圆的直径式方程在解题中的妙用

陈昌燕

【摘要】在新课程改革背景下，高中数学题目的形式日渐丰富，因此对学生的解题思维提出了更高的要求.在高中数学知识中，以圆的标准方程、参数方程和一般方程为重要考查点，需要学生深刻把握这些知识，而圆的直径式方程在考纲中不做要求，但是仍然存在许多和圆的直径密切相关的问题，如果学生可以在解题的过程中合理运用圆的直径式方程，就可以在一定程度上降低题目的难度，收获良好的效果.基于此，本文将以圆的直径式方程为例，探究其在解题中的运用.

【关键词】圆的直径式方程;解题;妙用

我们可以将圆的方程分成标准方程和一般方程两种形式，如果已知點A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别是圆的直径的两个端点，而圆上任意一点M的坐标为（x，y），可知MA·MB=0，可以计算出圆的方程为 （x-x1） （x-x2） + （y -y1） （y - y2）=0，此即圆的直径式方程.圆的直径式方程在解题中的应用十分广泛，本文将为大家简要介绍圆的直径式方程在解题中的具体用法.

一、圆的直径式方程在解题中的作用

以圆的直径为斜边作直角三角形，则另一点永远在圆上.将三角形的两条直角边的向量用坐标的形式表示，便可以通过两向量坐标垂直的性质推导出圆的直径式方程：（x-x1）（x-x2）+（y -y1）（y-y2）=0.尽管圆的直径式方程不是高考的重要考查内容，但是如果题目中含有和圆的直径相关的题目，就可以借助圆的直径式方程进行解答，这样可以有效降低学生的解题难度，所以我们需要提高对这一方程的关注.此外，掌握圆的直径式方程的解法可以让学生在高考中多一种选择，那运用一种解题方法解题，并通过其他方法进行题目的验算，这可以切实提升学生的答题准确度，从而在高考中取得优异的成绩.

二、圆的直径式方程的推导过程

若圆的直径的两端点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则圆的直径式方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，这可以通过向量进行证明.

首先，假设P（x，y）是圆上一点，那么向量（x-x1，y-y1）表示向量PA，（x-x2，y-y2）则表示向量PB.

因为AB是圆的直径，所以对于圆上的任意一个非A，B的点，∠APB=90°.

所以可以确定两向量的内积为0，即（x-x1）（x-x2）+（y -y1）（y-y2）=0.

当P与A或B点重合时，两向量之一为0向量，因为0向量与任意向量垂直，所以上式仍成立，所以所有的圆上的点都符合方程（x-x1）（x-x2）+（y -y1）（y-y2）=0.

又因为所有满足向量（x-x1，y-y1）垂直向量（x-x2，y-y2）的点都在圆上，所以可以确定（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0就是该圆的方程.

三、圆的直径式方程的运用

（一）圆的方程

例1 请计算出过直线l：2x+y+4=0和圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程.

解析 面积最小的圆也就是以交点连线为直径的圆，因此可以运用直径式方程进行解题.

解 由题目可知，交点坐标同时满足 x2+y2+2x-4y+1=0和2x+y+4=0，可以计算出交点A（-3，2），B-11[]5，2[]5，则题目所求是以点（-3，2）和-11[]5，2[]5为直径两端点的圆，可以列出：（x+3）x+11[]5+（y-2）y-2[]5=0，整理可得面积最小的圆的方程为 x2+y2 +26[]5x-12[]5y+37[]5=0.

例2 已知点A和点B是直线y=kx+b和双曲线x2-y2=4的两个交点，试计算出直径为AB的圆的方程.

解 由题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），则

点A和点B同时满足 x2-y2=4和y=kx+b，将两式联立并消去字母y，可得（k2-1）x2+2kbx + b2+4=0，根据韦达定理，可得

x1+x2=2kb []1-k2， ①

x1x2=b2+4[]k2-1.②

所以y1+y2=k（x1+x2）+2b=2b[]1-k2， ③

y1y2=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=4k2-b2[]k2-1， ④

直径为AB的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，将此式展开可得x2-（x1+ x2） x+x1x2+y2-（y1+y2）y+y1y2=0.

将①②③④分别代入上述方程，可以确定所求圆的方程为x2 +2kb[]k2-1x+y2+2b[]k2-1y+4k2+4[]k2-1=0.

例3 从圆外一点P向圆O： x2+y2=1作两条切线，点P的坐标为（2，1），直线和圆O的切点分别为A，B，请求出经过A，B两点的直线方程.

解析 根据圆的直径式方程的性质，可以确定以线段 OP为直径的圆的方程的解析式为圆Q：x（x-2 ）+y（y-1）=0，由于点A和点B皆为圆O的切点，所以点A和点B同时在圆O和圆Q上，因此，可以将两个圆的方程式作减法，确定经过两个圆的公共弦的方程为x（x-2）+y（y -1）-（x2+y2-1）=0，可得 2x+y-1=0，也就是直线AB的方程.

