基于HPM视角的弧度制概念微专题研究

福建省三明市第九中学 唐 震

第二届国际数学教育大会成立“数学史与数学教学关系国际研究小组”（即广为人知的“HPM”）以来，高中数学课堂开始关注如何在课堂教学中融入数学史等研究。数学史即数学的历史，融入数学课堂教学中，不仅为数学而历史，更是为教育而历史。基于HPM的视角将数学史引进教学，能让同学们从历史的角度看待某个数学问题的提出、数学知识的生成、数学理论的应用等。教师如果使用HPM引导学生学习知识，能让学生更加深入地理解探索数学知识的意义、拓展数学知识系统的关系及人们逐步完善数学知识网络的方式方法。如果教师能够引导学生以HPM的视角纵深挖掘某个数学知识，学生将会以该数学知识为中心，形成一套完善的数学知识系统。HPM是数学史和数学教育的结合体，研究该教学模式是有必要的，但是作为教育框架下的HPM，总是从较为宏观的视角来研究它，这会使HPM的研究在模式框架、理论建构和方法论上略显薄弱。因此，将微观视角的研究理论及研究方法和HPM结合，将会使研究更具活力。目前，有许多教师认识到数学史的教育价值，但是对如何在课堂教学中融入数学史却比较茫然，更没有什么融入模式。为了更好地借鉴数学知识的发生和演变发展，再现历史上的数学思想构建和生成方法，下面以“弧度制概念”一节HPM微专题课例为例进行阐释。

一、HPM视角下再现史上问题，追求数学本质

弧度制的本质是用线段的长度来度量角的大小，弧度的引入实现了度量的统一，三角函数的自变量和函数值就可以进行运算，丰富了初等函数的应用。

二、引入知识的历史发展演变，构建数学理解

通过引入数学符号发展演变的历史，有助于学生深度理解所研究的符号单位。据史料记载，过去数学家在定义正余弦函数、正切函数之后多年才提出弧度的定义，“弧度（radian)”这个数学符号，是由爱尔兰数学家詹姆斯·汤姆森（James Thomson）于1875年首创，由半径和角即radius和angle两个英文单词拼接而成。1935年，我国把弧度radian翻译为“弪”，即弧和径两个字合成，可以理解为弧长和半径一同决定圆心角的弧度。1956年，全国科学技术名词委员会所编《数学名词》废除了这个字，用“弧度”替代。历史上，弧度的符号历经多次变换。1881年，数学家霍斯特德采用p表示弧度单位；1909年，数学家霍儿用R来表示弧度单位；1907年，数学家鲍尔用r表示弧度单位；1925年，数学家兰尼所著的《平面三角》还使用T°表示弧度单位。最近三十年以来，数学家为了方便书写和计算，已经把表示弧度的符号省略不写，所以，在课堂教学中，教师一定要强调：弧度和角度一样，都是角的度量单位，切不可认为省略单位符号后，等同于相应的实数，就如2弧度不等于实数2。

三、探索数学知识的发展演变，完善数学体系

四、数学史融入课堂教学，开发数学觉悟

引入HPM能让教师的教学目标更明确，教学内容更有针对性，培养学生追寻科学和探索真理的精神，激发学生学习数学的兴趣，培养学生数学学科核心素养。数学课堂教学弧度制中常存在误区，认为弧度制的引入是为了使三角函数的自变量和实数建立一一对应关系，这样使用弧度制可简化计算，如求圆弧长只要将弧所对圆心角的弧度数乘以半径即可。其实不尽如此，三角函数的自变量既可以认为是角也可以认为是实数。当然，并不是只有引入了弧度制，才把三角函数的自变量解释成实数。有了数学史观点的弧度制，角的表示可以很自然地与数轴上的实数建立对应关系。诚然，无论采用十进制还是六十进制，角的集合都可以和实数集建立起一一对应的关系。例如，在角度制下任意给出一个大小为x0的角，其度数x和实数x对应。反之，任意一个实数y，由于旋转是连续的，可以取y0的角与之对应。用这样的观点，三角函数仍然是实数的函数，因此，角的集合和实数集合产生一一对应关系的核心并非弧度制。从整体上看，经过HPM视角下的弧度制概念教学，学生对弧度制概念的理解水平大大提升。HPM视角下的弧度制概念教学对学生理解与掌握知识经历了弧度制因度量统一的需要而产生，弧度制数学符号发展演变的历史重现，深刻构建弧度制概念的理解等不断完善和抽象的过程。

综上所述，随着数学史融入数学课堂教学得到越来越多教育专家的认可，需要更多的课堂教学比对评价研究，通过统计学数据说明数学史在教育教学中的作用。在HPM的视角下，数学概念教学的课堂效果评价方面，可以通过划分数学概念的历史发展阶段定制学生数学概念理解水平，从而编制适当的问卷以及访谈提纲，检查学生理解水平的变化并探明其影响因素，最后建立依托实证研究的HPM视角下数学概念教学的课堂评价效果评价体系。教学引导学生以HPM的视角看待数学知识，并不仅仅纯粹地让学生了解数学史，更是要让学生从历史的角度深刻地了解数学知识的产生，深入地探索数学知识的发展演变，完善数学知识体系；让学生深入地掌握数学知识后，能够以这个数学知识为基点自主地探究与之相关的数学知识。通过HPM视角下高中数学教学中的探索和实践，摸索融入数学史形成融通式、浸润式和创生式教学等课堂教学模式，在教学中深度融合数学史，引导学生进行数学建模，构建和完善教师和学生的数学知识系统，能够培养学生追寻科学和真理的精神，激发学生学习数学的热情，提升学生认知新事物的能力。