整体建构：先见“森林”，再见“树木”

摘要：整体建构，主张根据数学特有的“整体”“结构”“逻辑”等特点，帮助学生从整体上把握知识结构，理解知识之间的内在联系和发展，把碎片化的知识有效地连成线、结成网、组成体，将相关知识点纳入一个结构或框架中，形成模块化体系，使习得的知识结构化。执教《因式分解》一课，立足整体进行“学材再建构”，开展整体建构教学。

关键词：整体建构;初中数学;因式分解

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系。”这引领数学教学应从知识内容的整体角度进行“学材再建构”，即整体建构。一次，执教《因式分解》一课，笔者做了整体建构的教学实践。

一、教学过程

（一）开展速算比赛，感受“化积”的独特作用

教师出示算式：①（a+b+1）2-a（a+b+1）-b（a+b+1）;②（a+1）2-2（a+1）+1;③（a+b+c）2-（a-b-c）2。学生独立计算，教师巡视了解学生的解题思路和过程。

教师指名完成速度快的学生展示、讲解他们的思维过程、解题方法，然后全班交流。

教师提问：这样做（做得快）的关键是什么？依据是什么？

以速算比赛的形式呈现问题有较强的情境性和策略的暗示性。让学生分别逆运用乘法分配律、完全平方公式和平方差公式，亲历“化积”速算的过程，不仅可激发学生探求“化积”的心向，还可让学生体悟“化积”的依据及途经。事实上，绝大部分的学生依据所掌握的乘法公式、乘法分配律及已有的学习经验，均能较好地实现这几个重要的变形。

（二）分析共同特点，概括联系和区别

教师提问：观察以上速算的第一步变形，从运算的角度看，有什么共同特点？

学生回答：将一个多项式化成几个整式相乘。

教师追问：将一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。那因式分解与整式乘法有什么联系和區别？

学生小组交流。

教师归纳：因式分解是将“和差”的形式化成“积”的形式，整式乘法是将“积”的形式化成“和差”的形式，它们是互逆变形。

在学生亲自实践有所体悟的基础上，引导学生分析乘法分配律、完全平方公式、平方差公式逆变形的共同特点，从而将学生的实践感知数学化，建构因式分解的概念，并分清因式分解与整式乘法两种数学变形的特点、作用及相互联系。这时，学生获得的不仅仅是自主建构的知识，还有自主研究问题的方法经验。

（三）在具体情境中探讨因式分解的方法和依据

教师出示算式：4x2-4x;x2-25;a2-6a+9。学生因式分解。

教师出示算式：x2y+xy2;y2-9;m2-m+14。学生抢答并说明依据。

在全面交流讨论解题依据和结果的基础上，教师点明：（1）逆运用乘法分配律的因式分解方法，叫作提公因式法，即m（a+b+c）=ma+mb+mc，m叫作这个多项式的公因式。（2）逆运用乘法公式分解因式的方法叫作公式法，即a2±2ab+b2=（a±b）2、a2-b2=（a+b）（a-b）。（3）提公因式法和公式法是因式分解的两种基本方法。

进一步创设抢答情境，启发学生运用原有的知识和经验向“化积”的目标继续探究，总结经验，概括出因式分解的基本方法。

（四）分层练习，掌握基本技能，深化对本质的认识

教师出示算式变形过程，学生判断是否是因式分解。

教师出示算式：（1）3a2b-12ab3;（2）（a-b）2-2（a-b）;（3）9x2-25y2;（4）4m2-12mn+9n2;（5）-3mx3+6mx2-3mx;（6）（x2+y2）2-4x2y2。学生自主探究，教师巡视指导。

学生小组交流，互帮互纠，然后学生代表发言。

教师强调因式分解要注意的问题：因式分解时先考虑提公因式法，再考虑公式法;每个因式要分解到不能继续分解为止。

教师提问：怎样剪出面积是84 cm2，长比宽多5 cm的长方形纸片？

学生回答：设长方形的宽为x cm，则长为（x+5）cm，由题意得x（x+5）=84，即x2+5x-84=0。

教师追问：如何分解因式x2+5x-84？

学生回答：x2+5x-84=（x+12）（x-7）。

教师说明：这是逆运用乘法公式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq;因式分解是整式乘法的逆变形，所以因式分解的方法是逆运用整式的乘法法则或乘法公式。