由此可见，借助圆的直径式方程的性质和解法，可以有效简化解题过程，让解题更加快速，切实提升解题的准确率.

（二）直线与圆的位置关系

例4 已知点P和点Q是直线l：x+2y-3=0和圆C：x2+y2+x-6y+m=0的两个交点，点O为坐标原点，如果OP⊥OQ，请计算出实数m的值.

解 设点P（x1，y1），点Q（x2，y2）.

由于点P和点Q都是直线l上的一点，可以得出：x1=3-2y1，x2=3-2y2.

又因为OP⊥OQ，可以确定y1[]x1· y2[]x2=-1，

所以有x1x2+y1y2=（3-2y1）（3-2y2）+y1y2=5y1y2-6（y1+y2）+9=0 ①.

将圆的方程x2+y2+x-6y+m=0和直线方程x+2y-3=0联立，可以得出（3-2y）2+y2+3-2y-6y+m=0，即5y2-20y+12+m=0.

因为y1和y2是方程的根，可以得出y1+y2=4，y1y2=12+m[]5.将y1y2=12+m[]5代入①，可以得出12+m-24+9=0，经计算可得m=3.

例5 已知点N是抛物线y=4x2上的一点，经过点N作圆C：（x-2）2+y2=1的切线，分别与圆C相切于点P和点Q，已知点P、点Q和点O三点在同一条直线上（其中点O为坐标原点），试求出点N的坐标.

解 由于点N是抛物线上的一点，由y=4x2可设点N（t，4t2），而点P和点Q分别为直径为NC的圆D和圆C的两个交点.

由此可以计算出圆D的方程为 （x-2）（x-t）+y（y-4t2）=0，

可以将圆D方程转化为x2-（2+t）x+2t+y2-4t2y=0 ①，

又因为圆C的方程为x2 - 4x + y2 + 3 =0 ②，

将②式与①式相减，可得（2-t）x+2t-4t2y-3=0，此方程就是直線PQ的表达式.

由于P，Q，O三点在同一条直线上，可以确定直线PQ经过坐标原点O，由此可知2t-3=0，计算出t=3[]2.

由此可以计算出点N的坐标为3[]2，9.

例6 直线l：y=kx+1和双曲线C：2x2-y2 =1的右半部分的交点分别为点A和点B.

（1）请确定实数k的取值范围.

（2）当k取什么值时，可以让以线段AB为直径的圆O经过双曲线C的右焦点F？如果不存在这样一个实数k，请说明理由.

解 （1）根据题目，可以计算出实数k的取值范围为-2

（2）由题意，可设点A（x1，y1），点B（x2，y2），

将直线l的方程代入双曲线C的方程，可以得出：

（2-k2）x2-2kx-2=（2-k2）（x-x1）（x-x2）=0 ①，

联立双曲线和直线方程，还可以得（2-k2）y2-4y-k2+2=（2-k2）（y-y1）（y-y2）=0 ②，

又因为点A和点B分别为圆O直径的两个端点，所以可以将①式和②式相加求出圆O的方程：

（2-k2）（x-x1）（x-x2）+（2-k2）（y-y1）（y-y2）=0，

计算可得（2-k2）x2-2kx-2+（2-k2）y2-4y-k2+2=0 ③.

如果存在一个实数k，可以让圆O经过双曲线C的右焦点F（c，0），

因为c=6[]2，则点F6[]2，0，将其代入③式，可以得出5k2+26k-6=0，

计算可得k=-6+6[]5或k=6-6[]5（与（1）问的取值范围不符，故舍去），

所以当k=-6+6[]5时，可以让以线段AB为直径的圆O经过双曲线C的右焦点F.

（三）圆与圆的位置关系

例7 已知O1和O2两圆的方程分别为O1：x2+y2-10x-10y=0 和O2：x2+y2+6x-2y=0，请计算出以公共弦为直径的圆的方程.

解 根据题意，联立x2+y2-10x-10y=0和x2+y2+6x-2y=0，计算可得x1=0，y1=0;x2=-2，y2=4.

根据圆的直径式方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，可以列出（x-0）（x+2）+（y-0）（y-4）=0.

经计算，可得x2+y2+2x-4y=0，即以圆O1和圆O2的公共弦为直径的圆的方程为x2+y2+2x-4y=0.

四、结束语

总而言之，圆的直径式方程在解题过程中应用非常广泛，对于解题具有一定的作用.通过圆的直径式方程，可以将题目简化，帮助学生减少计算量，实现题目的由难化简，让学生脱离烦琐的计算流程，在最短的时间内找到问题的最优解.基于此，教师需要充分关注圆的直径式方程在解题过程中的作用，让学生可以针对题目内容选择合适的答题手段，强化学生对于圆的直径式方程的理解，争取在提升学生解题速度的基础上提升其解题准确率.

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