基于模糊相似优先的古城墙砖修复范例推理方法

钱 威，王子毅，王 威

(北京工业大学 城市建设学部，北京 100124)

中国作为一个历史悠久的国家，在5000多年的城池构建中留下了众多文物古迹.古城墙作为古代人民汗水和智慧的结晶，有着很高的历史价值、艺术价值和科学价值[1].由于大多数的古城墙是裸露在外的，长时间的风、雨和温差等自然环境的侵蚀致使古城墙墙面易出现泛碱、微生物衍生、砖块缺失、裂缝、表层剥落等病害[2-3].这些古城墙因年久失修或人类活动造成的破坏，亟待修缮[4].

近年来，对古城墙的保护工作也取得了很大的进展.吴超英等学者归纳总结了古城墙11种典型的破坏模式，并提出了具体的防护措施[5].Chen对若干古城墙的破坏模式进行了识别和分类，并针对不同的破坏模式提出了具体的保护建议[6].马勇以大同古城墙为例，针对其结构破坏情况提出了对应的结构修复方案及补强措施[7].朱才辉等学者通过大量调研，将城墙病害分为微弱、轻度、中度和重度四个等级；并基于数值方法、模糊数学理论和层次分析法提出了古城墙病害等级评价模型[8].白禹等学者参照石质文物病害分类标准，提出了古砖病害的具体分类体系[9].Fan提出了古砖表面风化时的四种典型形态，基于热力学数据研究古砖的风化机理[10].Mesquita利用超声波间接测量古老砖石结构建筑墙体的无损特征，为古墙维护和改造提供有用的信息[11].Lopez-Arce确定了西班牙托莱多地区一些历史建筑的砖块的风化类型，帮助选择适当的方法来清洁或修复建筑遗产中古砖建筑[12].另有学者采用探底雷达[13-14]、面波技术[15]、三维激光扫描技术[16-17]等无损检测技术对古城墙残损进行检测.

而在对古城墙的修缮过程中，我们应遵循着“修旧如旧”的原则[18]，才能最大限度地保持和还原古城墙的原真性.同时，在古城城墙砖材料选择时应遵循“原产地、原材料、原工艺”的原则，避免以假乱真.然而，那些明确产地的古城墙砖早已难觅踪迹[19].然而，不同产地的墙砖材料可能采用不同的原料或配方，其化学组成亦会因其形成机理的不同而改变[20].鉴于此，本文选取北方地区某古城墙约200m的城墙段作为研究对象，对其进行了全面实地的调查.为更准确地完成对城墙墙体的病害勘察，使用三维激光扫描仪对该古城墙段进行扫描，以此来获取该城墙段的点云数据以及较为完整精确的几何信息；并随机选取该城墙段2块古砖和已知产地的16块古砖样品进行化学成分检测.最后，基于检测数据，提出基于模糊相似优先[21-23]的古城墙砖修复范例推理方法，以此来判断与该城墙古砖化学成分最为相近的砖，这可以为古城墙修缮提供科学的依据.

1 北方某古城墙残损调查

1.1 病害勘察

调研发现由于历史的原因和城镇建设的发展，该城墙段现存的城墙段部分损坏，墙体面层砖酥碱、风化、离鼓较为严重，离鼓区域存在相对鼓胀情况，最大鼓胀量可达20 cm；侧墙上存在多条垂直裂缝，侧墙上多处砌体因灰浆流失而松散、缺失；城墙侧面有草木或藤本植物等生物病害；墙体表面有人工干预痕迹，疑似抹灰层(图1).

图1 城墙病害分布图Fig.1 Disease distribution map of the city wall

1.2 三维激光扫描

与传统测绘方法相比，三维激光扫描技术在不破坏古城墙现状的前提下，不仅可以获得城墙高度密集的点云数据，也能充分显示古城墙细节特征，例如对城墙细微的沉降、开裂、酥碱、风化及鼓胀变形等城墙常见病害分析[24].因此，本文尝试运用三维激光扫描技术获得该古城墙200 m段范围内的基础点云数据，并找到城墙的病害部位，利用Geomagic Qualif软件量取城墙的破损面积，最后计算古城墙修缮所需的用砖量.经检测发现改古城墙有些地方破损严重，需要对其进行修复.例如，以该墙段L1位置为例，其点云图如图2(b)所示，在L1路线上2.8 m处，出现明显空鼓情况，外鼓距离约为16.5 cm.通过Geomagic Qualif软件计算该区域空鼓面积大约为4.12 m2，而每一块砖0.043 m2，故此处需要96块砖.

