组织电导率性质对磁感应磁声耦合成像声源强度的影响

王世刚，何乐民，游敏娟，马任，刘志朋

1.山东第一医科大学（山东省医学科学院）放射学院，山东泰安271016；2.山东医药技师学院，山东泰安271016；3.中国医学科学院北京协和医学院生物医学工程研究所，天津300192

前言

生物组织的电阻抗作为一项结构、生理功能、病理变化的参数，在基础医学和临床诊断中具有重要的意义和广泛的应用，因此对生物组织进行电阻抗成像成为医学影像科研工作者的研究热点之一，目前以获得生物组织的电阻抗特性为成像目标的成像模式有电阻抗成像技术［1‐3］、磁感应成像技术［4‐6］、磁共振电阻抗成像技术［7‐9］、磁声电成像技术［10‐12］和磁感应磁声耦合成像技术（MAT‐MI）［13‐16］等。其中，MAT‐MI具有高分辨率、高对比度以及非嵌入式的优点，并且可与内窥检测技术进行结合［17‐19］，拥有广阔的临床应用前景。现阶段对MAT‐MI 的研究多为生物组织电导率性质为各向同性，但某些生物组织的电阻抗还具有各向异性或电导率渐变的特点，研究文献较少［20］。

本文对不同性质的生物组织电导率MAT‐MI 的声源强度特性进行理论分析，推导不同性质的生物组织电导率声源强度公式，并运用COMSOL Multiphysics5.5 建立生物组织电导率模型，进行仿真求解。结果证明：在同样激励条件下，电导率各向同性和各向异性的声源分布都能反映生物组织的层析结构，但其强度不同。本研究为MAT‐MI的逆问题声源的精确重建提供理论基础，说明MAT‐MI在生物医学成像中具有重要的临床价值和广阔的应用前景。

1 原理

1.1 成像原理

将生物组织放置在同方向脉冲磁场B1(t)和均匀静磁场B0中时，根据法拉第电磁感应定律可知：，脉冲磁场产生感应电场E，该电场使具有一定电导率的生物组织产生相应的涡电流。涡电流在静磁场的作用下产生洛伦兹力，该洛伦兹力使生物组织振动发出声波。用声换能器接收声波，因为声波信号含有生物组织的电导率信息，所以可重建出生物组织的电阻抗图像。MAT‐MI原理如图1所示，其中z轴表示脉冲磁场和静磁场的方向。

图1 磁感应磁声耦合成像原理图Fig.1 Schematic diagram of magnetoacoustic tomography with magnetic induction(MAT-MI)

MAT‐MI的声压满足波动方程：

其中，p是声压，c为声速；J是生物组织的电流密度，∇∙为散度运算符，∇2为拉普拉斯算子。声波方程建立了声压随着空间位置变化和随时间变化两者之间的关系。

1.2 声源强度分析

由MAT‐MI工作原理可知，振动声源的起因是洛伦兹力引起生物组织微粒振动，从而发出声波。MAT‐MI一般要求磁感应强度B0＞＞B1(t)，所以在声压波动方程式（1）中，B=B0+B1(t) ≈B0，忽略电流产生的二次磁场，任意单元体积声源项为：

由矢量分析可知，声源是洛伦兹力的散度，洛伦兹力为：

将式（3）代入式（2）式可得：

由式（4）可知，生物组织某一平面声源的分布仅与电流密度沿x 方向和y 方向的分量有关，而与z 方向的分量无关。因此，分析MAT‐MI 声源强度时，更关心电流密度沿x方向和y方向的分量分布。

因为J=σ⋅E，所以生物组织电导率不同，将产生的电流密度不同，电导率分两种情况考虑：

（1）电导率各向异性：当生物组织电导率各向异性时，它的电导率是一个张量，在直角坐标系中的电流密度表示为：

其中，σxx表示x 方向电场与x 方向电流的关系；σxy表示y 方向电场与x 方向电流的关系；σxz表示z 方向电场与x 方向电流的关系。一般生物组织电导率矩阵是一个对角形矩阵，即：

显然，对于电导率各向异性生物组织，电流密度Jx≠Jy。

（2）电导率各向同性：当生物组织电导率各向同性时，σxx=σyy=σzz，显然，Jx=Jy。由于电导率性质不同，所以在同样磁场激励的情况下，电流密度不同，声源强度也必然不同。对于电导率各向异性生物组织，其声源强度为：

对于电导率各向同性的生物组织，其声源强度为：

2 仿真结果

2.1 模型电磁场分析

为了定量分析MAT‐MI 声源的分布特性，以COMSOL multiphysic5.5建立两个形状大小相同但电导率性质不同的生物组织模型，参数如表1所示。模型1具有电导率各向同性，电导率为0.2 S/m；模型2具有电导率各向异性，是在模型1的基础上改变y方向的电导率为0.6 S/m。将建立的生物组织电导率模型进行有限元数值求解，并运用Matlab 2016a计算其振动声源。

