和实践经验有限。因此，在学习数学的过程中，他们往往需要利用已有的知识与经验，通过对研究对象的观察、实验、概括、推理， 发现数学规律，揭示研究对象的本质特征。但现状却是学生多通过听教师讲、反复记忆、重复做题来学习数学，练得多、悟得少，对数学知识的本源缺乏理解，对数学内在的思想方法缺少感悟，对数学学习也普遍缺乏热情。

21 世纪初，中国启动了基础教育新课程改革。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准（实验稿）》）提出，“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动…… 动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020 年）》也强调，要为每个学生提供适合的教育，促进每个学生主动地、生动活泼地发展。因此，针对学生认知水平、活动经验、学习方式等与数学学科特点及要求之间的落差，需要我们寻求有效的“桥梁”，为学生提供一种适合的教育。

一、“做数学”的概念建构

早在20 世纪90 年代，我们就开始尝试：借助“工具”，设计操作活动，为学生搭建适合的数学学习“支架”。

例如，借助“多米诺骨牌游戏”（如图1所示）， 让学生经历数学归纳法的直观、动态的抽象过程， 让抽象的递推“可视化”。再如，借助“转圈游戏”， 让学生亲身经历多边形外角和定理的发现过程， 在将生活情境转化成数学问题的过程中形成证明的思路与方法，即：在多边形内取一点，作各边的平行射线，构成一个周角（如图2所示）; 或者利用电脑软件的动态功能，将多边形逐渐缩小，直到退成一个点，这时，各外角和直观地形成一个周角。

这类数学活动，具有这样一些显著特点：

一是将数学的知识置于一定的现实情境中。这种真实的、可亲近的学习环境，容易让学生产生学习的诉求。

二是现实情境中有明确的学习目标指向。通过一定的指向性问题（任务）， 引发学生的思考，让学习自然发生。

三是学生必须使用一定的工具（实物模型或电脑软件）。这些工具实质上是实验对象物化了的载体，让操作者更容易“数学化”地观察、归纳、类比和猜想，让思维可视化。

四是学生借助工具，通过操作、观察、实验、归纳、类比、交流等，调动多种感官参与学习过程，体悟数学知识、原理和方法，让学习真正发生。

这是一种动手动脑相结合的数学学习活动， 是教师引导学生在特定的问题（任务）情境中，借助一定的工具，以“做”为支架，通过操作体验、数学实验、综合实践等活动，获得数学概念、发现数学规律和应用数学知识的一种学习方式。我们称之为“做数学”。

通过“做数学”，抽象的数学知识可以转化为具象的数学知识，结果性知识可以转化为过程性知识，静态的知识可以转化为动态的知识，从而使数学知识呈现的形态更加符合中小学生的认知特点。

通过“做数学”，学生学习数学的方式也在发生变化：变被动接受为主动探究;变统一化学习为个性化学习;变离身思辨为具身体验，变“半脑”学习为“全脑”学习。

通过“做数学”，学生不仅获得了抽象数学概念、归纳数学原理的直接体验，而且从数学法则、性质、定理、公式等的归纳和发现过程中获得了如何探究、如何发现的方法论感悟。

另外，“做数学”还极大地激发了学生的学习兴趣，调动了学生的学习热情，引起了学生的好奇心，使学生以一种积极的态度投入实验探究的活动中。积极的情感体验是激发灵感的强大动力， 可以促使创造性思维的产生。

实践证明，对于义务教育阶段的学生来说， “做数学”无疑是他们喜欢的、适合他们的一种数学学习方式。

二、“做数学”的实践模型

根据学段、内容以及目标的不同，“做数学”可以分成操作体验、数学实验、综合实践等三种不同的实践模型。

（一）操作体验：让学生在体悟的过程中获得感知、学会抽象

中小学生数学学习的内容包含大量抽象的数学概念、原理和法则，但“传统教学的特点，就在于往往是口头讲解，而不是从实际操作开始数学教学”（皮亚杰语）。教学过程的功利化、形式化，不能有效调动学生的各种感官参与学习活动。学生“悟”的过程太短甚至没有，很难对知识产生兴趣， 也难以主动学习，更难以养成专注于数学问题的习惯。

