最大值与最小值的数学期望的几种求法

王瑞瑞 李金伟 李彩娟

【摘要】针对一类特殊的多维随机变量函数——最大值和最小值的数学期望求解问题，本文给出了四种计算方法，并指出各种计算方法的适用情况，以期能够使学生开阔思路，做到举一反三、触类旁通.

【关键词】数学期望;分布;最大值;最小值

【基金项目】河南省高等学校教改项目（2019SJGLX504），2020年度信阳市哲学社会科学规划项目（2020SH021），信阳学院校级教改项目（2020YJG018，2019YJG26）

1引言

数学期望，又称期望或均值，是随机变量按概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置[1].数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，最初起源于历史上著名的“分赌本问题”[2].随机变量数学期望研究的文献较多，如，王瑞瑞等关于负二项分布的数学期望和方差的一种求法[3]，丁黎明关于随机变量数学期望的教学实践与探索[4]，孙莉敏等关于连续随机变量数学期望的定义式的推导[5]等.

在实际生活中，我们常常要用到一类特殊的多维随机变量的函数——最大值和最小值.如，为研究某地区未来五十年涝灾或干旱发生的可能性，我们就需要研究该地区过去五十年中最大年降雨量和最小年降雨量.又如，实际生活中某地区的最大风速、最大车流量、最小损耗等均与最大值和最小值有直接的关系.同时，计算最大降雨量、最大风速、最大车流量等的平均值，均需计算最大值的数学期望;而计算最小降雨量、最小损耗等的平均值，则需要计算最小值的数学期望.

而关于最大值和最小值这类特殊的多维随机变量函数的数学期望研究的文献资料较少，罗建华仅给出了二维正态分布的最大值数学期望的求法[6，7].故笔者结合自身教学实践，给出了最大值和最小值数学期望的四种计算方法，并指出各种计算方法的适用情况.

2预备知识

定理1[1，2]若随机变量X的分布列为p（xi）或密度函数为p（x），则X的某一函数g（X）的数学期望为

E[g（X）]=∑ig（xi）p（xi），离散，∫+∞-∞g（x）p（x）dx，连续

定理2[1，2]若二维随机变量（X，Y）的联合分布列为p（xi，yj）或联合密度函数为p（x，y），则Z=g（X，Y）的数学期望为

E[g（X，Y）]=∑i∑jg（xi，yj）p（xi，yj），离散，∫+∞-∞∫+∞-∞g（x，y）p（x，y）dxdy，连续

3最大值和最小值数学期望的几种求法

方法一直接计算法.先写出（X，Y）的联合分布列或联合密度，再利用上述定理2直接对最大值最小值的数学期望进行求解.

例1系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，设L1，L2的寿命分别为X，Y，且均服从指数分布Exp（λ），试求该系统L的平均寿命.

解由于当且仅当L1，L2都损坏时，系统L才停止工作，所以系统L的寿命为Z=max{X，Y}，

故求系统L的平均寿命即求E（max{X，Y}）.

因X和Y独立同分布于指数分布Exp（λ），从而（X，Y）的联合密度函数为

p（x，y）=λ2e-λx-λy，x>0，y>0，0，other.

由定理2，得

E（Z）=∫+∞0∫+∞0max{x，y}·λ2e-λx-λydxdy

=∫+∞0∫x0x·λ2e-λx-λydxdy+∫+∞x∫y0y·λ2e-λx-λydxdy

=∫+∞0xλ2e-λxdx∫x0e-λxdy+∫+∞0yλ2e-λydy∫y0e-λxdx=∫+∞0x·λe-λxdx+∫+∞0e-2λxdx=1λ+12λ=32λ.

注1 方法一通過对最大值max{X，Y}讨论进行分段积分达到计算的目的（同理可对最小值min{X，Y}讨论），在计算过程中充分运用了分部积分法、换元积分法、变上限积分和常见分布的数学期望公式等内容.上述方法虽能将二维随机变量的最大值或最小值的数学期望求出，但计算过程较烦琐.特别地，当面对的是n维随机变量的最大值或最小值的数学期望求解时，上述方法的计算过程会更加复杂，此时我们可采用第二种求解方法.

方法二先求出最大值或最小值的分布，然后根据定理1求出其数学期望.

例2设在区间（0，1）上随机抽取n个点，求相距最远的两点间距离的数学期望.

解若记从区间（0，1）上随机抽取的n个点为X1，X2，…，Xn，则X1，X2，…，Xn独立同分布于（0，1）上的均匀分布.又记Y=max{X1，X2，…，Xn}，Z=min{X1，X2，…，Xn}，则相距最远的两点间距离即为Y-Z.因此，本题即求最大值与最小值差的数学期望E（Y-Z）.

因X1，X2，…，Xn独立同分布于（0，1）上的均匀分布，故其密度函数和分布函数分别为

p（x）=1，0

故Y=max{X1，X2，…，Xn}的分布函数为

FY（y）=P（Y≤y）=P（max{X1，X2，…，Xn}≤y）

=P（X1≤y，X2≤y，…，Xn≤y）=P（X1≤y）P（X2≤y）…P（Xn≤y）=[F（y）]n=yn，0

从而Y的密度函数为pY（y）=nyn-1，0

同理Z=min{X1，X2，…，Xn}的分布函数为

FZ（z）=P（Z≤z）=P（min{X1，X2，…，Xn}≤z）

=1-P（min{X1，X2，…，Xn}>z）

=1-P（X1>z，X2>z，…，Xn>z）

=1-（1-F（z））n=1-（1-z）n，0

从而Z的密度函数为pZ（z）=n（1-z）n-1，0

由定理1，可知

E（Y）=∫10y·nyn-1dy=nn+1，

E（Z）=∫10z·n（1-z）n-1dz=∫10（1-t）·ntn-1dt（t=1-z）=tn10-nn+1tn+110=1-nn+1=1n+1.