表1 电导率模型参数Tab.1 Parameters of conductivity models

电磁场仿真结果的z=0 mm平面的电导率的分布情况如图2所示，其中图2a和图2b分别是模型1在x方向和y方向的电导率数值的分布，它们的数值均为0.2 S/m，与预设值相同，电导率为各向同性，它们的分布反映了模型1的z=0 mm层析结构形状。图2c和图2d显示了模型2电导率在x方向和y方向的数值分布，数值分别为0.2 S/m和0.6 S/m，它们也均与预设值相同，电导率的分布同样也反映了模型2的z=0 mm的层析结构形状。

图2 模型电导率分布Fig.2 Conductivity distribution of the models

图3显示了生物组织电导率模型在z=0 mm 平面感应涡电场与电流密度的分布情况。其中图3a 和图3b 分别显示了模型1 和模型2 的感应电场分布，磁场激励条件相同时，电导率性质不同产生的电场的形状、强度也不同：电导率性质为各向同性时产生的电场是圆形的，关于中心对称，电场强度从中心向边缘方向逐渐增大，各方向增加强度相同；而电导率各向异性时产生的电场的形状是椭圆形的，电场不再中心对称，电场强度从中心向边缘方向其强度也逐渐增大，但随着方向不同增加的强度不同。图3c 和图3d 分别显示了模型1 和模型2 的感应电流密度分布，从图中可以发现，磁场激励条件相同时，电导率性质虽然不同，但是电流密度却都是圆形的，关于中心对称，电流密度从中心向边缘方向逐渐增大，各方向增加强度相同。

图3 电场与电流密度分布Fig.3 Electric field and current density distributions

2.2 模型声源计算

用Matlab 2016a 计算两生物组织电导率模型的MAT‐MI 声源强度，定义静磁场磁感应强度为1 T，用以上电磁场分析结果中涡电场数据及式（7）与式（8）计算求解的两模型z=0 mm 平面声源强度分布如图4所示。图4a和图4b分别显示了电导率各向同性模型1和电导率各向异性模型2 的声源分布。图4a 和图4b两模型声源分布的共同点是在同样磁场激励的条件下，声源的分布均如实反映了生物组织的层析结构形状；而且声源分布在电导率边界处发生突变；不同点是电导率性质不同其声源强度也不同。

图4 声源分布Fig.4 Acoustic source distributions

2.3 背景电导率下的仿真

在医学影像检查成像时，生物组织往往处于一定背景电导率下，为了研究普遍情况下的生物组织MAT‐MI，现在将模型1和模型2置于一定电导率背景下。图5显示了背景电导率为0.1 S/m时的两生物组织电导率模型在z=0 mm平面电磁场分析和声源计算的结果。

图5 背景电导率下的仿真Fig.5 Simulation with background conductivity

图5a 和图5b 分别显示模型1 和模型2 的感应涡电场分布，将图5a、图5b 分别与图3a、图3b 作比较，可以发现，在一定的电导率背景下，磁场激励条件相同时，电场强度的形状并没有发生变化，但是其强度却发生了改变。

图5c 和图5d 分别显示模型1 和模型2 的感应电流密度分布，将图5c、图5d 分别与图3c、图3d 作比较，可以发现，磁场激励条件相同时，在一定的电导率背景下会对电流密度产生影响，当生物组织为电导率为各向同性时，电流密度的形状没有变化，仍是中心对称，但强度发生了变化；当生物组织电导率为各向异性时，电流密度形状也发生变化，变成椭圆的形状，其强度也发生改变。

图5e 和图5f 分别显示了模型1 和模型2 的声源分布，将图5e、图5f分别与图4a、图4b作比较，可以发现，声源的分布均如实反映了生物组织的层析结构形状，且背景电导率不同时，其声源强度也不同。

3 讨论与结论

本文首先推导了不同电导率性质的MAT‐MI 生物组织声源强度的计算公式，通过理论分析知道电导率性质影响着声源强度分布：由电导率x、y方向的数值和感应涡电场的在x、y 方向的梯度决定。然后运用有限元仿真分析软件COMSOL Multiphysics5.5建立了电导率性质不同的生物组织模型并进行电磁场有限元数值求解，并运用Matlab 2016a计算其声源强度分布。

由仿真结果可知，生物组织的电导率分布反映着它的层析结构；生物组织的电导率各向同性和各向异性性质不同，产生的感应涡电场不同（图3a～图3b、图5a～图5b），电导率各向同性电场为圆形，电导率各向异性电场为椭圆形，但其声源分布均反映了生物组织的层析结构（图4a～图4b、图5e～图5f），只是强度有所不同。掌握了声源的分布情况，运用重建算法和欧姆定律就可以重建出各向同性电导率的分布［21‐23］。而对于电导率各向异性的生物组织，还需要利用背景电导率的数值，才能根据声源强度求解生物组织的电导率分布［24］。

本研究发现，电导率无论是各向同性还是各向异性，其声源分布均反映了电导率的层析结构，背景电导率也仅影响着声源强度的大小，而不影响其形状。目前，国内外所有的研究均是假设已知电导率是各向同性或是各向异性，从而求解其电导率数值的。其实，仅就生物组织声源的分布而言，无法确定生物组织的电导率性质（其电导率为各向同性还是各向异性）。本文计算结果表明理论分析的正确性，为进一步实现组织电导率的精确重建提供理论基础，如何根据其他条件确定生物组织电导率的性质还有待深入探讨，这是我们下一步工作的重点。