乔化稀植苹果树冠投影的理论模型研究

许华森，孙志梅

（河北农业大学 资源与环境科学学院，河北 保定 071001）

农林复合系统在解决农林争地、提高土地生产力、增加农民收入、农村经济和环境协调发展等方面发挥了巨大的效益［1］。通过物种的水平镶嵌、立体搭配和时间组合，农林复合系统打破了单一的种植结构，使不同物种之间对水肥光等资源的分配和利用出现新的相互作用关系［2］。在黄土高原，对农林复合系统种间关系的研究主要集中在水肥光的竞争与互补以及化感作用等方面。大量研究认为，黄土高原农林复合系统种间关系调控的关键是减少种间水肥竞争［3-5］。但是，系统内复杂的群落结构及其对太阳辐射的吸收、反射、透射等作用，会强烈地改变林下太阳辐射的强度和分布范围［6］，导致林下太阳辐射具有高度的时空异质性，进而影响林下作物的生态过程［7-8］，而目前对农林复合系统中林下光照时空动态分布的研究还比较薄弱。

林下太阳辐射是决定生态系统生产力的关键，而遮阴不利于林下生态系统的构建和发展，特别是在前期以农为主的农林复合系统中。因此，亟需建立一个关系简明、精确性高的林下光照时空动态模型，指导系统的结构优化与调控。树冠投影的主要基础就是建立树冠形状的数学描述，主要类型为基于树冠横切面的二维形状模型、横断面与纵断面形状相结合的三维树冠模型［9］。吴力立和王宗淳则将树木的冠形概括成圆锥体、圆球体、圆柱体，并认为在林农复合经营系统中圆锥形树冠对林下作物冠层太阳辐射的截获作用最小［10］。在树冠投影模型构建过程中，复曲面对称算法常用于构建树冠投影的三维空间坐标体系，确定树冠投影的空间位置［11］。通过建立树冠投影关键点的位置方程，一些研究者构建了人工林树冠投影边界模型，并用于分析树冠投影的空间变化以及林下光环境分布特征［12-14］。以上研究主要是模拟单株林木树冠的投影长度、讨论树冠的投影形状及其变化，估算树冠的投影面积。但这些模型主要是将树冠假定为单一的几何体，很少有研究涉及树龄对冠形特征的影响。因此，本研究拟通过解析不同树龄的苹果树冠形几何特征，推导树冠上任一点投影至地面的坐标方程，再根据树冠关键点的投影位置，建立单株苹果树冠投影模型，以期为苹果—农作物复合系统的作物种植设计提供理论方法。

1 材料与方法

1.1 试验地概况

试验地位于山西省吉县柏乡村，属于温带大陆性季风气候，年均气温10.5 ℃，＞10 ℃有效积温3 362 ℃，日照时数为2 310 h，年平均无霜期195 d，多年平均降水量496 mm。研究区为典型的黄土高原残垣沟壑区，该地区主要种植苹果树，且多采用乔化稀植栽培技术，在苹果树没有进入盛果期（种植后8 ～9 年）之前，林下巷道常种植作物获得收益。

1.2 试验设计

1.2.1 试验材料 以试验样地的苹果树作为研究对象，其选择试验样地4 年生和6 年生的所有苹果树，测量基本特征的测量。

1.2.2 树冠冠形几何特征解析 乔化稀植苹果的冠幅在栽植后的1 ～4 年较小，冠形定型为自由纺锤形，几何特征为上小下大，呈窄卵圆形，且上半轴与下半轴差距较大。在苹果栽植后第6 年，冠层结构确定为疏散分层形，呈阔卵圆形，即其上半轴和下半轴差距较小。

1.2.3 树冠投影坐标系建立 以树冠中心O 为原点建立空间坐标系，则树冠上任一点的坐标为（x,y,z）。将原点O 移至树干基部O'，则树冠上任一点的坐标在X、Y轴上未改变，而在Z轴上受树干高Hb和树冠下半轴高Hcd的影响，即树冠上任一点的坐标（x',y',z'）为（x, y, z+Hcd+Hb。

1.2.4 树冠表面任意点投影位置计算 根据张蕾的研究［15］，树冠上任一点投影至地面的坐标（x",y"）在原点O'的坐标系中为（x+(z+Hcd+Hb)·sinA·coth,y-(z+Hcd+Hb)·cosA·coth），其中x=［-W，+W］，y=［-W，+W］，z=［-Hcd,Hcu］，其中Hcu为树冠上半轴高，W为冠幅半径，A为方位角，h为太阳高度角。