从而，相距最远的两点间距离的数学期望为

E（Y-Z）=nn+1-1n+1=n-1n+1.

注2关于多维随机变量的最大值、最小值的数学期望的计算，相较于计算多重积分，计算定积分更加容易，故方法二是先求出多维随机变量的最大值、最小值的分布，然后将多维随机变量的最大值、最小值的数学期望的多重积分计算转化为一维随机变量的数学期望的定

积分计算.

显然例1可用方法二求解，但例2一般不用方法一求解.由于方法二需要先求出最大值、最小值的分布函数，故当随机变量Xi的分布函数不存在显式表达式时，方法二则不适用.如例3，因为服从正态分布的随机变量的分布函数没有显式表达式.此时，可以考虑利用方法三求解最大值、最小值的数学期望.

方法三利用max{X，Y}=X+Y+X-Y2和min{X，Y}=X+Y-X-Y2求解.

例3设随机变量X与Y相互独立，都服从正态分布N（μ，σ2），试证E（max{X，Y}）=μ+σπ.

证因max{X，Y}=X+Y+X-Y2，故

E[max{X，Y}]=12[EX+EY+EX-Y].

由X，Y独立同分布于正态分布N（μ，σ2），可知EX=EY=μ，且Z=X-Y～N（0，2σ2），故Z的密度函数为pZ（z）=12σπe-z24σ2，-∞

EX-Y=EZ=∫+∞-∞z12σπe-z24σ2dz

=2∫+∞0z·12σπe-z24σ2dz（被积函数为偶函数）

=-4σ22σπe-z24σ2+∞0=2σπ.

于是

E[max{X，Y}]=EX+EY+EX-Y2=μ+σπ.

结论得证.

注3方法三更适用于“两个”随机变量的最大值、最小值的数学期望的求解问题，且要求容易求出差（X-Y）的分布，从而该方法也将多维随机变量最大值、最小值的数学期望的多重积分计算问题转化为一维随机变量的数学期望的定积分计算问题.当（X，Y）的联合密度函数p（x，y）的非零区域D关于x，y具有轮换对称性，即若把x与y对调后，区域D不变（或区域D关于y=x对称）时，还可用如下方法四求解最大值、最小值的数学期望.

方法四利用二重积分的轮换对称性进行计算.

例4设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N（0，1），试求E（min{X，Y}）.

解因X和Y相互独立，且都服从正态分布N（0，1），从而（X，Y）的联合密度函数为

p（x，y）=12πe-x2+y22，-∞

由定理2，得

E（min{X，Y}）=∫+∞-∞∫+∞-∞min{x，y}·12πe-x2+y22dxdy（*）

当y

∫+∞-∞∫x-∞y·12πe-x2+y22dydx（1）

当y≥x时，（*）式右端的积分为

∫+∞-∞∫y-∞x·12πe-x2+y22dxdy（2）

由于式（1）（2）积分中x与y对调后，积分表达式不变，故由轮换对称性，得

E（min{X，Y}）=2∫+∞-∞∫x-∞y·12πe-x2+y22dydx =1π∫+∞-∞e-x22-e-y22x-∞dx

=-1π∫+∞-∞e-x2dx=-1π.

注4由上例可知，方法四适用于二维（多维）随机变量的联合密度函数的非零区域D把x与y对调后，区域D不变，即区域D关于y=x对称的情形.显然例4也可以用方法三求解，但例3则不能用方法四求解.

4结语

最大值与最小值作为一类特殊的多维随机变量的函数，其应用的广泛性使得它们对数学期望的研究显得尤为重要.本文所给出的几种求解方法，涉及数学期望的定义、指数分布、均匀分布、正态分布、定积分、变上限积分、多重积分、偶函数的积分、轮换对称性、差的分布等重要内容.学生能够理解并掌握相关概念公式，准确熟练地运用概率论和数学分析知识是以上各种方法得以实现的前提和关键.概率论中一题多解的情况有很多，作为教师，在平时的教学中要对学生进行必要的创造性思维能力的训练，从而不断激发学生学习的积极性和主动性，培养其创新能力.

【参考文献】

[1]李贤平.概率论基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2014，184-1186，192.

[2]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2019，69-70.

[3]王瑞瑞，李金伟.负二项分布的数学期望和方差的一种求法[J].高师理科学刊，2019，39（12）：55-57.

[4]丁黎明.随机变量数学期望的教学实践与探索[J].淮北职业技术学院学报，2020，19（02）：32-34.

[5]孙莉敏，张聪，黄善祖等.關于连续随机变量数学期望的定义式的推导[J].数学学习与研究，2016（15）：129.

[6]罗建华，王浩波.一道概率论习题的证明[J].高等数学研究，2008，11（04）：67-68.

[7]罗建华.透过一道习题看概率论教学[J].大学数学，2008，24（03）：152-155.