模糊度量空间中的伪度量结构及等距同构

杨 浩，吴健荣

1.苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009；2.南通理工学院，基础教学学院，江苏 南通 226002

为描述两点距离的不确定性，文献[1]给出了模糊度量(简称为KM模糊度量)的概念，文献[2]对KM模糊度量进行了改进，提出了现在被称之为GV模糊度量的新概念．文献[3]对KM模糊度量和GV模糊度量进行了推广，引入了(L，M)模糊度量的概念．到目前为止，许多经典度量空间的重要结果被推广到了模糊度量空间中[4-10]，同时，模糊度量已经被广泛地应用在彩色图像处理和算法分析中[11-17]．为研究模糊度量与分明度量之间的关系，文献[7]给出了伪度量族空间的概念，建立了两个分解定理．然而正如文献[7]中所指出的，这两个定理成立需要对模糊度量定义中的t-模进行严格的限制．

本文引入了星伪度量族的概念，利用这一概念，建立了具有一般t-模的模糊度量的分解定理．此外，在引入模糊度量空间与伪度量族空间等距同构的概念之后，给出了模糊度量空间与伪度量族空间等距同构的充分条件和必要条件．

1 预备知识

本文约定R+=[0，∞)，N为自然数集，Ø为空集．

(a) *对结合律和交换律成立；

(b) *是连续的；

(c)a*1=a，∀a∈[0，1]；

(d) 当a≤c和b≤d时，a*b≤c*d．

则称*是连续t-模，常用的连续t-模包括以下3个算子：∀a，b∈[0，1]，a*b=a∧b，a*b=max{a+b-1，0}，a*b=a·b．

性质1[9]设*是连续t-模，

(M1) ∀t>0，M(x，y，t)>0；

(M2) ∀t>0，M(x，y，t)=1当且仅当x=y；

(M3) ∀t>0，M(x，y，t)=M(y，x，t)；

(M4) ∀t，s>0，M(x，y，t)*M(y，z，s)≤M(x，z，t+s)；

则称(M，*)(简写成M)是X上的模糊度量，称(X，M，*)为模糊度量空间．

注1如果将定义2中的(M2)，(M5)分别改为：

(M2)′M(x，y，t)=1当且仅当x=y；

(M5)′M(x，y，·)是连续的．

则(X，M，*)为GV模糊度量空间[2]．

若(X，M，*)是模糊度量空间，设x∈X，r∈(0，1)，t>0，称

BM(x，r，t)={y∈X：M(x，y，t)>1-r}

(1)

是以x为心，r为半径的开球．定理1的证明可参见文献[2]中相应结论的证明．

定理1设(X，M，*)是模糊度量空间．如果

τM={A⊆X：∀x∈A，存在t>0，0

(2)

2 星伪度量族

本节引入星伪度量族的概念，并给出模糊度量的星伪度量族分解定理．

定义3设X是一非空集合，*是连续t-模，{dr：r∈(0，1)}是X×X到R+中的一族映射．若对任意的x，y，z∈X，都有：

(SPM1) ∀t>0，存在r∈(0，1)，使得dr(x，y)≤t；

(SPM2) ∀r∈(0，1)，dr(x，x)=0；

(SPM3) ∀r∈(0，1)，dr(x，y)=dr(y，x)；

(SPM4) 对固定的x，y∈X，关于r∈(0，1)的函数dr(x，y)是单调递增的；

(SPM5) 对任意的α，β∈(0，1)，dα*β(x，z)≤dα(x，y)+dβ(y，z)；

则称{dr：r∈(0，1)}是X上的星伪度量族，称(X，dr：r∈(0，1))为星伪度量族空间．

注2当*=∧时，星伪度量族即为伪度量族．对于一般的连续t-模*，星伪度量族中的元素未必为伪度量，但为方便起见，我们仍称其为星伪度量族．

为与星伪度量族空间作区分，我们将由X上的一族伪度量{dr：r∈(0，1)}构成的空间(X，dr：r∈(0，1))称为伪度量族空间．

定理2设X是一非空集合，D={dr：r∈(0，1)}是X上的星伪度量族，对任意的x∈X，n∈N，r1，r2，…，rn∈(0，1)和ε>0，

Vx(r1，r2，…，rn；ε)={y∈X：dri(x，y)<ε，i=1，2，…，n}

则X存在唯一的拓扑τD，使得对任意的x∈X，

Vx={Vx(r1，r2，…，rn；ε)：n∈N，r1，r2，…，rn∈(0，1)，ε>0}

恰好是x关于τD的邻域基，且τD为X上的Hausdorff拓扑．

证前半部分的证明是常规的，这里仅给出τD是Hausdorff拓扑的证明．

事实上，对任意的不同的点x，y∈X，由条件(SPM6)，存在r∈(0，1)，使得dr(x，y)=ε>0．由性质1，存在s∈(r，1)，使得s*s>r，从而以及利用条件(SPM4)和(SPM5)可验证因此τD是Hausdorff的．

