金属管内光环现象的观察与研究

王梓彦，吴 祥 ，陆建隆

(1. 南京市第九中学，江苏 南京 210018；2. 南京师范大学 物理科学与技术学院，江苏 南京 210097 ；3. 南京师范大学 教师教育学院，江苏 南京 210097)

本文介绍了在内壁光滑的金属管中产生光环的实验，实验器材在生活中比较常见，实验现象有趣但少有人关注到.选取一根内壁光滑的圆柱形金属管，将管的一端对着天空或室内白墙，眼睛贴在另一端能够观察到亮度不连续分布的光环，光环的亮度由中心向外逐渐降低直到无法分辨.该现象的物理原理主要是光的反射，亮度的降低主要是由于光在反射过程中有能量损失而导致的.

1 金属管内光环现象

选取一根内壁光滑的圆柱形不锈钢管，将管口对着室内白色墙壁，眼睛紧贴在另一端进行观察，能够看到亮度不连续分布的光环，如图1所示, 各光环之间有明显的分界，单个光环亮度分布均匀，但由中心向外光环的亮度逐渐降低，直到无法分辨，我们用手机摄像头紧贴在管口拍摄到的照片与人眼观察到的现象一致.图1中下方黑色线状阴影是不锈钢管焊接时留下的痕迹，后文的照片中都存在.制作一根与不锈钢管的长度、直径基本相同的纸管，重复以上操作，则无法观察到光环(见图2).

以我们选取的不锈钢管为例(长约645 mm，直径约23 mm)，将管口对着室内白色墙壁得到的图1中能清晰看到中间圆孔及5个光环，第6个较为模糊，用光打在墙壁上增加面光源亮度则能清晰看到6个光环，第7个较为模糊(见图3).若以手机闪光灯作为点光源将其置于管一端的中心，能看到由中心向外亮度递减的光环，相邻光环间有暗环(见图4).

图1 金属管中的光环

图2 通过纸管观察到的现象

图3 增加面光源亮度的光环

图4 点光源产生的光环

2 金属管中产生光环的定性分析

我们尝试分析产生这种现象的原因.在实验过程中我们将红色的瓶盖置于白色背景之中，管口对着瓶盖边缘进行观察，在第一个光环中可以较为清楚地看到瓶盖的像，光环中瓶盖的像从中心向外数量增加，清晰度降低(见图5).

图5 光环中的瓶盖

结合以上所观察到的种种现象，如内壁光滑的金属管才可以观察到光环、光环中能看到红色瓶盖的像等等，我们初步推断该现象背后的物理原理应该属于几何光学范畴，包括光的直线传播和光的反射，并不涉及光的全反射、干涉、衍射和偏振等.金属管的内壁光滑使得光线发生了镜面反射，而光在反射的过程中有能量损失，反射次数越多能量损失的也就越多，这就导致了光环亮度递减.

鉴于实际情况下光源和金属管中的光路图都过于复杂，我们将金属管模型简化成两个长度相等且平行放置的平面镜，光源为点光源，如图6所示.平面镜长度为L，平面镜间的距离为2r，黑暗中的一点光源处于平面镜一端的中轴P点上，眼睛在另一端中轴上，眼睛(相机)接收光线的范围为Δd，理想情况下将点光源和眼睛都视为一个点.由几何光学反射定律可知，理论上人眼所能看到的点光源的像有n个：位于P点不经过反射的实像、经过一次反射的光线形成的虚像1、经过两次反射的光线形成的虚像2，……，经过n次反射的光线形成的虚像N.由几何关系可以证明，相邻两个虚像之间的距离都为2r，经过n次反射后进入人眼的光线与中轴线的夹角为θn，点光源的像个数n与θn有关(见图6，中轴线下方的对称虚像1′、2′、…, 没有画出).

图6 简化的金属管模型

θn增大，反射次数增加，光在反射时存在能量损失，虚像的亮度随反射次数增加而降低.因此，该模型所能观察到的现象应该为关于光源实像对称的一对虚像，且相邻两个虚像间距相等，越向外侧虚像的亮度越低.假设人眼为一个点，由于人眼接收光线的范围有限，进入眼睛的光线形成光源的虚像，未进入眼睛的光线形成视觉上的黑色区域.经过计算能够进入人眼的光线满足(其中n为反射次数)

(1)

如果考虑圆柱形金属管，那么观察到的应该是点光源虚像在空间内的叠加，即由中心向外亮度递减的光环，未进入眼睛的光线形成相邻光环间的暗环，这与图4中的现象吻合.如果增大点光源的尺寸，使其是半径为r的球面，那么图6中的P、1、2, …, 就会形成连续相接的、亮度逐渐降低的像，这与图1中的现象吻合.为了验证理论分析的正确性，我们用不透光的纸板覆盖在管口，在其中心打孔并改变孔径，实现光源从点到面的变化，得到了连续变化的一组图像，与理论分析的结果一致(见图7).

