一个差分方程解的存在性问题研究

郑晓燕

（宁海县西店镇初级中学，浙江 宁海 315613）

研究差分方程：a∊R+，xi(i=1,2,…,n,n﹥2)互不相等，（1）。有解的条件、解的表达式与解的个数。

一、差分方程（1）的几个简单情形

首先研究n=3 的简单情形，并希望从中得到一点启示。设x1、x2、x3互不相等，

二、一个多项式的几个性质

在研究差分方程（1）时，我们在对一般的n讨论时，也需要引进一个由递推关系确定的多项式列，这里我们将讨论一个性质。

这说明当n=k+1 时，（2）式也成立。因而对一切不小于2 的自然数，（2）式恒成立。

三、差分方程(1)的通解

当n=3 4、时，我们已经求出了差分方程（2）的通解。沿着这个思路，我们成功地求出了一般情形的差分方程(1)的通解。往后出现的fn(x)即定理2.1 中所定义的多项式。

整理、并注意到fn(t)+afn-2(t)=tfn-1(t)即得

这说明所有xi(i=1,2,n)都满足关于X的方程：fn-1(t)X2+fn-1(t)X-afn-1(t)=0。

但xi(i=1,2,…,n)中至少有三个数互不相等，因而必有fn-1(t)=0。

定理3.2 设xi(i=1,2,…,n,n﹥2)满足差分方程(1)，则x1，x2，…，xn必有形式

四、差分方程（1）通解的个数

我们在第1 节实际上已得到了差分方程（1）在n=3 4、的情形时，其通解的个数都是两个。本节研究差分方程(1)在一般n的情形时，其通解的个数。