几类对数型函数的积分公式

黄华平

基金项目： 重庆市自然科学基金面上项目（cstc2020jcyj-msxmX0762）， 重庆三峡学院人才引进科研启动基金项目（2104/09926601）， 重庆三峡学院教改项目（JGZC2124， JGYB2003）

摘要：利用换元积分法和分部积分法，结合一定的变换技巧，得到了几类对数型函数的积分公式.

关键词：对数型积分;  换元积分法;分部积分法;调和数; 积分公式

中图分类号：O172.21       文献标识码：A

1 引言

定积分与导数概念一样也在数学分析[1]，物理科学等应用过程中逐渐形成并发展起来的. 定积分的原始问题是求平面图形的面积，计算不规则几何图形面积的定积分思想和方法可追溯到古希腊数学家阿基米德（Archimedes）的“穷竭法”，尽管现代积分学的理论和方法有了质的飞跃，但求面积、路程等基本问题的计算依旧是定积分最基本的背景和应用[2].

定积分的概念先于微分学概念的形成[3]，但直到17世纪中叶伟大的数学家牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibinz）发现了积分和微分之间的联系，从而得到了计算积分的一般方法. 也就是说，利用牛顿-莱布尼兹公式进行计算.众所周知，计算定积分通常有两种方法，即换元积分法和分部积分法. 然而很多函数不易找出其原函数，故有时根本无法計算其不定积分和定积分.

基于此， 本文按通常的方法，针对几类比较难计算的对数函数，采用特殊的变换技巧，给出了它们的积分表达式的一般公式. 所谓对数型积分是指被积函数与对数相关的积分[4]. 本文采用换元积分法和分部积分法，利用一定的变换，得到了几类对数型积分的计算公式，从而弥补了对数型积分难求或不可求的缺陷.

2 主要结果

参考文献：

[1]华东师范大学数学科学学院. 数学分析（下册） [M]， 第五版. 高等教育出版社， 2019， 179-181.

[2] 张高明，周静. 高等数学[M]， 第1版. 北京科学技术出版社， 2010， 158-181.

[3]章学诚，刘西垣. 微积分[M]， 第1版. 武汉大学出版社， 2007， 202-228.

[4]郑一. 关于对数积分的基本理论[J].青岛建筑工程学院学报，2002， 3（2）： 84-89.