1.2.5 模型精度评价方法 对模型预测值与实测值进行相关分析或回归分析时，采用决定系数（R2）来评价两类数据的相关性和预测结果的优劣。

2 树冠投影模型建立与精度评价

2.1 树冠投影边界模型建立

根据太阳高度角、树冠上顶点至树冠最大冠幅水平面边界处构成的直线与该平面的夹角（α）、树冠下顶点至树冠最大冠幅水平面边界处构成的直线与该平面的夹角（β）3 个角度之间的相互关系，单株苹果树冠在地面上的投影主要分为3 种情况。

（1）当0≤h＜β时，单株苹果树冠投影的为卵圆形（图1A），其中该卵圆形的焦点O"为树冠中心O 的投影，距目标树的最远端顶点为树冠上顶点的投影点（图1A 中点1"）、最近端顶点为树冠下顶点的投影点（图1A 中点2"），此时其投影边界函数为F(x",y")=x"2/a2+y"2/(ky"+b)2-1=0，其中a为点O"的横坐标，b为点O"的纵坐标；k=|1"O"|/|O"2″|。

图1 单株苹果树冠投影的几何图形及其关键点Fig. 1 Projection boundary and its notes of crown for single apple tree

根据投影边界函数，树冠投影关键点1"、2"、3"、4"、O"的坐标分别为：1"=(H·sinA·coth,-H·c o sA·c o th)，2"=(Hb·s i nA·c o th,-Hb·cosA·coth)，3"=(［W+(Hcd+Hb)2·cot2h］1/2·sin(A+∠3"O'O"), -［W+(Hcd+Hb)2·cot2h］1/2·cos(A+∠3"O'O"))，4"=(［W+(Hcd+Hb)2·cot2h］1/2·sin(A-∠4"O'O"), -［W+(Hcd+Hb)2·cot2h］1/2·cos(A-∠4"O'O"))，O"=((Hcd+Hb)·sinA·coth，-(Hcd+Hb)·cosA·coth)，其中∠3"O'O"=∠4"O'O"=acrtan(W/|O'O"|)。

（2）当β≤h＜α时，单株苹果树冠投影为卵圆上半部分和一个内切于该卵圆的半圆结合而成的图形（图1B），其中卵圆上半部分是卵球体树冠上半部表面弧线的投影且顶点为树冠上顶点的投影（图1B 中点1），圆是以O"为圆心、最大冠幅（W）为半径构成的半圆。根据此时单株苹果树冠在地面上的投影几何图形可知，点3″和4″确定的直线是卵圆上半部分和半圆的分界线，则此时的单株苹果树冠的投影边界函数，在y"＜l3"4"(x") 时，F(x",y")=x"2/a2+y"2/(ky"+b)2-1=0；在y"≥l3"4"(x") 时，F(x",y")=(x"-a)2+(y"2-b)2-W2=0，其中k=|1"O"|/|O"5″|。

根据投影边界函数，树冠投影关键点1"、3"、4"、O"的坐标与0≤h＜β条件的计算方法相同，而

（3）当α≤h＜90°时，单株苹果树冠投影的几何图形为圆（图1C），即以O"为圆心、最大冠幅（W）为半径的圆，投影边界函数为F(x",y")=(x"-a)2+(y"2-b)2-W2=0。

根据投影边界函数，树冠投影关键点3"、4"、O"的坐标与0≤h＜β条件下的计算方法相同，而

2.2 太阳辐射半影效应

太阳光照条件下林木冠层在地面上形成的投影，受太阳圆面张角的影响，投影边界会缩小或扩大。缩小后的投影称为绝对投影面积区（Ca），扩大后的投影称为可能投影面积区（Cp），在绝对投影面积区和可能投影面积区之间形成的区域就是半影区（C）。为消除半影效应对树冠投影的影响，需计算树冠投影的有效遮荫面积（Se）。其中，缩小后的绝对遮荫面积Ca为：