通过“识别”和“分解因式”来巩固、深化学生对因式分解本质的认识;同时能进一步深化学生对整式乘法与因式分解是两种互逆的数学变形的认识，体验因式分解的应用价值，初步建立因式分解的方法框架，整体了解因式分解的全貌。另外，将因式分解与解一元二次方程联系起来，让学生感知因式分解“降次”的作用，体会本节课学习的价值所在，为后续学习做铺垫。

（五）引导回顾，整体建构“因式分解”

教师通过以下问题引导学生回顾本课的学习历程：（1）什么是因式分解？与整式乘法有什么联系和区别？（2）因式分解的常用方法有哪些？依据是什么？（3）因式分解的作用有哪些？

建构“因式分解”的整体认知（如图1）。

二、教学思考

（一）整体建构，就是在知识的“生长点”与“延伸点”之间架起一座“桥”

教材不等于教学内容，教师应该从学生的实际出发，创造性地使用教材，重组教学内容，力求使学生的知识、智力、能力、情感、态度等达到各自的“最近发展区”，才能使教学过程成为学生实践、探索、建构的过程。“因式分解”这一内容，现行初中数学教材有两种编排方式：一是作为单独一章，如北师大版，意在学生熟练掌握整式运算后，再来研究整式乘法的逆变形——因式分解，防止学生将两种变形混淆，体现了教材“螺旋式”上升的特点。二是紧接“整式乘法”后作为一节编排，如人教版，这利于学生训练逆向思维，培养思维的灵活性、变通性。这也是本次整体建构教学的思路。这样的整体建构，能够使引导学生在比较中认识两种互逆变形的联系和区别，架起知识“生长点”之桥。

（二）整体建构，就是先见到“森林”，而后深入认识一棵棵“树木”

没有一种宏观的视野，很难有微观上的深入。常规教学中，采用先让学生学习知识“个体”，再到“部分”，最后到“整体”的教学方法，学生难以自主打通“孤立”知识点之间的联系。整体建构就是帮助学生用整体的观点来学习知识的各“部分”，同时在学习“部分”时又明确它在“整体”中的作用，从而完善认知结构，“既见树木，又见森林”。

本节课，通过设计特殊的运算问题，使学生自觉地发挥自己的智力。逆運用整式乘法的知识，简化运算过程，提高时效，初步感知“和”化“积”的方法和作用。在学生亲自实践有所体验的基础上，教师引导学生将实践感知数学化，建立因式分解的概念，并分清因式分解与整式乘法两种数学变形的特点、作用及相互联系。在此基础上，进一步创设情境，启发学生自主探索因式分解的基本方法，总结因式分解的注意点，从而使学生整体了解因式分解的全貌，激发深入学习因式分解、熟练掌握因式分解技能的积极性。

（三）整体建构，就是新旧图式体系相互作用的过程

皮亚杰在《结构主义》一书中指出：结构（也叫作一个整体、系统、集合）就是由具有整体性的若干转换规律组成的一个有自身调整性的图式体系。整体建构“因式分解”的过程，是学生新旧图式体系相互作用的过程。考虑到学生原有的图式体系，在学生知识能力的“最近发展区”内搭建学习支架，使旧图式体系促进新图式体系的形成（即让学生亲历“化积”速算的过程），不仅可激发学生探求“化积”的心向，还可让学生体悟“化积”的依据及途经。特别地，整体建构使学生形成有序的因式分解的知识结构，思维更具活力，从而自然而然地实现生长——学生能自主搭建深入学习的支架，初步形成新的“解一元二次方程”的图式体系。

整体建构，主张根据数学特有的“整体”“结构”“逻辑”等特点，帮助学生从整体上把握知识结构，理解知识之间的内在联系和发展，把碎片化的知识有效地连成线、结成网、组成体，将相关知识点纳入一个结构或框架中，形成模块化体系，使习得的知识结构化。这可以看作数学教学涵育学生核心素养的重要方向和主要途径。

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“初中数学‘学材再建构研究”（编号：Ea/2016/06）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 施俊进.基于“原有基础”，引导“整体架构”，促进“协同发展”——“二次根式（一）”教学实践与反思[J].中学数学，2013（2）.

[2] 施俊进.“用教材”：“学材再建构”的教材观——以“二元一次方程组”的教学实践为例[J].数学教学通讯，2019（8）.