改变这种现状，需要在教学中增加操作体验类的“做数学”活动，让学生经历“感知—感悟—知识”的过程。也就是说，通过提供丰富的、真实的问题，安排动眼观察、动手操作、动脑思考的任务， 引导学生自主活动，获得理解概念、规律所需的“事实”，形成对概念、规律本质的深刻体悟;通过延长知识的获得过程，给学生提供感悟知识精髓的时间和空间，让学生在具身体会的过程中获得“如何思考”的体验，使知识真正变成智慧，进一步激发学习的兴趣。

（二）数学实验：让学生在探究的过程中习得方法、发展思维

促进学生的思维发展，是数学教育的重要任务之一。传统的数学教学中，教师注重知识的系统性和逻辑的严谨性，学生主要是记住数学结论， 然后进行题海式的训练。这样的教学，并不利于学生的思维发展。

数学实验是“做数学”的另一种实施形态，是教师引导学生经历探索过程，发现数学结论和寻找证明方法的一种学习方式。数学实验将动手操作和动脑思考有机地结合在一起，实践性和操作性是它的外部特征，通过实验活动促进思维发展则是它的内在核心和最终归属。在一个数学实验中，观察与分析交织，具象与抽象并存;从实验前的猜想、实验中的思考到实验后的总结，都是发展学生思维的优良环境，同时为学生创造性思维的培养提供了空间。

借助数学实验，可以让学生获得如何探究、如何发现的方法论感悟，实现接受式、思辨式学习向探究式、体验式学习的转变;借助数学实验，可以让学生经历动手操作、用眼观察、提出猜想、验证结论等环节，充分体验“知识从何而来”知“识是什么”“知识向何而去”的完整数学学习过程。

（三）综合实践：让学生在应用的过程中积累经验、学会创新

一方面，学生只有认识到数学存在于现实生活中并被广泛应用于现实世界，才能切实体会到数学的应用价值;另一方面，学生正处在人生观、价值观形成的关键阶段，他们不满足于单纯的书本知识的学习，具有参与社会生活的愿望和一定的社会实践能力。拓展数学学习的空间，在生活中学习，在实践中学习，在应用中学习，主动地参与并服务于社会生活，成为学生身心发展的客观要求。

“综合实践”是《标准（实验稿）》提出的课程内容，要求学生能综合运用有关知识与方法解决实际问题，培养问题意识、应用意识和创新意识，积累活动经验，提高解决现实问题的能力。综合实践”需要学生亲自实践，并在实践中多角度地思考;需要学生相互合作，并在合作中准确表达各自的想法;需要学生不断尝试，并在尝试中寻找策略或提出新的问题;需要学生运用各种工具，并且对这些工具进行合理的选择;需要学生互相鼓舞，共同完成任务。因此，它也是“做数学”的一种实施形态。

“综合实践”强调学生通过实践，增强问题意识、应用意识和创新意识，学习科学研究的方法， 发展综合运用知识解决实际问题的能力，增进与社会的联系，培养社会责任感。因此，在“综合实践”教学中，可以结合实际情境，引导学生独立思考、合作研究，设计解决具体问题的方案，并加以实施，体验建立模型、解决问题的过程，尝试发现和提出问题;可以通过对有关问题的探讨，引导学生了解所学数学知识之间的关联，加深对有关知识的理解，进一步发展应用意识和能力;可以通过反思、总结、交流，引导学生进一步积累数学活动经验，体悟“数学地思考”的思想，有效促进创新意识的形成。

三、做数学”的资源建设

在推进“做数学”的实践过程中，需要帮助教师转变教育观念，提高教学水平，还需要给师生提供更多适合的教学方案，以及更多适用、好用、有用的教与学的材料和工具，才能使“做数学”真正进入常态的数学课堂，真正实现为学生提供适合教育的目标。

