非完全有限维金融市场未定权益定价的度量广义逆方法*

王筱凌,王玉文

(1.黑龙江财经学院;2.哈尔滨师范大学)

0 引言

(2)

其中上标“T”为矩阵的转置.

1 可达权益的套利定价的已知结论

如果m个向量{θ(i)∈Rn}1≤i≤m满足

(4)

则称{θ(i)}1≤i≤m为Arrow-Debreu证券.t= 0时刻，投资组合θ(i)的价值为

即Arrow-Dedreu证券θ(i)在t=0时刻的价格为ψi(i=1,2,…,m).

记

则对于任意投资组合θ∈Rn，有

因此，由定义1.1，c∈Rm可达，当且仅当，存在θ∈Rn满足c=XT·θ，于是得到

于是可知，如果市场无套利，则对任意可达的权益c，其在t= 0时的价格为

c0=e-rTEQ[c]=e-rTEQ[XT·θ]=X0·θ

(6)

定义1.2 金融市场称为完全的，如果对每一个未定权益是可达的，即

∀c∈Rn,∃θ∈Rn,使得：c=XT·θ

引理1.1[2]一个由n个可交易资产组成的，按照从t= 0 时刻到t=T时刻模型演变的市场，如果在这段时期[0,T]内，经过N个交易日，在T时刻，每个可交易资产的价值，对应于m个状态之一，那么这个市场是完全的当且仅当n大于或等于m，且偿付矩阵的秩为m.

证明(参见文献[2]命题1.6.5)

因此，在现实中，完全金融市场只是理想情形，应该讨论非完全金融市场中定价.

2 非完全金融市场中未定权益的定价

以下假定m>n，因此金融市场是非完全的.为讨论方便，令

当m>n时，金融市场非完全.设矩阵A的秩为n，此时A的值域为n维子空间，且

R(A)={Ax:x∈Rn} ⊂Rm

在空间Rm中赋l2范数，即对y∈Rm，定义

设A=(aij)1≤i≤m1≤j≤n，对于x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，定义y=(y1,y2,…,ym)T=Ax

(8)

证明(参见文献[3]).

y=PP(A)(y)+y1,,y1∈R(A)┐

如果x0∈A-1PR(A)(y)，即Ax0=PR(A)(y)，则称x0为Ax=y的最小二乘解；

如果x0∈A-1PR(A)(y)，且对任意x∈A-1PR(A)(y)，有‖x0‖2≤‖x‖2，则称x0为Ax=y的最小l2范数最小二乘解，亦称最佳逼近解.

如果x0∈A-1PR(A)(y)，且对任意x∈A-1=PR(A)(y)，有‖x0‖1≤‖x‖1，则称x0为Ax=y的最小l1范数最小二乘解，也称最佳逼近解.

设{xn}⊂A-1PR(A)(y),x0∈Rn满足‖xn-x0‖1→0(n→∞)，由定理2.1，有

‖PR(A)(y)-Ax0‖2=‖Axn-Ax0‖2≤‖A‖‖xn-x0‖1→0

(9)

0

选正整数k>0，满足

使得

inf {‖x‖1:x∈A-1PR(A)(y)}-

满足‖xl-x0‖1→0,(l→∞).

由引理2.2，知x0∈A-1PR(A)(y).

且由范数的连续性，有‖x0‖1=inf{‖x‖1:x∈A-1PR(A)(y)}，故由A∂(y)的定义，知x0∈A∂(y)，即A∂(y)非空.

任取x1,x2∈A∂(y)，由引理2.2及A∂(y)的定义，有

λx1+(1-λ)x2∈A-1PR(A)(y)，

且‖λx1+(1-λ)x2‖1≤λ‖x1‖1+(1-λ)‖x2‖1=inf{‖x‖1:x∈A-1PR(A)(y)}

于是λx1+(1-λ)x2∈A∂(y)，所以A∂(y)为凸集.

xk∈A-1PR(A)(y),‖xk‖1=inf{‖x‖1:

x∈A-1PR(A)(y)},(k=1,2,…);x0∈A-1PR(A)(y),

定义2.2[4]设X,Y为Banach空间，T∈L(X,Y)为线性算子，集值映射T∂:Y→2D(T)定义为

T∂(y)={x0∈D(T):x0为Tx=y的最佳逼近解},y∈D(T∂)

(10)

称为T的集值度量广义逆，其中

D(T∂∈)={y∈Y;Tx=y在D(T)中有最佳逼近解}

(11)

此处，x0∈D(T)称为Tx=y的最佳逼近解，是指：

Tx0-y‖Y=inf{‖Tx-y‖Y:x∈D(T)},且对任何满足

x1∈D(T),‖Tx1-y‖Y=inf{‖Tx-y‖Y:x∈D(T)} 的x1，有‖x0‖X≤‖x1‖X.

如果单值算子Tσ:D(T∂)→D(T)满足：

∀y∈D(T∂),Tσ(y)∈T∂(y)，则称Tσ为T∂的单值选择.

1974年，Nashed M Z与 Votruba G V在文献[4]中提出研究建议：集值度量广义逆具有良好性质的单值选择是值得研究的.这一研究建议，自2008年文献[5]的研究之后得到实质进展.该文研究此建议的具体案例.

(1)AA+A=A;

(2)A+AA+=A+

(3)(A+A)*=A+A;

(4)(AA+)=AA+

则称A+为A的Moore-Penrose逆.

引理2.4[7]设A=(aij)m×n为m×n阶实矩阵，则

(1)存在A的唯一Moore-Penrose逆A+：

证明(参见文献[7]).

(12)

(13)

证明(1)由引理2.1可得.

(2)由引理2.3可得.

‖x0‖2=inf{‖x‖2:x∈A-1PR(T)(y)}

(14)

(15)

由于 ∀x∈Rn，有‖x‖2≤‖x‖1，从而由(15)及A∂(y)的定义，有

(16)

另一方面，由(14)知，唯一的x0∈Rn，满足

‖x0‖2=inf{‖x‖2:x∈A-1PR(T)(y)}≤inf{‖x‖1:A-1PR(A)(y)}

(17)

下面讨论上述结果在证券定价中应用.

‖y-PR(T)(y)‖2=inf{‖y-z‖2:z∈R(T)}

(18)

C0=e-rTEQ[PR(A)(y)]

(19)

于是由(6)，(18)及(19)式，有

C0=e-rTEQ[XT·x]=X0·x=X0·A+y