(a)城墙墙体

2 材料成分

2.1 样品来源

随机选择16处明确产地的城墙砖和该城墙上2块砖(未知产地)作为检测对象，对其进行化学组成成分检测，样本相关参数详见表1.

表1 样品参数Tab.1 The sample parameters

2.2 样品成份组成分析

由于改古城墙砖样品无法直接满足相关分析测试的条件要求.因此，在分析之前，对样品进行预处理(图3).首先，清除砖样品表面的浮尘和黏结灰浆；其次，将城砖切割中掉下的残渣部分经锤击粗碎后，使用玛瑙研钵将其研磨成均匀粉末状，进行硼砂压片制样，以用于成分结构与红外分析[25-27].采用Shimadzu XRF-1800荧光光谱仪对砖样品中的主要元素进行定量分析，数据采用氧化物的形式，数据见表2.

图3 样品制备Fig.3 Sample preparation

从表2中得知，由于砖的化学组成成分众多，主要含有14种氧化物成分，即SiO2、Al2O3、CaO、Fe2O3、MgO、K2O、Na2O、TiO2、P2O5、MnO、SO3、ZrO2、SrO和Rb2O.由于这些成分之间存在高度的非线性，单纯依靠理论计算或针对某一成分进行砖产地判断的方法值得商榷.鉴于此，本文提出基于模糊相似优先比的古城墙砖范例推理方法，对影响砖产地判别的每个化学成分分别在目标范例与源范例间建立模糊相似优先关系，得到不同化学成分下目标范例与源范例间的相似性序列，找出与目标范例最相似的源范例，最终实现城墙砖产地的预测.

表2 古城墙砖氧化物种类及含量Tab.2 Type and content of oxide of ancient city wall brick

3 基于模糊相似优先的古城墙砖范例推理方法

3.1 古城墙砖的模糊相似优先关系[28-29]

3.1.1 古城墙砖范例的表示

设B=B1×B2×…×Bj×…×Bn为一离散n维因素空间，Bj(j=1,2,…,n)为一实数有穷集合，则古城墙砖范例可定义为C=(b1,b2,…bj,…,bn)，bj∈Bj(j=1,2,…,n)，bj为古城墙砖的第j个化学组成成分.

而古城墙砖源范例库表示为BC={C1,C2,…,Ck,…,CK}，Ck∈BC(k=1,2,…,K)，Ck为古城墙砖的第个源范例.城墙砖目标范例表示为C0=(b01,b02,…,b0j,…,b0n)，b0j(j=1,2,…,n)为古城墙砖目标范例的第j个化学成分.

3.1.2 化学组成成分之间的相似性度量

设Cp和Cq分别为源范例库BC中的第p个和第q个源范例，且Cp≠Cq(p,q=1,2,…,K)，bpj和bqj分别为源范例Cp和Cq的第j个化学成分，C0为城墙砖的目标范例，则

Cp=(bp1,bp2,…,bpj,…,bpn)
Cq=(bq1,bq2,…,bqj,…,bqn)
C0=(b01,b02,…,b0j,…,b0n)

(1)

化学成分之间的相似性度量采用化学成分之间的语义距离来表示[28].则源范例Cp第j个化学成分与目标范例C0第j个化学成分间语义距离为

D(Cpj,C0j)=|bpj-b0j|

(2)

源范例Cq第j个化学成分与目标范例C0第j个化学成分间语义距离为

D(Cqj,C0j)=|bqj-b0j|

(3)

当采用两范例间的语义距离表示其相似程度时，当语义距离愈小，两个化学成分就愈相似[28].

3.1.3 模糊相似优先关系D(j)的构造

设城墙砖源范例Cp和Cq的第j个化学成分分别是Cpj和Cqj，它们与C0的第j个化学成分C0j间语义距离分别是D(Cpj,C0j)和D(Cqj,C0j)，则Cp的第j个化学成分Cpj比Cq的第j个化学成分Cqj与C0j的模糊相似优先比定义为

(4)

(5)

该矩阵称为第j个化学成分的古城墙砖的模糊相似优先关系.依次取j=1,2,…,n，求出对应于n个化学成分的模糊相似优先关系有n个.

3.2 基于模糊相似优先的古城墙砖范例检索模型

对于D(j)取各λ截集，可得K个城墙砖源范例第j个成分与目标范例C0的相似程度序列.让λ由大到小，分别检查D(j)，若第p行首先出现除对角线元素为0外，其它元素皆为1，则认为Cp与C0最相似，划去Cp所在的行和列；同样可得与C0相似程度排第二的城墙砖源范例，依次递推，得到城墙砖源范例库中K个源范例与C0相似程度序列[29].