（一）将“做数学”写进国标教材，引导教师转变教育观念、改进教学方式

2003年，我们第一次将“做数学”写进了国家审定通过的苏科版初中数学教材，提出要注重“做数学”，引导学生自主探索、积累活动经验。由此形成了苏科版初中数学教材的一个鲜明特色：设置丰富多彩的栏目和内容，吸引学生“做数学”。

除了《做一做》《操作》等栏目外，教材还设置了《数学活动》《课题学习》等栏目及章首活动，让学生“会做数学”;运用现代信息技术，如Excel、几何画板等，让学生“巧做数学”;设计基础性、趣味性、挑战性的活动，让学生“爱做数学”。

另外，教材还设置了《数学实验室》专栏，分别放在一节内容的开头、中间、结束处，体现数学实验的三种不同的价值取向：开头位置，利用数学实验感受数学（抽象数学）;中间位置，利用数学实验探究知识和方法（发现原理、规律等）;最后位置， 运用所学知识和方法解决问题。

2004年9月，教材开始在江苏、广东、广西等地的近百万初一新生中使用，对引导教师理解新课程理念，实施“做数学”起到了促进作用。

之后，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下簡称《（2011年版）标准》也采用了苏科版教材的“做数学”的有效做法，明确提出了“有条件的学校可以建立数学实验室”，使数学实验的实践从江苏等地走向了全国。

从《标准（2011年版）》颁布开始，苏教版小学数学教材系统规划、增设了引导学生动手“做数学”的《动手做》栏目。该教材在全国多个地区已有近千万小学生使用，反响较好。

（二）研制“做数学”系列手册，为师生提供系统的教学方案

根据《标准（实验稿）》的要求，2008年，我们就组织力量编写了《数学综合与实践活动》（初中，共5 册），供广大教师指导学生的动手操作实践活动使用。2010年，我们又编制了国内首套《数学实验手册》（初中，共5册），与苏科版教材同步。经过3年的试点实践后，分别于2014年、2015年由江苏省中小学教材审定委员会审查通过，供全省初中学生免费使用。《数学实验手册》设计了系列实验方案10 多个，每个实验方案都包括实验目的、实验准备、实验内容与步骤、实验指南等环节，并提出了相应的学与教建议。《数学实验手册》还配套设计了部分可供实验使用的硬纸片和透明纸等，方便师生在课堂中使用。同时，我们还组织专家编写了与苏教版教材同步的《小学数学实验手册》共12册），2017 年开始在江苏全省20多万小学生中试用。2020 年，研究小组还以“数学体验”为主题，编写了《数学体验活动手册》（初中，共5册）。

这些系列手册的研制首先关注以下要素：一是操作性。学生在实验过程中，要利用有关工具进行各种操作活动;在动手操作的活动过程中，将数学知识内化为认知结果，达到意义建构。二是实证性。在实验过程中，学生能够将对象、过程、结果进行数学化的描述，使物化的“做数学”形象地反映数学原理和观念。三是探究性。做数学” 本质上是一种解决问题的活动，需要学生面对适度的困难开展尝试和探索，通过观察、分析、归纳、猜想等，获得数学知识，找到解决问题的方法，并发展创新思维。四是发展性。着眼于学生的发展，通过学生的参与，展示数学的探索发现过程， 帮助学生发现数学、体验数学、理解数学、运用数学，既获得数学知识，又积累数学活动经验，实现数学认识和经验的同步增长。

