一类解析函数的Bohr定理

李程鹏， 李锦成

(华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021)

用C表示复平面，D={z∈C:|z|<1}表示C中的单位开圆盘，Dr=D(0，r)表示以原点为圆心、r为半径的开圆盘.H(D，Ω)表示从D映到Ω⊂C中的解析函数全体，A(D)表示D内正规化解析函数的全体，K(D)表示D内正规化单叶解析凸函数的全体.在单复变几何函数论中，凸函数都与正实部函数密切相关.定义正实部函数子类，记为Pα(D)[1]，0<α≤1，即

Pα(D):={f∈A(D):Re[f(z)/z]≥α}.

注1当α=1时，由极值原理可知，f(z)≡z.

注2[1]K(D)⊂P1/2(D).

在单复变中，Bohr[2]得到了经典的Bohr定理.

上式中：d为欧式距离；∂D为D的边界.基于此形式，Bohr不等式可以被推广到任何区域Ω⊂C[6-9].

给定一个区域Ω⊂C，找出最大的半径rΩ>0，使得对任一f∈H(D，Ω)和|z|

类似地，可以定义一类解析函数满足Bohr现象.

则称M满足Bohr现象，其中，最大的r*称为M的Bohr半径.

Bohr现象是一个活跃的研究领域，Ali等[11]确定了几类解析函数的Bohr半径，包括α级凸函数类及近于凸函数子类.

由于K(D)⊂P1/2(D)，解析函数族Pα(D)的Bohr半径将是一个有意义的问题.

给出上述问题的解答，通过建立Pα(D)的增长和掩盖定理，得到了Pα(D)的Bohr定理，给出了相应的Bohr半径.

1 相关引理

为了给出文中的主要结果，需引入以下2个引理.

引理1[12]设函数h(z)在D内解析，Re[h(z)]>0，且h(0)=1，则当z∈D时，

|an|≤2Re(a0).

证明：为了读者方便，给出证明，具体可参考文献[13].

对于任一正整数n≥1，由于

从而，

即|an|≤2Re(a0).

2 主要结果

定理1设f∈Pα(D)，0<α≤1，则当z∈D时，有

从而，Dα⊂f(D).

从而，

于是，

即

上式左边令|z|→1，可得Dα⊂f(D).

注3若f∈Pα(D)，则f(0)=0，且d(f(0)，∂f(D))=d(0，∂f(D))≥α.

(1)

其中，

(2)

为Pα(D)的Bohr半径.

根据引理2，有

|an|≤2(1-α)，n≥2.

从而，

再结合注3，有d(f(0)，∂f(D))=d(0，∂f(D))≥α.

解不等式组

经计算，可得|z|

下面证明r0为Pα(D)的Bohr半径，即r0为最佳常数.

这表明r0为Pα(D)的Bohr半径.