基于贝叶斯正则化BP神经网络的PEMFC电堆建模

夏世远, 苏建徽, 杜 燕, 汪海宁, 施 永

(合肥工业大学 电气与自动化工程学院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

质子交换膜燃料电池(proton exchange membrane fuel cell,PEMFC)是一种直接利用H2中化学能发电的电源装置,具有能量密度高、运行温度低、结构简单、无污染等优点,在分散型电站、移动式电源、备用电源等领域有着广阔的应用前景[1]。

PEMFC电堆是一个多变量耦合的复杂系统,具有很强的非线性特点,精确的电堆模型是PEMFC系统优化、控制的基础。目前,PEMFC电堆建模方法主要分为基于机理建模和基于智能算法建模。前者能从内部原理上反映各变量对电堆运行状态的影响,但其包含大量的复杂方程、简化和假设条件,导致模型的通用性受限[2-4]。人工神经网络所特有的非线性信息处理能力,为PEMFC电堆这类复杂非线性系统建模提供了重要方法[5-6]。

文献[7]基于BP(back propagation)神经网络建立PEMFC电堆模型,实现对电池行为的模拟,但传统的BP神经网络模型存在训练过度的问题,神经网络对新鲜样本的泛化能力变差,出现高训练精度、低预测精度的情况[8-9]。

本文提出一种利用贝叶斯正则化优化算法,对BP神经网络进行改进,并给出多变量PEMFC电堆模型的建模方法。仿真结果表明,基于贝叶斯正则化BP神经网络建立的PEMFC电堆模型具有一定的有效性和优越性,具有实际应用价值。

1 PEMFC电堆BP神经网络模型

1.1 PEMFC原理

PEMFC的原理是水电解的逆过程,氢气和氧气(或空气)分别流入阳极和阴极,氢气在催化剂作用下生成电子和氢离子(H+),H+经过质子交换膜到达阴极与氧气反应生成水,电子通过外电路经由负载到达阴极[10],如图1所示。

图1 PEMFC电堆原理图

PEMFC电堆的极化(V-I)曲线是描述电堆的重要性能指标,在燃料电池的仿真、优化、设计等方面发挥重要作用,具有很强的非线性和多参数耦合特点。

单片PEMFC电堆极化曲线如图2所示,PEMFC电堆的单片理想输出电压为1.2 V左右,输出电压随着输出电流的增大分别经过活化极化区、欧姆极化区、浓差极化区,呈现出明显的非线性降低的特点。

图2 单片PEMFC电堆极化曲线

考虑到PEMFC电堆本身的复杂性和非线性特点,采用“黑箱”建模的方法可以避开PEMFC电堆内部复杂的非线性机理关系,简化建模过程。

1.2 BP神经网络

BP神经网络是一种典型的多层前馈有监督学习的人工神经网络(artificail neural network,ANN),具有很强的非线性映射能力,是目前应用最为广泛的一种神经网络,其通过不断将误差信号反向传播调节网络连接权值,使网络实际输出接近目标输出[11]。BP神经网络结构如图3所示,BP神经网络一般包括输入层、隐含层、输出层3个层次,其中输入层有k个节点,隐含层有i个节点,输出层有j个节点,各层之间的连接权值分别为为ωki、ωij。

图3 BP神经网络结构

1.3 贝叶斯正则化BP神经网络

传统的BP神经网络容易出现过度训练(过拟合)的情况,使得网络的泛化能力变差,即网络的训练精度良好,但预测结果往往不够理想。影响神经网络泛化能力的因素多种多样,其中主要因素是网络结构特性和训练样本特性。实际问题中训练样本数量往往是有限的,希望在有限的样本下有效地训练网络,保证较好的泛化能力。

贝叶斯正则化(Bayesian regularization,BR)算法是一种基于Levernberg-Marquardt(L-M)算法的修正算法,通过修正BP神经网络的训练性能函数来提高网络的泛化能力。常规的BP神经网络的训练性能函数采用网络响应的均方差Ed,即

(1)

其中:n为样本总数;ti为样本第i组的目标输出;ai为样本第i组的实际输出。

正则化下BP神经网络的训练性能函数F0改写为[12]:

F0=αEω+βEd

(2)

(3)

其中:Eω为网络全部权值的均方差;α、β为正则化系数;m为网络的权值总数;ωj为网络权值。

若α≫β,则网络训练倾向于泛化能力,往往会导致网络欠拟合;若α≪β,则网络训练倾向于减小网络误差,往往会导致网络过拟合。贝叶斯理论框架下可以推导出:

(4)

其中,γ为有效参数的数量，γ=m-2αtrH-1,H为F0的Hessian矩阵,H=α2Eω+β2Ed。

贝叶斯正则化算法将BP神经网络中各网络权值看作随机变量,以最大后验概率为目标,能够自适应地修正α、β的参数大小,在保证网络均方误差最小的前提下,能够有效地控制网络的复杂程度。

具体步骤如下:

(1) 初始化α、β和各神经元之间的连接权值。

(2) 利用BP训练算法,最小化目标函数F0=αEω+βEd。

(3) 求Hessian矩阵,计算有效参数个数γ。

(4) 由(4)式计算超参数α、β的新值。

(5) 重复步骤(2)～步骤(4)直到达到设定精度。

1.4 基于BR-BP神经网络的PEMFC电堆建模

(1) 确定模型的输入和输出。PEMFC电堆是一个复杂的多变量耦合输入输出系统,很多因素都对电堆的输出有所影响。对于大功率PEMFC电堆,其电堆温度、负载电流、空气湿度、氢气湿度、反应气体(氢气、空气)压力(实际中阴阳极两侧气压差较小,此处认为两侧压力相同)影响最为显著,因此选择这5个变量作为模型的输入变量,电堆输出电压作为模型的输出变量,其结构如图4所示。