由于人眼和相机所能观察到的光环数量有限，我们分析可能有两方面原因：1) 因为反射过程中的能量损失，导致反射次数较多后光线亮度过低无法被分辨; 2) 视场角的缘故.在光学仪器中，以光学仪器的镜头为顶点，以被测目标的物像可通过镜头的最大范围的两条边缘构成的夹角，称为视场角.视场角的大小决定了光学仪器的视野范围，视场角越大，视野就越大，通俗地说，目标物体超过这个角就不会被收在镜头里[1].通过简单测算，我们实验所使用的手机后置相机在不改变焦距的条件下视场角约等于54°，图6中在人眼处相机能够接收到的反射光线与中轴线夹角θn应小于等于27°.

图7 光源从点到面连续变化的图像

3 金属管中光环现象的定量分析与MATLAB模拟

3.1 光环光强分布计算

如图8所示，将金属管模型简化为一个矩形截面光路，建立平面直角坐标系，点光源各个方向光强Ep满足(其中I为点光源光强)

Ep=Icosθ

(2)

点光源P向各个方向发射光线，经由管壁反射最终抵达金属管的另一端，在Q点所在的平面上形成一定的光强分布，可以计算得出某一点Q的光强EQ和Q点所在位置yQ(见图8).在金属管另一端观察，观察范围为Δd，即经过反射进入观察范围内的光线可以被观测到，形成亮环，亮环的宽度由光源开孔半径以及观察范围决定.而光线一次反射和两次反射之后的能量损失不同，反射次数越多，光的强度呈现指数下降趋势，因此观察到的亮环亮度向外递减.没有进入观察范围的光线在视觉上形成暗环.

图8 金属管截面图中光路

影响光环的因素较多，我们主要设置了以下6个重要的参数(见表1).

表1 影响光环的参数

设光源位置P(0，d)，光强为Ep，射出的光线与中轴线夹角为θ，记光线最终到达另一端的位置为Q点，坐标为(L，yQ)，到达Q的光强为EQ.通过几何数学计算，可以得出如下结果：

光路经过总长度

(3)

光线反射次数是光路总长度的垂直分量与金属管直径的比值取整，同时考虑光源的位置，因此有下式：(n>0对应出射光线在中轴线上方，floor表示向下取整；n<0对应出射光线在中轴线下方，ceil表示向上取整.)

(4)

光线到达位置

yQ=Ltanθ-n·2r+d

(5)

考虑点光源各个方向光强满足式(1)，经过n次反射金属管对光的削弱为Rn，将三者相乘得出Q点光强公式为

EQ=Icosθ·Rn

(6)

通过式(5)、(6)可以详细计算出每一条光线从P点出发最终到达的位置和光强，并能够记录其反射次数与出射角度.将光强分布转化为人眼的观测情况，假设人眼看到的虚像位于金属管光源所在的平面，则人眼所看的亮环范围满足如下关系:

(7)

由上式(7)可以看出，亮环的级数由反射次数n决定，而亮环的宽度由人眼的观察范围Δd决定.考虑到人眼看远距离物体时，会觉得物体比较小，因此对于光环宽度用视场角来描述更能反映人的视觉效果，视场角满足

(8)

3.2 MATLAB模拟与现象解释

设置参数，金属管长度L=645 mm，内直径2r=23 mm，光源位于中心d=0，相机位于另一端中心，相机镜头可视直径Δd=3 mm，金属管反射系数R值取0.86，模拟结果如图9(b)所示，9(a)为实验观测图，模拟图与实验图现象基本相同，这说明我们的模型能够较好的解释金属管产生光环的物理本质.

图9 金属管产生光环的实验图像与模拟图像

如图8所示，相机在Q端，能接收到光线的范围为Δd，即经过反射后最终进入人眼(相机)范围内的光线才能被接收到，反射次数相同的光线组成了一个完整的亮环，亮环的宽度由光源半径以及接收光线范围决定.光线经过反射的次数越多，光的强度呈现指数下降趋势并且形成的虚像离中心越远，导致亮环亮度向外递减.由于实际观察范围小于管口直径，有部分反射光线不能进入观察范围中，导致形成了亮环之间的暗环.如果观察范围大于等于管口直径，则不会观察到暗环，而是具有亮度梯度变化的亮环.

接下来我们结合MATLAB模拟结果和实验结果，深入探究各参数对光环的影响.

4 影响光环现象的系列因素探究

4.1 金属管尺寸对光环的影响

我们选取3根长度不同的不锈钢管，以手机闪光灯作为点光源，并置于管一端的中心，相机置于另一端中心进行拍摄，详细实验数据见表2，实验图像如图10所示.

实验中我们发现管1理论光环数与实际光环数一致，但管2、管3实际光环数小于理论光环数，转动眼球或者相机镜头，并不能看到更多的光环，因此我们初步判断原因在于反射过程中的能量损失，反射次数较多后光线亮度过低无法被分辨.

