基于退火算法的多目标水平集结构拓扑优化*

苏建民，范亚萍，翟彦春，李 强

(1.潍坊科技学院 山东省高校设施园艺实验室，山东 潍坊 262700；2.潍坊市轻质材料先进制备及成型重点实验室，山东 潍坊 262700)

0 引言

水平集(level set)的基本思想是将界面看成高一维空间中某一函数ψ(称为水平集函数)的零水平集，同时界面的演化也扩充到高一维的空间中。我们将水平集函数按照它所满足的发展方程进行演化或迭代，由于水平集函数不断进行演化，因此对应的零水平集也在不断变化，当水平集演化趋于平稳时，演化停止，得到界面形状。

文献[1-3]将均匀法应用于拓扑优化分析，引入数学插值的方法将均匀法不断优化，并得到材料的最佳分布和最优形状结构；张卫红等[4]利用隐式水平集函数建立结构拓扑优化的基本特征模型,以柔度最小化为目标,将拓扑优化结构转化为CAD设计域内特征布局和形状优化问题；文献[5]利用有限元将单元实体离散化，分析了双线性结构优化方法的收敛速度与网格的关系；文献[6]提出了采用Kirchhoff板单元利用刚度等效理论和最小柔顺度为设计目标，利用水平集方法拓扑优化薄板加强筋分布理论；文献[7,8]利用Python编程语言实现了实体模型的拓扑优化，并分析了温度对材料的影响；文献[9]利用水平集拓扑优化方法和最小柔度理论优化解决了机构的应力集中问题；文献[10]针对水平集优化过程中的边界形成进行优化，建立了新的拓扑优化导数数值变化的准则，同时提升了水平集的优化速度和收敛速度，减少了运算迭代次数；文献[11，12]利用水平集理论结合空间三角形面片法逼近拓扑优化后的水平集曲面，利用散点优化拟合提取曲线并转换成G代码实现数控编程进行拓扑结构的制造加工；文献[13，14]提出了将能量法引入水平集理论，将水平集方法进一步提升，并使用反应扩散方程在编程语言中进行进一步验证。

国内外对水平集的研究中主要是针对单目标、收敛速度的优化[15-17]，针对多目标拓扑优化设计较少。本文通过扩散反应方程更新水平集函数方程引入退火算法，结合多个目标函数建立新的边界，使优化过程中的形状结构改变通过对目标函数的约束来实现，并以体积、应力、变形、频率作为目标进行优化，将4个目标控制在一定范围内，加快优化收敛速度，减少优化时间。

1 边界求解

水平集多目标拓扑优化是通过求解多目标函数建立扩散反应方程更新水平集函数的，从而在结构中生成新的空洞区域和边界区域。本文以两边穿孔板(见图1)为例，平板左端圆孔固定，以体积最小、应力最大320 MPa、变形最大0.5 mm为优化目标。带孔平板具体参数如表1所示。

表1 带孔平板参数

图1 带孔平板

根据改进水平集理论建立数学模型进行迭代计算，收敛速度较快，迭代40次满足条件，体积最小为原来的47%，导出16、23、40次的迭代情况，结果如图2～图4所示。

图2 迭代16次体积为原来56%时 图3 迭代23次体积为原来50%时 图4 迭代40次体积为原来47%时的模型边界的模型边界的模型边界

通过图1～图4我们看到：由于平板左端圆孔固定，迭代开始时右端材料减小较多，同时平板右端出现孔洞，面积较大；随着迭代的进行，大面积的孔洞开始消融分解向左端固定圆孔延伸，形成分散分布的小面积孔洞；迭代达到40次时平板的优化形状固定，在平板上分布着大小不一的相对规则的孔洞，此时平板体积为原来的47%。从优化开始到结束总共迭代40次，收敛较快，并且优化的形状较为规则。迭代次数与体积变化、应力、变形、频率的关系如图5～图8所示。

图5 迭代次数与体积变化的关系 图6 迭代次数与应力的关系

图7 迭代次数与变形的关系 图8 迭代次数与频率的关系

由图5可知：迭代开始后体积迅速减小，迭代到16次时体积已经减少50%左右，迭代20次后体积减少的曲线变得比较平缓，在后期的20次迭代体积只减少了9%左右，在迭代后期主要进行形状和结构优化分布，由于受到应力、变形和频率的限制，体积并不会无限制减少，达到原来的47%时体积基本不再减少，迭代停止。

由图6可知：迭代开始后应力逐渐增加，迭代10次之后增速变大，20次之后应力增加变缓接近水平线。由于体积的减少，受力部分及约束位置应力会不断增加，迭代20次之后应力已经接近300 MPa，此时应力已经接近本文设置临界值320 MPa，应力不再大面积调整平板的体积减少，主要是调整形状和结构来平衡应力分布。

由图7可知：随着迭代次数的增加变形逐渐增大，并且迭代开始时增加较快，前16次的迭代曲线近似于线性变化，变形增加非常快，随着迭代的深入变形逐渐变得平缓，逐渐靠近目标值0.05 mm。

由图8可知：随着迭代次数的增加预应力下频率逐渐增大，并且迭代前期比迭代后期增加速度快，前10次的迭代频率呈线性变化，增加非常快，随着迭代次数的增加曲线逐渐变得平缓，逐渐靠近目标值2 000 Hz，由于平板质量减少频率逐渐增大，但是同时要受到体积、应力、变形的约束。

通过以上分析可知，在预应力保持不变的情况下，多目标拓扑优化时，在体积最小的前提下设置应力、变形和频率等边界条件限制，随着体积的减少应力、变形和频率都逐渐增大，并且接近极限值时结构体积变化较小，主要进行形状和结构的排列优化。用引入退火算法后的水平集理论同时对4个目标进行优化，拓扑优化的收敛速度非常快，只进行了40次迭代。

2 实验验证

将最终优化的模型按照边界建模，如图9所示。导入ANSYS进行网格划分，如图10所示。网格质量属性如表2所示，网格质量属性非常好。然后进行模拟计算，结果如图11～图13所示。

图9 优化模型图10 网格划分模型

图11 优化模型的应力分布情况图12 优化模型的变形分布情况图13 优化模型的第1阶模态

表2 网格质量属性

由图9～图13可知:优化后的模型体积为137.88 mm3，最大应力为314.8 MPa，最大变形为0.049 406 mm，第1阶模态频率为1 986.6 Hz。与利用Metropolis准则控制的扩散反应方程更新水平集的多目标拓扑优化方法计算结果对比如表3所示。

由表3可知，利用Metropolis准则控制的扩散反应方程更新水平集的多目标拓扑优化方法计算数值与建模分析数值误差在2%以内，结果表明新的改进水平集计算数值完全满足设计要求。

表3 计算数值与模拟数值对比

3 结论

(1) 利用退火算法控制的扩散反应方程更新水平集的多目标拓扑优化方法实现体积、应力、变形、频率多目标同时优化收敛速度较快，迭代次数较少。

(2) 基于退火算法的水平集优化过程中体积变化的同时受到应力、变形、频率的约束，应力、变形、频率等多个目标在变化过程中不仅受到各自条件的约束，它们之间与体积相互制约，有效地控制了收敛速度与迭代次数，实现了水平集多目标的拓扑优化。

(3) 通过提取退火算法水平集拓扑优化模型边界建模并计算验证了本文得到的拓扑模型和改进水平集拓扑优化方法的有效性，可为水平集多目标拓扑优化的改进提供有效依据。