图4 PEMFC电堆神经网络模型结构

根据PEMFC电堆的一般运行工况,选取输入变量的范围，见表1所列。

表1 PEMFC电堆模型输入变量取值范围

(2) 样本点选择。训练数据取自基于Matlab/Simulink的热力学及燃料电池系统设计和开发的商业仿真工具箱Thermolib[13],PEMFC电堆的主要参数[14]见表2所列。

表2 PEMFC电堆主要参数

反应气体压力选择0.20、0.25、0.30 MPa,电堆温度选择338.15、343.15、348.15 K,空气、氢气相对湿度分别选择40%、60%、80%、100%,共组合成3×3×4×4=144种不同运行状态。每种状态下负载电流值从0开始逐渐增大,采集PEMFC电堆的V-I特性曲线数据,获得共计18 419组数据,构成训练集。

(3) 神经网络拓扑及参数选择。对应所建模型的5个输入变量和1个输出变量,神经网络应有5个输入节点和1个输出节点。根据Kolmogorov定理,确定隐含层层数为1层,隐含层神经元个数为11个,传递函数为Sigmoid函数,输出层为线性函数,最大迭代次数为1 000次,训练均方误差为0,训练速率为0.05。相关研究证明具有Sigmoid函数的BP神经网络,在仅有1个隐含层的情况下,可以任意精度逼近任意连续有界非线性函数[15-16]。

2 仿真结果

2.1 模型训练

利用上述训练集对BR-BP神经网络进行训练。为比较改进效果,在相同条件下对采用L-M算法的BP神经网络进行训练,两者训练过程均方误差变化如图5所示。

图5 神经网络学习曲线

可见,在基于BR和L-M算法的2种BP神经网络均训练1 000次的情况下,前者的最终误差为0.027,后者的最终误差为0.778。与L-M算法相比,基于BR算法的BP神经网络具有更快的收敛速度和更高的训练精度。

2.2 模型测试

为了测试训练后网络的泛化能力,本文选择18 419组数据中12 894(70%)、5 525(30%)组分别作为训练数据和验证数据。12 894组训练数据按上述训练步骤对BR-BP神经网络进行训练,并用5 525组验证数据测试训练后神经网络的泛化能力。在相同条件下对网络模型进行10次测试,并对预测输出结果进行统计分析,计算结果的绝对误差Ea、相对误差Er、均方误差Ems,计算公式如下:

Ea=|μi-ti′|

(5)

(6)

(7)

其中:ti′为第i个理论输出值;μi为第i个预测输出值;N为验证样本数量。

10次验证结果统计误差的最大值、最小值、平均值见表3所列。从表3可以看出,利用BR算法改进BP神经网络建立的PEMFC模型预测精度理想,泛化能力良好。

表3 网络输出误差

为进一步测试训练后神经网络的泛化能力,验证数据为新鲜样本(反应气体压力为0.22 MPa,电堆温度为345.15 K,空气和氢气相对湿度均为90%),在相同条件下进行10次预测,负载电流从0 A增大至139 A的过程中,10次预测输出与目标输出相吻合。10次测试结果见表4所列。与表3相比,由于采用完全新鲜的样本作为验证数据,测试结果的误差变大,但整体而言利用BR算法改进BP神经网络建立的PEMFC模型,在新鲜样本下预测精度理想,模型泛化能力良好。

表4 新鲜样本下网络输出误差

考虑实际情况中训练样本数据有限,增大原样本中负载电流的采样间隔,另外采用9 243组和3 737组数据作为训练样本,重新验证建模效果。在相同条件下对以上3种不同大小的训练样本分别采用基于BR算法和L-M算法的BP神经网络训练,建立PEMFC的电堆模型并进行10次验证,预测输出的统计结果见表5所列,如图6所示。

表5 2种算法在不同样本数据量下的均方误差

图6 2种模型预测结果的均方误差对比

从表5、图6可以看出,分别基于BR算法和L-M算法的BP神经网络建立的PEMFC电堆模型,两者预测输出的Ems(最大值、最小值、平均值)随着训练样本数量的下降均呈现出逐渐增大的趋势,即预测误差逐渐增大,但前者预测输出的Ems均较小,即使在训练样本数为3 737组时,Ems的平均值为0.730 7,低于后者的2.001 8,基于BR-BP神经网络建模的预测精度更高,泛化能力更好。此外,基于L-M算法的BP神经网络建模结果的波动性更为剧烈,其Ems的最大值与最小值差值为8.944 4,而基于BR-BP神经网络建模的差值仅为1.915 5,基于BR-BP神经网络建模的预测输出更为稳定。

3 结 论

精确的PEMFC电堆模型是后续系统优化控制等研究工作的前提,本文采用贝叶斯正则化(BR)优化算法对BP神经网络进行改进,通过对网络连接权值、训练参数的规范化,有效地控制网络的复杂程度,防止网络的过学习,提高了网络的泛化能力,并利用此改进的BP神经网络实现在较多参量耦合下对PEMFC电堆的建模。

仿真结果表明,BR-BP神经网络与传统BP神经网络相比,在收敛速度和训练精度方面均有明显提升。基于BR-BP神经网络的PEMFC电堆模型在预测精度和稳定性方面与传统BP网络的电堆模型相比也具有明显优势,且随着训练样本数量的减少,这种优势显得更为突出,具有实际应用价值。

本文提出的PEMFC电堆建模方法精度高、稳定性好,为今后PEMFC系统的能量管理、控制和优化提供了精确的电堆模型基础。