进行MATLAB模拟，取金属管内壁反射系数R=0.86，光源偏离中心的距离d=0，接收光线范围Δd=3 mm，以及实验用3根金属管的规格作为参数进行模拟，绘制出光环分布-视场角图和相对光强-视场角图.从观测光环-视场角图中可以看出，模拟结果与实验现象基本吻合，除1号管，2、3号管可见的光环数量小于理论值，而相对光强-视场角图可以较好的解释其中原因：由于反射次数较多，相对光强较小以至于无法被分辨.因此，在接收端光学器件的视场角、金属管内壁反射系数、点光源的亮度一定的情况下，并不是金属管的长度与半径的比值越大，可观察到的光环数量越多.

图10 不同长度金属管形成的光环图像

为定量验证模型的正确性，我们用MATLAB对图9中光环的角度和亮度进行测量. 根据前文的理论分析，可得两个相邻的亮环之间的间距等于光管内半径，因此只需要测量照片中两个亮环之间的像素距离，等比例缩小为实际距离，这样便有了像素大小和实际大小的转换标度，然后根据每个光环在照片上的位置得出它的实际位置，即远离圆心的位置.经测量我们发现照片中光环的角度与相对光强-视场角图中的视场角匹配程度较高.

用MATLAB分析照片中光环的光强，发现前几级光环的光强数据溢出而无法区分.经过理论分析和实践操作我们认为是点光源亮度过高，而拍照设备对光强的分辨能力有限导致.为防止数据达到上限溢出的情况，我们降低点光源亮度后以管2为例拍出图11.因光源亮度降低，导致所有光环亮度降低从而使得可分辨的亮环减少(原本可以明显观察到9个亮环，降低亮度后只能观察到5个亮环).

图11 点光源亮度降低后管2图像

将对图11中光环的角度和亮度分析结果与理论模型绘制于同一幅图(见图12)中进行对比，可以看出，一方面照片中光环的角度与理论分析结果匹配较好，但由于不锈钢管并非完美圆柱形，也无法保证点光源在管口正中心，导致有一定误差.另一方面，照片中光环亮度的整体变化趋势与理论分析结果一致，但具体变化规律前三级光环匹配较好，从第四级光环开始实验值衰减更快，明显小于理论值.

图12 图11中光环相对光强-视场角图的理论、实验对比

4.2 金属管内壁反射系数对光环的影响

实际实验中我们无法调节金属管内壁的反射系数，但通过MATLAB可以模拟.在金属管其余参数不变的情况下，只将1号管的反射系数R改成0.86、1，如图13(a)所示，R=0.86的光环图像与实验中观察到的图像相似.R=1即无反射损失时的图像如图13(b)所示，可以看到光环分布规律与图13(a)一致，但光环的亮度衰弱趋势明显减弱.

图13 金属管内壁反射系数对光环的影响

根据前文的理论分析我们认为，在R=1的情况下光环的光强衰弱趋势仅取决于式(2)中的θ.由此可知，反射过程中的能量损失是光环光强迅速衰减的主要原因.

4.3 接收光线范围对光环的影响

人眼(相机镜头)由于自身尺度的原因，能够接收光线的范围是有限的，经过理论分析，若人眼(相机镜头)能够将金属管另一端全部的光线接收，则将不会观察到两个亮环之间的暗环，而是具有亮度梯度的一个个亮环.我们在黑暗的环境中进行实验，同样以手机闪光灯作为点光源，金属管另一端对着光屏，使经过金属管内壁反射的所有光线都打在光屏上(即接收光线范围Δd≥金属管内直径2r)，再用相机去拍摄光屏上的图样，实验观测图像如图14(a)所示.在光管其余参数不变(R=0.86)的情况下，只将接收光线范围Δd改为金属管内直径2r进行MATLAB模拟，模拟图像如图14(b)所示，与图14(a)相似.同时对比14(b)和13(a)，反射光线被全部接收时无暗环出现，而未完全接收时出现明显暗环.因此，我们认为形成暗环的原因是人眼(相机镜头)自身尺度较小导致一部分光线没有被接收，从而形成了视觉上的暗环.

图14 接收光线范围对光环的影响

5 结束语

金属管现象产生的物理原理为光的反射，反射次数相同的光线形成了一个光环，由于反射次数越多，能量损失就越多，形成的虚像距离中心也越远，因此形成了由中心向外连续相接、亮度递减的一个个光环.点光源情况下，反射次数相同的光线形成的虚像在空间中的集合组成了亮度由中心向外递减的一个个光环，因接收端的光学器件尺度很小，未被接收到的光线就形成了相邻光环间的暗环.

我们从简单的反射光路图入手，通过理论分析、实验和MATLAB模拟，研究了点光源情况下影响光环数量的因素，得出光环数量理论上与接收端光学器件的视场角、金属管的长度与半径的比值成正相关，但实际情况下可观察到的光环数量还受到金属管内壁反射系数以及光源的亮度等因素的影响.此外，金属管内壁反射系数和接受光线范围也会影响观察到的现象.

致谢：感谢南京师范大学物理科学与技术学院王巍教授的指导！