假定：与C0最为相似的排在序列最前，顺序号为1；与C0最不相似的排在最后，顺序号为K.则K个古城墙砖源范例的顺序号可组成如下序号集：

Tj=(t1j,t2j,…,tkj,…,tKj)

(6)

对应于n个化学成分就形成n个序列号集：

(7)

第k个城墙砖源范例与C0相似程度序列中的顺序号为：

(8)

式中,wj为n个化学成分的权重(j=1,2,…,n)；取k=1,2,…,K，利用式(8)得K个范例顺序号大小；tk愈小，Ck与C0愈相似，在相似程度序列中愈排前.

3.3 影响因素权重的确定

权重用来衡量各影响因素的相对重要性.考虑到权重对环境的敏感，在不同的决策环境下相同的因素对决策输出会有不同的影响[30].本文根据熵值的概念，提出城墙砖化学成分权重的计算方法.

假定被评价对象有m个，即评价比较m个城墙砖；每个被评价古城墙砖的化学成分指标有n个，则每个古城墙砖的各化学成分值构成判断矩阵R.

R=(rij)m×n(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

(9)

对判断矩阵R进行归一化，得到矩阵B.

B=(bij)m×n(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

(10)

B的元素为

(11)

式中，rmax和rmin分别为同一化学成分下不同产地的指标值中最大者和最小者.

按照熵的概念，定义指标的熵为

(12)

则第j个化学成分指标的熵权wj，定义为

(13)

通过上述计算方法，可得古城墙砖目标范例的化学成分的权重分配，由于古城墙砖不同化学组成成分的取值不同，对应权重分配是不一样的，从而使结果与当前的评价体现了变权的思想.

表3 古城墙砖目标范例的权重Tab.3 Weight of ancient city wall brick target example

4 实例分析

本文选择已有明确结论的16个产地的古城墙砖实例作为源范例库，选取该城墙段2块墙砖作为目标范例，采用上述方法，计算古城墙砖源范例与目标范例的相似程度序列，从而在古城墙砖源范例库中找出与目标范例最相似的古城墙砖源范例.通过编制Matlab程序，对表2中的两个目标范例C17和C18分别进行了计算，计算结果分别见表4和表5.

表4 目标范例C01与各个源范例的相似程度序列Tab.4 Sequence of similarity between target example C17 and each source example

表5 目标范例C02与各个源范例的相似程度序列Tab.5 Sequence of similarity between target example C18 and each source example

对于未知产地的古城墙砖目标范例C01而言，表4给出了目标范例C01中的每个化学成分与各个源范例中对应的化学成分之间的相似程度排序.例如，目标范例C01的第1个化学成分b1与每个源范例的第1个化学成分b1相似程度排序分别为2、6、7、9、11、13、4、5、12、3、15、14、16、10、8、1.依次类推，就可以构建目标范例C01与每个源范例之间的相似程度序列.例如目标范例C01与源范例C1之间的相似程度序列T1为(2,11,11,6,5,6,12,5,4,6,11,11,11,7).根据公式(8)，可以求出目标范例C01与每个源范例之间的相似程度的序列号tk.t1的求解过程如下所示：

t1=2×0.049 5+11×0.070 8+11×0.081 1+6×0.067 4+5×0.073 0+6×0.070 6+12×0.052 9+5×0.103 6+4×0.064 1+6×0.074 2+11×0.015 0+11×0.088 1+11×0.103 7+7×0.085 9=7.694

由此上述知，tk愈小，Ck与C0愈相似，在相似程度序列中愈排前.则由表4可以看出t16为4.923，其值最小，可判断目标范例C01与源范例C16最相似.同理，由表5可以看出t8为4.154，其值最小，因此可以判断目标范例C02与源范例C8最相似.而根据表1可知，古城墙砖源范例C8和C16的产地都来源于河北定兴，进而可以判断该城墙段所使用的墙砖最有可能来源于河北定兴.

5 结论

(1)针对古城墙病害问题，三维激光扫描技术能够快速地获取古城墙的点云图，通过对比获取古城墙砖的破损面积，可以准确地计算出城墙修缮的需砖量，这对古城墙病害调查具有很强的实用性.

(2)本文根据模糊相似优先的概念构造了一个基于模糊相似优先的古城墙砖范例检索模型.通过古城墙砖化学组成成分之间的两两比较，获得相应成分下古城墙砖的目标范例与源范例之间的相似性序列，最终找出与目标范例最相似的边古城墙砖的源范例.本方法推理原理直观、使用方便.在以往的古城墙砖范例和当前需修复替换的古城墙砖之间建立了合理的推理关系，可以为今后的古城墙的修缮与城砖替换提供科学的依据.