使用坏单元指示子的hp自适应RKDG算法

王海云,袁安安,朱洪强

(南京邮电大学理学院,南京 210023)

计算流体力学的多数问题都可以归为非线性双曲守恒律方程,这类方程最大的特点是方程的解可能含有间断．RKDG(Runge-Kutta discontinuous Galerkin)方法[1]是求解该类方程的前沿和热点方法之一,它有众多优点,如便于进行h和p自适应,边界条件处理简单,能够应对复杂几何区域,精度高、并行效率高等,目前已有大量研究成果．h自适应方法可以根据解的情况自动调整网格,通常对间断处的网格细化处理和光滑处的网格放粗,能利用较小的代价更加精确地捕捉间断,如Hartmann[2]、Remacle[3]、Dedner[4]等利用误差估计控制网格加密,获得了很好的h自适应效果．p自适应方法[5-7]则是通过改变各单元上逼近函数的次数,实现高阶逼近和计算存储的节省．Kubatko等[5]应用p自适应RKDG方法对浅水波方程进行求解,自适应效果良好．而hp自适应方法[8-10]将这两种自适应方法结合在一起,兼有h和p自适应的优点．目前RKDG的自适应方法大多基于误差估计,而非线性双曲守恒律方程的误差估计通常比较困难．Tian等[11-12]分别对两个不同方程设计了一个基于梯度的自适应指标,实现局部DG方法的h自适应;笔者利用坏单元指示子分别给出了RKDG的h自适应[13-15]和p自适应[16]方法．本文拟在文献[13]和[16]的基础上设计一种新的hp自适应算法,以期兼有h和p自适应的优点,从而进一步提高计算效果．

1 一维RKDG方法及限制器

考虑如下一维标量双曲守恒律问题

(1)

(2)

对解中包含间断的问题,RKDG方法须使用限制器来控制数值伪振荡．限制器首先探测间断附近的单元,即坏单元(称为坏单元指示子),然后通过修正坏单元上的数值解来控制数值振荡,使格式稳定．本文采用基于minmod函数的TVB限制器．记

(3)

2 基于坏单元指示子的hp自适应RKDG算法

数值解在间断区域的误差总是O(1)数量级,所以如果在间断处采用低次的多项式逼近,不仅可节省存储空间,还能减弱高次多项式逼近引起的数值振荡．为实现对间断点的精确捕捉,需要对间断区域采用密网格,光滑区域采用粗网格,以节省计算量．坏单元指示子可以用来区分间断区域和光滑区域,通过对间断区域的坏单元进行加密并使用低次多项式逼近,对光滑区域的好单元对(来自同一次加密的两个单元)合并后采用高次多项式逼近,从而实现hp自适应．在单元合并时,由于低次多项式和高次多项式合并之后的新单元仍是低次的,这会降低数值精度,故只有当2个单元都是高次多项式时才能合并．基于这些考虑,本文设计了hp自适应RKDG算法,算法流程图如图1所示,具体步骤如下:

图1 算法流程图Fig.1 Flowchart of hp-adaptive algorithm

1)给定网格最大加密深度L、高次多项式次数kmax和低次多项式次数kmin、最终求解时间T;

6)如果tn+1

3 算例

采用3个经典算例进行数值试验,给出kmin=1,kmax=3,D=4,初始单元数N0=40时的hp自适应算法结果,并与不做任何自适应的标准RKDG方法进行比较．为了说明新算法的有效性和优势,标准RKDG的单元数分别取N0和2N0．

图2 一维Burgers方程hp自适应算法结果Fig.2 Results of hp-adaptive algorithm for one-dimensional Burgers’ equation

图3 Riemann问题hp自适应算法结果Fig.3 Results of hp-adaptive algorithm for Riemann problem

图4 Buckley-Leverett问题hp自适应算法结果Fig.4 Results of hp-adaptive algorithm for Buckley-Leverett problem

4 结论

本文设计了一个新的基于坏单元指示子的hp自适应RKDG算法．该算法先使用坏单元指示子来捕捉间断,然后在间断区域采用密网格和低次多项式逼近,在连续区域采用粗网格和高次多项式逼近．数值试验表明,这个新的hp自适应算法兼有h和p自适应的优点,不仅捕捉间断更加精准,而且有效节约了计算消耗．