玩转高考真题——概率篇

苏 玖

真题再现 （2020·浙江卷16）一个盒子里有1 个红球、1 个绿球、2 个黄球共4个除颜色外相同的球，每次拿1 个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ=0)_______，E(ξ)______．

思维延伸先确定ξ=0 对应的事件，再求对应概率的结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果．

改编1

可以改编为求方差，于是有：

一个盒子里有1 个红球、1 个绿球、2 个黄球共4 个除颜色外相同的球，每次拿1 个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则D(ξ)=______．利用方差公式的变形形式很快求解，由于展开化简可以得用它求解方差可以减少计算量．

改编2

真题中的黄球可以推广到n 个，于是有：

一个盒子里有大小、形状、质地相同的1 个红球，1 个白球，n个黄球(n≥ 2)，每次从中任取一个球，不放回，直到取到红球为止，记取到黄球的个数为ξ，求ξ的概率分布列，数学期望和方差．

先利用挡板插空方法求出总的排法，第二步求红球前放k个黄球，然后将1 个白球放入前k+1个空位上，第三步求出红球前有k个黄球的概率，第四步利用期望与方差公式求解．

改编3

如果有两个白球，可以改编为：

一个盒子里有大小、形状、质地相同的1 个红球，2 个白球，3 个黄球，每次从中任取一个球，不放回，直到取到红球为止，记取到黄球的个数为ξ，求ξ的概率分布列，数学期望和方差．

求解本题的关键：一是求出这些球的总的排列数，二是正确求出红球前有k个黄球的排列数，白球可以放的位置有多少，这样就可以确定红球前有k个黄球的概率．

改编4

如果有m 个白球，n 个黄球，又可以得到：

一个盒子里有大小形状相同的1 个红球，m个白球，n个黄球，每次从中任取一个球，不放回，直到取到红球为止，记取到黄球的个数为ξ，求ξ的概率分布列，数学期望和方差．

求解本题的关键：首先从m+n+1 个位置选一个位置先放红球，再选出m个位置放白球，余下n个位置放黄球，求出所有的排列数；其次就是研究红球前有k个黄球的排列数，对于每一种红球与黄球的排列，利用插空法一个一个放入白球，每放入一个白球就多产生一个空挡，这样就可以求出黄球在红球前的排列数，即可求出相应的概率．

改编5

如果红球的个数为2 个，白球和黄球个数2 个或2 个以上，又可以得到：

一个盒子里有大小形状相同的2 个红球，2 个白球，3 个黄球，每次从中任取一个球，不放回，直到取到红球为止，记取到黄球的个数为ξ，求ξ的概率分布列，数学期望和方差．

抓住问题的本质，第一个红球前黄球的个数对应的排列数求法，第一个红球前黄球个数依次为0，1，2，3，但对于每一种情况，又要考虑白球的排列问题，在红球前白球的个数也是随机变量，即可以放0 个白球、1 个白球、2 个白球，利用排列组合知识即可求解．

改编6

对于随机变量的分布列也可以设置参数，满足一定条件，研究新的问题．

已知随机变量X的分布列为:

其中a，b，c为常数且成等差数列，求随机变量X数学期望的取值范围和方差的最大值．

利用分布列的性质和等差数列，将三元问题转化为一元(如用c表示a，b)问题，并求出c的取值范围，将数学期望和方差建立关于C的函数，最后利用函数知识求解．

改编7

也可以把等差数列改为等比数列，于是有：

已知随机变量X的分布列如表所示：

X 0 1 2 P a b c?

若4a，b，c成等比数列,则D(X)的最大值为（ ）

先建立a，b，c的方程组，再写出方差的表达式，观察变量之间的关系，再寻求求解策略．

做中悟道：从浙江的一道填空题出发，从如下几个层次进行改编，一是改编问题的方式，即将求数学期望改编为求方差，这样既复习数学期望公式，又复习方差知识；二是红球个数为1，对另两种颜色球的个数进行推广，如改编题2-4；三是增加红球个数为2 个，再研究分布列、数学期望与方差，这样问题的难度有所增加，需要有一定的数学思维能力才能完整解答；四是结合生活生产的实际情境和统计知识，如分层抽样方法，相当于先求出各种颜色球的个数，再利用古典概型求出分布列；五是在分布列中设置参数，结合代数相关知识求数学期望与方差的范围或最值问题，如改编题7，8.

点拨解析

真题：因为ξ=0 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以随机变量ξ=0,1,2，所以

改编1：由方差公式及真题解析的过程知，其中µ=Eξ(ξ)，因此所以随机变量的方差为

改编2：ξ的所有可能取值为0，1，2，…，n．1 个红球，1 个白球，n个黄球排成一列有种排法．设第1 个红球前有k个黄球，k=0,1,2,…n，此时可看作将n个黄球排列后，红球只有1 种放法．n个黄球和1 个红球产生(n+2)个空档，选1 个位置放白球，有种排法．所以P(ξ=k)=分布列略．

改编3：ξ的所有可能取值为0，1，2，3．1 个红球，2 个白球，3 个黄球排成一列有=60种方法．

设第1 个红球前有k个黄球(k=0,1,2,3)，其中这些排列中，在红球和黄球排列好后，有五个空挡．（1）我们从中选两个空挡各放一个白球，共有种方法，（2）选一个空挡放两个白球有=5种方法这样共有15 种方法．

P(ξ=k)=k=0,1,2,3．ξ的分布列略．

改编4：ξ的所有可能取值为0,1,2,,…n．1 个红球，m个白球，n个黄球（共m+n+1 个球）排成一列有种排列方法．

其中红球前有k个黄球(k=0,1,2,…,n)的排法是：

在红球和黄球排列好后，有(n+2)个空挡，选一个空档放一个白球，这时产生(n+3)个空挡，选一个空挡放白球，…，依次下去，共有(n+2)(n+3)…(n+m+1)种方法．

但是m个白球完全相同，无顺序性，所以共有种方法．

所以红球前有k个黄球的概率为P(ξ=k)=其中k=0,1,2,…,n．

分布列略，数学期望E(x)=

方差D(X)=

改编5：ξ 的所有可能取值为0,1,2．2 个红球2 个白球3 个黄球排成一列可以理解为，从7 个位置选2 个位置放红球，再从剩下5 个位置选2 个放白球，余下3 个放黄球，共有=210种方法．

（1）ξ=0，摸到红球前没有黄球，第一个红球前白球个数为0，1，2．所以有=84种方法．

（2）ξ=1，摸到红球前有1 个黄球，第一个红球前白球个数为0，1，2．所以有=63种方法．

（3）ξ=2，摸到红球前有2 个黄球，第一个红球前白球个数为0，1，2．所以有=42种方法．

（4）ξ=3，摸到红球前有3 个黄球，第一个红球前白球个数为0，1，2．所以有=21种方法．

所以P(ξ=0)=

改编6：由概率分布的性质得a,b,c∈ [ 0,1],a+b+c=1．①

又因为a，b，c为成等差数列，所以有2b=a+c②．

（1）E(X)=a+2b+3c=+2c，因为所以因此

改编7：依题意，有则b2=4c(1−b−c)，即(b+2c)2=4c．

注意到E(X)=b+2c，E(X2)=b+4c，则D(X)=E(X2)−(E(X))2=(b+4c)−(b+2c)2=(b+4c)−4c=b．由基本不等式，得从而D(X)的最大值为当且仅当时取等号．故选项C 正确．