控制器模态不匹配的半马尔可夫系统的可达集分析

王国良，孙媛媛

（辽宁石油化工大学信息与控制工程学院，辽宁抚顺113001）

在过去的几十年里，一类马尔可夫跳变线性系统(MJLS)模型受到了广泛关注[1⁃2]，产生了许多分析方法，如跳转延迟[3]、同步[4]、保成本控制[5]、故障检测[6]等。然而，马尔可夫过程的驻留时间一般服从指数分布，在应用中存在许多局限性。为克服这一缺陷，半马尔可夫跳变线性系统(S⁃MJLS)[7]引起了人们的关注，例如在稳定性[8]、一般不确定转移速率[9]和H∞滤波[10]等几个方面都进行了广泛的研究。

近年来，关于可达集的研究得到了广泛的关注，并被考虑应用于动态系统，如马尔可夫跳变神经网络[11]、离散时间切换系统[12]和周期正系统[13]。为了满足可达集的设计要求，需要设计一个控制器，使可达集包含在一个给定的椭球集内[14]。对于系统控制，大部分的控制方法被分为模态独立控制[15]和模态依赖控制[16]两种。模态独立控制器设计简单，但无法处理工作模态改变时的动态行为。模态依赖控制器理论上可以跟踪变化的模态，但是实际应用效果不理想。近年来，提出了一些特别的控制方法，如部分模态依赖控制和无序控制[17]。但是，上述文献中的控制器模态和系统模态是相对应的，存在一种固定不变的关系，有很大的局限性。当系统模态和控制器模态之间的关系不恒定时，如何设计相应的控制器使可达集有界，对此问题却很少有文献研究，因此本文提出了一种控制方法来解决这个问题。

本文研究了控制器模态不匹配的半马尔可夫系统的可达集问题。设计了一种控制器，当系统模态与控制模态之间的关系不匹配时，使系统的可达集在给定椭球集内；利用S⁃MJLS 和李雅普诺夫函数的结构特征，得到充分条件，并进一步推广到矩阵的不确定性和部分已知条件；将模态不匹配的控制策略与模态依赖的控制策略和模态独立的控制策略进行比较，通过算例验证该方法的有效性。

1 问题描述

在一个概率空间(Ω,F,P)内，考虑一个随机跳变线性系统，其动态方程为：

2 主要结果

3 仿真算例

给定关联矩阵Γ值为：

给定参数λ1=-0.1，λ2=2.0，λ3=4.0 和μ=5。系统模态r(t)的仿真结果如图 1 所示。控制信号φ(t)的仿真结果如图2 所示。驻留时间最大值τmax=0.5，驻留时间最小值τmin=0.3。

图1 模态信号r(t)的仿真结果

图2 控制信号φ(t)的仿真结果

在定理1 中得到的控制器增益分别为：K1=[ -21.852 8 4.765 9 ]；K2=[ 26.084 5 -95.806 7 ]；K3=[ -71.287 1 113.350 4 ]。

系统（21）的状态响应如图3 所示。由图3 可知，系统(21)是稳定的，证明所提控制方法的可行性。当初始模态为x0=[ -0.2 0.1 ]T时，系统（21）的状态轨迹如图4 所示。

图3 系统（21）的状态响应

图4 系统（21）的椭球集和可达集

通过提出的控制策略（5），可以将轨迹限制在椭球区域内，证明系统(21)是有界的，起点用红点标出。在模态不匹配的情况下，模态依赖控制器（39）和模态独立控制器（46）的状态轨迹分别如图5 和图6 所示。由图5 和图6 可知，在模态不匹配情况下，系统状态是发散的。因此，定理1 的方法优于这两种控制方法，能允许误差模态的发生。针对以上仿真结果，对于不同的控制设计，从实用的角度来看，控制器（5）是更有效的。

图5 系统（42）的椭球集和可达集

图6 系统（49）的椭球集和可达集

4 结 论

研究了控制器模态不匹配的连续S⁃MJLS 可达集问题。首先，当出现控制器和系统模态不匹配的情况时，基于半马尔可夫过程的结构特征设计模态不匹配控制器，得到使系统的可达集在给定椭球集内的存在条件。然后分别分析了模态依赖控制器、模态独立控制器的可达集在给定椭球集内的条件。随后考虑了相关矩阵中含有不确定概率或者相关矩阵是部分已知的情况，并得到相应的条件。不匹配控制器将系统的可达集轨迹限制在椭球区域内，对比验证了该方法的有效性和优越性。本研究也适用于其他实际问题，如航海、自主车辆控制、电力系统的动态安全等方面。