一类随机偏微分方程的有效近似

李益军，陈光淦

四川师范大学 数学科学学院，成都 610068

随机偏微分方程应用于物理学的众多领域，近年来在各数学分支的发展推动下，随机偏微分方程也得到相应发展和研究，如关于随机Burgers方程[1]、随机Swift-Hohenberg方程[2]等的研究．

在内积为〈·，·〉，范数为‖·‖的Hilbert空间H中研究如下的非线性随机偏微分方程

(1)

其中u=u(t，x，ω)，x∈有界区域D． 小扰动项εLu表示与分支的距离． 算子A假定为自伴随且非正的，噪声由一般的Q-维纳过程给出，详见第一节．

本文在稳态改变的附近，运用时间尺度变换来导出方程的有效近似系统． 值得指出的是，扰动强度与噪声强度对系统的有效近似有着重要影响，使得有效近似系统的近似形式和收敛率有着重要差异[3-7]．

1 预备知识

用N：=kerA表示A的核空间，T：=N⊥表示N在H中的正交补空间．Pc为从H到N的投影，Ps为从H到T的投影． 假设Pc，Ps与A可交换，A-1dW存在，假设N为n维，其标准正交基为{g1，g2，…，gn}．

分数阶Sobolev空间Hα定义如下

定义算子Dα：Dαgk=kαgk，因此有‖u‖α=‖Dαu‖．

线性算子A生成解半群eAt满足

引理1在假设1下，存在常数M>0，K>0，使得对所有的t>0，β≤α，u∈Hβ有

假设3B是一个从Hα×Hα到Hα-β的有界双线性算子，其中α，β由假设2给出． 不失一般性，可假设B是对称的，即B(u，v)=B(v，u)，且满足PcB(u，u)=0，u∈N． 本文中，取B(u，v)=uv．

定义1定义随机卷积

τ*：=T0∧inf{T>0|‖a(T)‖α>ε-k或‖ψ(T)‖α>ε-2k}

定义3对于一个实值的随机过程族{Xε(t)}t≥0． 如果对每个p≥1都存在一个常数Cp满足

则我们称Xε=O(fε)．

最后指出，用字母C表示所有正常数，它依赖于T0，k，α，B，Q，L，A及其给出的数据． 同时规定如下简记符号：Bs：=PsB，Bc：=PcB． Lc，Ls，Ac，As，Wc，Ws同理．

2 主要结论

对于方程(1)，将其解u(t)分解为两部分

(2)

其中a∈N，ψ∈T． 选取时间尺度变换为T=εt，将(2)式代入(1)式，并分别做Pc，Ps投射可得到

(3)

和

(4)

(5)

其中r(T)是ε的高阶项． 忽略(5)式中的小项，可以得到

因此

令b(T)满足方程

(6)

则方程(6)就是逼近随机偏微分方程(1)的有效近似系统(也被称为振幅方程[10])．

进一步，由(3)和(5)式可得

(7)

其中

(8)

下面给出本文主要结论．

(9)

3 主要结论的证明

为证明本文主要定理1，需要依次估计方程(2)中的ψ(T)，方程(8)中的R(T)以及方程(6)中的b(T)．

3.1 ψ有界性的证明

引理2在假设1，2，3，4下，T>0，z(T)是如下方程的解

(10)

则对ε∈(0，1)，T≤τ*有

(11)

证方程(4)的温和形式为

因此

下面依次估计I1，I2，I3．

由引理1，0≤β

令

η=ε-1K(T-τ)

则

(12)

类似的，对所有的T≤τ*

(13)

进一步

(14)

结合(12)-(14)式，(11)式得证．

引理3[8]在假设1，4下，取方程(10)的初值z(0)满足‖z(0)‖α=O(1)． 则对每一个k0>0，p>1和T>0，存在常数C>0使得

(15)

证这是一个标准的OU-过程有界估计，其证明过程可参考文献[8]中引理20的证明，区别仅在于ε的指数不同．

引理4在假设1，2下，利用定义2中τ*的定义，对所有的ε∈(0，1)，

(16)

证利用引理1和假设2，与引理2中I1的证明类似，可得对T<τ*

引理5在假设1和假设3下，利用定义2中τ*的定义，对所有的ε∈(0，1)，

(17)

证利用引理1和假设2，与引理2 中I2的证明类似，可得对T<τ*

引理6在引理2、引理3、引理4、引理5成立的条件下，对p>1和所有的k0>0，存在常数C>0，使得

(18)

证根据(11)式，由三角不等式和引理2，有

再根据引理3、引理4、引理5，对于k0≤2k，引理6得证．

3.2 R(T)有界性的证明

引理7在假设1，2，3，4下，对所有的p>1，存在一个常数C使得

(19)

与引理2中I1，I2，I3估计类似，对(8) 式中定义的R(T)各项有

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3.3 b(T)的先验估计

引理8在假设1，2，3，4下，设随机过程b(T)满足E‖b(0)‖≤C与方程

(27)

则对于T0>0，存在一个常数C使得

(28)

其中使用了〈dt，dt〉=〈dt，dW(t)〉=〈dW(t)，dt〉=0，〈dW(t)，dW(t)〉=dt．

在(28)式两边同时取期望有

由Gronwall不等式得

E|b(T)|2p≤C

即

对(28)式先取上确界，再取期望有

再使用B-D-G不等式和Hölder不等式得

(29)

证令

h(T)=a(T)-b(T)

则

(30)

对(30)式等式两边在[0，T]上积分后取上确界，再取期望得

(31)

故

3.4 定理1的证明

引理10设集合Ω*⊂Ω且在Ω*上成立

则有P(Ω*)≥1-Cεp．

证由Ω*定义有

利用Chebychev不等式及引理6、引理7、引理8，对充分大的q(q为p的共轭指数)有

P(Ω*)≥1-Cεqk≥1-Cεp

定理1的证明

结合定义2与引理10可知

结合三角不等式与(2)式、(29)式，在Ω*上有

即

在Ω*上成立，定理1得证．