引理1设(X，M，*)为模糊度量空间，x，y∈X，r∈(0，1)．则：

定理3设(X，M，*)为模糊度量空间，x，y∈X，r∈(0，1)．令

dr(x，y)=inf{t>0：M(x，y，t)≥r}

(3)

则DM={dr：r∈(0，1)}是星伪度量族．

证只要证DM满足条件(SPM1)-(SPM6)即可．(SPM2)和(SPM3)是显然的．

(SPM1)：∀x，y∈X，t>0，由M(x，y，t)>0，则存在r0∈(0，1)使得M(x，y，t)>r0>0．由(3)式得dr0(x，y)≤t．

(SPM4)：任取r1，r2∈(0，1)，r1>r2．因为M(x，y，·)是单调增的，所以

{t>0：M(x，y，t)≥r1}⊆{t>0：M(x，y，t)≥r2}

所以dr1(x，y)≥dr2(x，y)．因此dr(x，y)关于r∈(0，1)是单调增的．

(SPM6)：∀x，y∈X，x≠y，由定义2，存在t0>0使得M(x，y，t0)<1．取r0∈(0，1)满足M(x，y，t0)

dr(x，y)=sup{t>0：M(x，y，t)

注3称上述D={dr：r∈(0，1)}为由模糊度量M导出的星伪度量族．

定理4设D={dr：r∈(0，1)}为X上的星伪度量族，对x，y∈X，t>0，设

MD(x，y，t)=sup{r∈(0，1)：dr(x，y)

(4)

则(X，MD，*)是一个模糊度量空间．

证以下证明MD满足条件(M1)-(M6)．(M3)显然成立．

(M1)：对任意的t>0，取00．

(M2)：令x=y．由条件(SPM2)，对任意的r∈(0，1)，t>0，有t>dr(x，y)=0．因此

MD(x，y，t)=sup{r：r∈(0，1)}=1

相反地，假设对任意的t>0，有MD(x，y，t)=1，则对任意的r∈(0，1)，MD(x，y，t)>r．由(4)式知，存在1>r′>r，使得dr′(x，y)

(M4)：任取x，y，z∈X，t，s>0，令MD(x，y，t)=β，MD(y，z，s)=γ．对任意的ε>0且εβ-ε，r″>γ-ε，dr′(x，y)

dγ-ε(x，y)

因此MD(x，z，t+s)≥γ-ε．由ε的任意性和*算子的连续性可得

MD(x，z，t+s)≥γ=1*γ≥β*γ=MD(x，y，t)*MD(y，z，s)

(M5)：对任意的x，y∈X，t0>0和ε>0，有MD(x，y，t0)-εMD(x，y，t0)-ε，即MD(x，y，t0)-r0<ε．当dr0(x，y)

MD(x，y，t0)-MD(x，y，t)≤MD(x，y，t0)-r0<ε

也就是说MD(x，y，·)在t0处是左连续的．再由t0的任意性知MD(x，y，·)是左连续的．

3 模糊度量空间中的等距同构

在本节中，我们将研究模糊度量和伪度量族之间的等距同构关系．

(5)

证只需证Φ和Φ的逆映射Φ-1都是连续的，只要证明：

具体证明过程是常规的．

推论1设(X，M，*)为模糊度量空间，DM={dr：r∈(0，1)}为由M生成的星伪度量族，则由M诱导的拓扑τM与其对应的由星伪度量族所诱导的拓扑τDM是一致的．

定义5设(X，M，*)和(X′，M′，*′)是两个模糊度量空间，若存在X到X′上的一一映射ψ，使得∀x，y∈X，t>0，都有M(x，y，t)=M(ψ(x)，ψ(y)，t)，则称ψ是(X，M，*)到(X′，M′，*′)上的等距同构映射，称模糊度量空间(X，M，*)等距同构于模糊度量空间(X′，M′，*′)．

(6)

(7)

由r的任意性知

(8)

由(7)式和(8)式知

由(6)式知

M(x，y，t)=M′(Φ(x)，Φ(y)，t)

从而(X，M，*)等距同构于(X′，M′，*′)．

推论2设(X，M，*)为模糊度量空间，DM={dr：r∈(0，1)}为由M生成的星伪度量族，MDM为由DM={dr：r∈(0，1)}导出的模糊度量，则(X，M，*)等距同构于(X，MDM，*)．因此，由M和MDM导出的拓扑是一致的．

定理7设(X，M，*)为模糊度量空间，若(X，M，*)满足条件：对任意的x，y，z∈X，s，t>0，有

M(x，y，s+t)≥M(x，z，s)∧M(z，y，t)

(9)

证取X=X′，Φ(x)=x(∀x∈X)．设dr(x，y)由(3)式定义，则由定理3知dr(x，y)为X上的分离的星伪度量族．

于是由(3)式知

再由t1，t2的任意性得

dr(x，y)≤dr(x，z)+dr(z，y)

最后，由dr(x，y)的定义即知(X，M，*)与(X′，dr，r∈(0，1))等距同构．

推论3每个模糊度量(X，M，∧)都可以被分解成X上的一族伪度量．

容易证明，若M(x，y，·)是连续的，则定理7的逆定理也成立，即：