惯性/卫星导航系统实际导航性能评估算法

彭旭飞，祖肇梓，朱成阵，祁鸣东

（中国航空工业集团公司西安飞行自动控制研究所，陕西西安，710065）

关键字：惯性/卫星组合导航；卡尔曼滤波；高斯分布；95%概率误差圆；实际导航性能

0 引言

随着航空产业蓬勃发展，空中交通日益繁忙。为了提高空域利用率并降低飞行成本，国际民航组织提出了基于性能的导航（Performance Based Navigation，PBN）的概念，发布了基于性能导航手册（ICAO 9613）用以规范区域导航的命名、技术标准等[1]。在这一体系下，飞机由传统的依靠地面导航设施逐个导航点向台、背台飞行，转变为实施区域导航（Area Navigation，RNAV），即在导航信号范围内按照优化的航迹进行飞行，从而减少了对陆基导航设施的依赖，提高了空域容量。在RNAV的基础上增加监视和告警功能，即为所需导航性能（Required Navigation Performance，RNP）。传统导航、RNAV、RNP的对比如图1所示[2]。

图1 传统导航、RNAV和RNP

在RNP运行体系下，导航由对特定导航设备的要求转变为对导航系统的性能要求。其中对精度要求为：在至少95%概率下，导航系统的误差不大于RNP规定的门限值[3-4]。因此，为了保证飞机安全飞行，要对其导航系统的性能进行评估,指标为实际导航性能（Actual Navigation Performance,ANP）。

目前飞机主流的导航设施有惯性导航、卫星导航、测距仪、甚高频全向信标等。在RNP精度、完好性、连续性、可用性的相关要求下，单一导航系统无法满足要求，因而常将不同体制的导航系统进行组合。其中惯性导航不需要外来信息，也不向外辐射信息，可自主隐蔽工作，且输出信息齐全，但是其导航误差随时间积累。卫星导航根据接收到的导航信号解算载体的位置速度，长期稳定性好，但是易受干扰和认为控制。惯性/卫星组合导航可以克服各自缺点，取长补短，是机载导航常用的组合导航方式，也是实现RNP运行的配置要求[5-6]。

本文提出了惯性/卫星组合导航系统实际导航性能评估算法，从卡尔曼滤波器位置协方差矩阵开展分析，结合导航数据二维高斯分布特性，求解出标准误差椭圆。根据概率分布特性，将误差椭圆转换为95%概率误差圆，进而计算出ANP值。算法切实可行，便于工程实践。

1 惯性/卫星组合导航

在工程实践中常卡尔曼滤波器实现惯性/卫星组合导航。卡尔曼滤波的实质为最优估计，从概率统计最优的角度估计出系统误差并消除，使得惯性导航和卫星导航的数据相互渗透，有机结合。

卡尔曼滤波主要包括时间更新和量测更新两个过程。时间更新为[7-9]：

量测更新为

为状态变量，在惯性/卫星组合导航中取：

式中，δL,δλ为纬度误差、经度误差，δVE,δVN为东向速度误差、北向速度误差，φE,φN,φU为平台误差角，εbx,εby,εbz为陀螺随机漂移，∇x, ∇y为加速度计零偏。

φk.k-1是一步转移矩阵，是卡尔曼滤波状态矩阵的离散化形式。

式中，φINS,k.k-1对应于7个基本导航参数的系统矩阵，可通过捷联惯导的位置误差方程、速度误差方程和姿态误差方程推导而出，φM,k.k-1为基本导航参数与陀螺和加速度计误差间的变换矩阵，φN,k.k-1为陀螺和加速度计等误差状态量对应的系统矩阵。

Pk为状态变量的协方差阵，可表征最优估计的精度；Qk为系统噪声协方差阵，Rk为测量噪声协方差阵，可表征测量的误差。

Zk为构建的测量值，在惯性/卫星松组合中，选取位置误差、速度误差为观测值，可选取为：

Hk为测量矩阵，其参数选取与状态变量和测量值有关，此处：

以上参数确定之后，即可启动卡尔曼滤波。在每一个滤波周期估算出位置误差和速度差后，用以修正惯性导航的位置、速度输出，即得到了惯性/卫星组合导航的位置、速度输出。

由于导航传感器存在误差，会导致飞机的估计位置偏离真实位置而产生定位误差。在惯性/卫星组合导航模式下，该误差矩阵可由卡尔曼滤波器的协方差阵中分割而出，进一步分析计算，可用于评估组合导航系统的实际导航性能。

2 实际导航性能评估

2.1 二维正态分布与误差椭圆

导航系统的误差是导航系统估计位置与实际位置的差值，其95%概率下的误差范围就是位置不确定度，可以用来表征实际导航性能。

飞机导航系统中通过卡尔曼滤波器实现不同导航源的数据融合。卡尔曼滤波器的协方差阵可用来表征随机误差估计值。通常，位置估计的水平随机误差服从二维正态分布。

二维正态分布的概率密度函数为

式中，μ1，μ2是均值或者期望，σ1,σ2是标准差，ρ是相关系数。如图2所示。

图2 二维正态分布图

该分布的俯视图为椭圆，椭圆的偏心率、大小、方向与协方差阵有关，其中协方差矩阵对角线上的元素决定椭圆是圆的还是扁的，而协方差矩阵非对角线上的元素决定椭圆的方向，其关系如图3所示[10]。