式中，Hc为树冠冠高，(Hc-Hc')为树冠冠层距地面高；Hcr为树冠特征深度，用W/ρ表示，ρ为太阳圆面张角；g·cosh为树冠冠形的完全积分。

进一步则得出树冠有效投影面积为：

式中，V（Hc'）为冠层叶面积密度。

2.3 模型精度评价

2.3.1 树冠投影边界模拟效果 应用理论推导的树冠投影模型计算，得到4 年生和6 年生苹果树在林下作物大豆开花期1 d 内各时段的树冠投影边界数值，将其与拍照法得到的边界实测值进行比较，结果如图2 所示。按0.5 的步长对投影边界的模拟计算和实测值进行插值计算表明，4 年生和6 年生苹果树树冠投影的计算值和实测值决定系数均大于0.76（P＜0.01）（表1），说明利用建立的单树苹果树冠投影边界模型可较好地模拟卵圆形树形的4年生和6 年生苹果树。根据计算值和实测值间决定系数的时间变化情况，4 年生和6 年生苹果树冠的地面投影在上午8:00、9:00 和下午15:00、16:00 拟合度相对较差，但其他时间的拟合效果较理想。

表1 单株苹果树冠投影计算值与实测值决定系数Table 1 Decermination coefficient between calculated and measured values of crown projection

图2 单株苹果树冠投影边界的计算值和实测值比较Fig. 2 Comparison of calculated and measured values of projection boundaries for single apple tree

2.3.2 树冠投影面积模拟效果 将单株苹果树冠投影面积的计算值和实测值进行回归分析，得出4 年生苹果树的方程为Y= 0.974X+ 1.06（R2= 0.965，P＜0.01），6 年生苹果树的方程为Y= 0.981X+ 0.923（R2= 0.938，P＜0.01），式中，Y为树冠投影面积实测值，X为树冠投影面积计算值。在回归方程中，4 年生和6 年生苹果树冠投影面积计算值的决定系数分别达到了0.965、0.938，这表明树冠投影面积的计算值和实测值非常接近。计算值在回归方程的系数均小于1 还表明，树冠投影模型对树冠投影面积的模拟计算值比实际值要偏小。

3 讨论

半影效应在太阳辐射传输中具有十分重要的意义，特别是对农林复合系统中高大的乔木而言，在研究林木冠层投影时必须将冠层半影效应考虑在内［16］。树冠投影模型模拟的遮阴边界和遮荫面积精度较高，能够较好地模拟4 年生和6 年生苹果树的树冠投影边界和投影面积，主要是因为消除了半影效应对树冠投影的影响，避免了模拟计算值对投影面积的低估以及投影位置的偏移预测。王晶晶等对比分析了实测树冠遮阴范围与现有模型得出的树冠范围，结果表明实测图与模型推算图相比，存在一定程度的偏移和缩小，通过修正太阳方位角和高度角，即消除半影效应，能够进一步提升果树冠下光分布模型的精度［16］。同时，有效遮阴面积的确定也降低了林下冠层辐射模型中对太阳辐射强度的模拟误差，准确的预测林木的遮阴效果［17］。因此，在建立林下光照分布模型时，需要消除半影效应，以准确预测林下太阳辐射范围和强度的时空动态变化。

消除半影效应后，模型仍然会存在一定程度的误差［18］。其中，树冠投影边界模拟计算值与实测值间的差异主要是来自于树冠投影边界在实际测量和冠形几何特征描绘中的误差［19-20］。树冠实际几何体与树冠理论几何体的差异，尤其是树冠顶部，该部分的差异是造成上午8:00、9:00 和下午15:00、16:00 模型拟合精度偏低的主要原因。树冠投影面积的实际测量通过对树冠投影进行拍照，再用计算机对图像进行描述处理，根据阴影区的像素数量计算投影面积，所以树冠投影面积取决于投影边界的实测描述，而在处理图像、描述投影边界时，边界上处于投影区和非投影区交错地带的非投影像素经常会被计算在内，从而扩大了投影范围，进而导致树冠投影面积的实测值大于计算值。

4 结论

（1）根据太阳高度角与树冠冠形特征参数间的数学关系，单株树冠投影边界模型可分为卵圆形函数、卵圆形方程和圆形方程构成的分段函数、圆形函数3种情况，并在消除半影效应对树冠投影的影响后，单株苹果树冠投影模型表现出较好的模拟效果。

（2）该模型对阴影模拟效果主要取决于树冠与其几何特征描述的匹配度，获取大量树冠冠形照片，构建冠形几何特征，有利于更准确地反映树冠特征。因此，下一步研究需要利用大数据分析，构建包含更多树冠冠形情景的树冠投影模型，并进一步开发包含太阳辐射强度和光质的林下冠层辐射传输模型。