“做数学”中的素材选取，需要契合教学内容、知识点或活动环节。我们按照“做数学”形式的不同，选取以下素材：一是手工操作素材。包括折纸、拼图、裁剪、切割等。学生通过实物操作，观察数学现象，再加以分析概括、推理演绎等，可以发现数学概念、公式、法则、定理等，或验证数学结论，获得数学理解。二是游戏活动素材。有很多传统经典游戏与“做数学”有关，选取游戏素材，结合数学教学内容，注入新鲜元素进行改造，可以设计出一些既似曾相识又有新创意的活动，能激发学生学习兴趣，促进学生数学思考，加深学生数学理解。三是测量建模素材。学生借助测量工具， 如皮尺、测角仪、天平等，测量数据，然后记录、分析数据，并利用方程、不等式、函数等数学模型解决实际问题。测量活动往往要走出课堂、走向社会，能够帮助学生强化数学知识的运用，感受数学的应用价值。四是探究发现素材。这种素材又分为两类，一类是以实物为载体的探究素材，主要是借助直观模型，模拟、再现问题情境，需要学生利用已有的经验，选择适当方法，自主探究数学知识，发现数学结论，有效解决现实生活问题;另一类是以电脑软件为载体的探究素材，主要是利用信息技术，呈现教学中难以呈现的内容，如图形的运动和变换等，将复杂内容层次化，把静态图形动态化，从而帮助学生揭示数学内涵，挖掘问题本质。利用电脑软件辅助问题探究是“做数学”的一条有效途径。

（三）开发课程内容配套的系统学具，让“做数学”成为课堂教学的常态

“做数学”一般以动手实践为基点，需要借助一定的实物或智能学具。

实物学具，是指利用物质材料及其所包含的数学元素、特点开发的学具，如网格纸、火柴棒、七巧板等，具有直观、易操作、贴近学生生活等特点。这类学具的使用有两方面的作用：一是通过实物学具的操作，具象化地验证所学的数学知识和方法，获得相应的数学理解;二是借助实物学具的“数学化”操作，自主探索、发现数学知识和方法。

智能学具，是指利用各种软件的计算、演示、动画、变换等功能开发的学具，如计算器、图形计算器、几何画板软件等，具有计算功能强大、演示形象生动、便于揭示数学本质、可以实现传统手段难以实现的效果等优点。这类学具的使用也有两方面的作用：一是具象化地验证所学的数学知识和所获得的数学结论，帮助学生理解较为抽象的数学知识和结论，强化体验的过程;二是借助计算功能、构图功能，探索、发现所要学习的数学概念和原理。有时可以作为实物学具的辅助手段。

基于常态化的数学课堂教学需求，依据《标准（2011年版）》根据发展学生数学学科核心素养的需要，我们系统研发了初中数学实物学具42 组（件）， 并编写了教程，涉及初中数学课程标准内容的144 个点，涵盖初中数学的所有核心内容;系统研发了小学数学实物学具128 组（件）， 并编写了使用案例272 个，涉及小学数学的80 个关键知识点，涵盖小学数学的所有核心内容。同时，对图形计算器以及几何画板、GGB 等软件在数学学习中的应用，我们也开发了相应的教程。

这些配套国家中小学数学课程内容的系统学具的开发，切实解决了“完善课程内容，加强实践环节”所需要的，与完整的数学学习过程相配套的材料问题，方便师生在教与学中使用，让“做数学”真正进入常态化的数学课堂。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001.

[2] 中华人民共和国教育部. 义务教育数學课程标准（2011 年版）[M]北京：北京师范大学出版社， 2012.

[3] 董林伟，等.初中数学实验的理论与实践研究[M]南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016.

[4] 董林伟， 石树伟. 数学实验工具： 助力初中生数学学习的应然选择[J].数学通报，2018（11）.

[5] 董林伟.走向学科育人：“做数学”的时代建构与实践创新[J].教育发展研究，2021（8）

（董林伟，江苏省教育科学规划领导小组办公室主任。特级教师，正高级教师。中国教育学会中学数学教学专业委员会副理事长，江苏省教育学会中学数学教学专业委员会理事长，南京师范大学硕士生导师。苏科版初中数学教材主编。获得全国首届高中数学优秀课观摩与评比一等奖， “苏步青数学教育奖”一等奖。教学研究成果分别获得第一、第二、第三届江苏省基础教育教学成果奖特等奖，教育部第一、第二届国家级教学成果奖二等奖。在《教育发展研究》《课程·教材·教法》《全球教育展望》《数学教育学报》《数学通报》等刊物发表论文60 余篇。研究方向：中学数学课程、教学、评价等。）