图3 协方差阵与误差椭圆的关系

2.2 1σ等概率误差椭圆

组合导航系统的位置估计误差在水平面内包括经度误差和纬度误差，为非水平面直角坐标表示，而 RNP 值用海里表示，因此需要将经纬度误差转化为水平面直角坐标内的误差（x，y）：

式中，σλ为经度误差；σφ为纬度误差；R 为地球半径；λ为飞机所在经度，φ机所在纬度。因此，位置误差的协方差矩阵可转换为：

二维正态分布的概率密度函数为：

对于给定的平面位置误差的方差σx、σy和相关系数ρ，若apos是一个确定的正常数，那么上式在平面内为一个椭圆，这个椭圆为等概率误差椭圆，原点就是飞机的估计位置。

由于协方差阵不一定是对角矩阵，所以这个椭圆不一定是标准椭圆，而是存在一定的旋转角度，如图4所示。

图4 误差椭圆

为了将椭圆变为标准椭圆，需要将协方差矩阵进行酉相似矩阵对角化，即酉矩阵A使得：

将（10）式代入（9）式，可得

（11）式为标准椭圆方程。如果apos=1，为1σ误差椭圆。特征值λmax、λmin分别是椭圆长半轴的平方和短半轴的平方。

特征值和协方差矩阵的关系为[11-12]：

2.3 95%等概率误差圆

导航系统的位置不确定度是95%等概率误差圆的半径。该圆以导航系统估计的位置为圆心，实际位置至少95%概率在圆内，如图5所示[13]：

图5 95%误差圆和1σ误差椭圆的对比

由于位置不确定度是95%误差圆边界值，因此在利用1σ误差椭圆计算 95%不确定度误差圆的半径时，需要计算圆形区域的误差概率。此时，积分区间定义在一个圆形区间，半径为，则期望的概率为：

令x=rcosθ,y=rsinθ，则（13）式可以转换为：

记1σ误差椭圆的长短半轴比例为：

（15）式代入（14）式得 ：

由（16）式可知，当给定概率（比如95%）时，m不同，k就会不同，进而导致95%概率圆的半径发生变化。

在工程中，K可以按照下式计算：

K的最大值为2.4477，最小值接近1.9625。

当K确定之后，ANP可按照下式计算

在工程应用中，飞机机载设备显示的 ANP利用最大位置标准差(长半轴) 来计算[14]。

式中，axismajor为1σ误差椭圆长半轴。

3 仿真试验

设置卫星导航速度测量误差为0.1m/s，位置测量误差为10m。惯性导航陀螺漂移为0.001(°)/h，加速度计零偏为0.5×10-5g，分别生成惯性导航数据和卫星导航数据。使用卡尔曼滤波器进行惯性/卫星组合导航，将每一滤波周期的位置协方差阵提取出来，按照本文的算法计算95%概率圆的半径，即为ANP。当卡尔曼滤波达到稳态时，所估计的位置、1σ误差椭圆、95%误差圆的关系如图6所示。

图6 估计的位置、1σ误差椭圆、95%误差圆的关系

随着卡尔曼滤波器运行，位置估计逐步趋于稳定，所以ANP值逐渐变小并最终达到稳态，如图7所示。

图7 实际导航性能ANP的变化趋势

ANP反映的是组合导航的精度，因此当卫星导航或者惯性导航性能变差时，ANP值应该变大。因此设置三个用例进行验证。

用例1：卫星导航速度测量误差为0.1m/s，位置测量误差为10m。惯性导航陀螺漂移为0.001(°)/h，加速度计零偏为 0.5×10-5g。

用例2：卫星导航速度测量误差为0.5m/s，位置测量误差为30m。惯性导航陀螺漂移为0.001(°)/h，加速度计零偏为 0.5×10-5g。

用例3：卫星导航速度测量误差为0.5 m/s，位置测量误差为30m。惯性导航陀螺漂移为0.005(°)/h，加速度计零偏为 2×10-5g。

使用卡尔曼滤波器对用例1、用例2、用例3设置的数据进行组合导航，在达到稳态时对比其ANP值，用95%误差圆显示，结果如图8所示。

图8 不同用例的ANP值

从图中可以看出，随着卫星导航或者惯性导航的导航性能变差，所计算出的ANP值将变大。在现代飞机中，ANP值常转化为ANP指示杆并显示在飞机的主飞行显示器上。在国际民航组织基于性能导航的规定中，飞机航路水平半宽为RNP值。当ANP≥RNP时，认为当前导航系统的精度已经无法满足RNP的要求，应及时对外告警，从而保证飞行安全。飞机ANP与RNP的关系如图9所示。

图9 飞机ANP与RNP的关系

4 结束语

惯性/卫星组合导航是RNP要求下常见的机载导航传感器配置方式。对惯性/卫星组合导航进行实际导航性能评估，是保证飞机实现基于性能导航的关键。本文提出的惯性/卫星组合导航系统实际导航性能评估算法，从卡尔曼滤波器位置协方差矩阵开展分析，利用导航数据二维高斯分布特性，求解出标准误差椭圆。根据概率分布特性，将误差椭圆转换为95%概率误差圆，进而计算出ANP值。本算法切实可行，而且便于工程实践。文中提及的组合导航中误差椭圆的相关分析方法，也可以推广至无线电组合导航、惯性/无线电组合导航等其他组合导航领域。